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Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anello

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anello

Messaggioda Foto UtentesEdivad » 1 nov 2018, 17:58

Ciao a tutti, :D mi chiamo Davide, studio ingegneria industriale e visto che sto preparando elettrotecnica e sto pensando di proseguire gli studi nell'ambito dell'automazione industriale mi sono iscritto al forum, anche grazie al costante e autorevole aiuto che fornisce cercando materiale su Google.

In questo thread vorrei sottoporvi un transitorio. Dopo una commutazione di un interruttore si presenta la seguente situazione:



Come mostrato in figura il metodo che uso solitamente è scrivere le equazioni di stato sfruttando le correnti di anello. Abbiamo quindi:

J_1 = i_L
J_2=g_mV_2
J_3=i_C

(In pratica J3 è il superanello formato dalla maglia più esterna che racchiude tutta la rete, non sono riuscito a disegnarla benissimo)

I dati del problema sono:
R_1=R_2=R_3=R=2\Omega
L=0,5 H
C=0,5 F
g_m=\frac{1}{2} S
V_g = 3 V

Andiamo quindi calcolare i_C e v_L.

V_g - V_c = R(J_3 +J_2) + R(J_3+J_1) e dopo qualche passaggio
J_3=i_C=\frac{V_g}{4}-\frac{V_c}{4}-\frac{3}{4}i_L
Dove si è tenuto conto che:
V_2=R(J_1-J_2)=i_L (tralasciando le unità di misura; attenzione perché questa identità la uso anche più avanti)

E fin qui la cosa funziona, per determinare v_L io avevo fatto così:
V_g -v_L-v_2-v_1 = 0

V_g = v_L + R_2(J_1-J_2) + R_1(J_1+J_3)

v_L = V_g - i_L -2i_L -2i_C = \frac{v_C}{2}-\frac{3}{2}i_L+\frac{V_g}{2}


Ora qui in realtà ho un grande dubbio: so che al contrario dei generatori i resistori hanno il segno della ddp non proprio arbitrario, ma determinato dalla corrente che li attraversa, perché la loro potenza può essere solo assorbita. Ma quindi come mi devo comportare quando faccio la LKT di un anello? Io intuitivamente all'inizio mettevo delle resistenze negative quando serviva, ma poi ho visto che questa cosa non funziona mai: è proprio per questo fatto dei segni che vengono decisi proprio dalla corrente di anello?

Ad ogni modo, so già che da uno svolgimento in mio possesso (che è fatto da una collega, ma dalla cui matrice A risultano le frequenze naturali corrette, quindi è probabilmente corretto) questo risultato non sarebbe corretto... Lo stesso accade se vado a valutare questa LKT:

v_L - v_C + v_2 + v_3=0

Dove i segni attribuiti alle ddp sarebbero questi:




Andando a svolgere:

v_L = v_C - v_2 - v_3=v_C-i_L-[-R(J_2+J_3)]=

Qui ho preso -R per tenere conto del segno assegnato al resistore: come sopra, non sono convintissimo.

=v_C-i_L+i_L+2i_C=v_C -\frac{v_C}{2}-\frac{3}{2}i_L + \frac{V_g}{2}

***

Ricordando i valori di L e C abbiamo questa matrice di stato A:

A=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ -1
 & -3
\end{bmatrix}

Andiamo a cercare le frequenze naturali del sistema:
\det \left | \lambda I -A \right | = \begin{vmatrix}
\ \lambda+ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1
 & \lambda + 3
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda\left (  \lambda+\frac{7}{2}\right ) = 0
Questo però non solo non collima con i risultati che vedono come autovalori -2 e -3/2, ma crea problemi anche con la stabilità del sistema... E' evidente che ho sbagliato da qualche parte, ma proprio non riesco a capire dove!

Grazie per aver letto fin qui :D
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[2] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 1 nov 2018, 19:23

Ciao,
hai rispettato le regole del forum e già questo ti aiuterà: sono sicuro che arriveremo alla soluzione dell'esercizio.
Visto che sei bravo non avrai bisogno di complimenti, ma solo consigli per migliorare.

Anticipo subito che circa il 90% del post che hai scritto, relativamente al contenuto, e' da cestinare.

1)Manca il testo dell'esercizio;
2)dov'era posizionato l'interruttore;
3)manca lo stato iniziale della rete;
4)nelle formule, anche se diversi bipoli hanno lo stesso valore numerico, e' necessario indicarli col proprio nome in modo da identificare subito la maglia/ramo di riferimento;
5)non hai definito e riportato nello schema alcune grandezze elettriche (corrente IL, iC, v2);
6)non hai indicato il polo positivo di alcuni bipoli;
7)che significa V_{2}=i_{L} a prescindere dalle unita' di misura? Basta questa espressione e potresti abbandonare l'aula d'esame senza ulteriori complimenti. E lo hai anche evidenziato come se fosse importante;
8)perché complicarti la vita con quell'anello esterno (che deve essere assegnato con verso opposto rispetto a quelli interni per convenzione) quando hai a disposizione tre belle maglie interne;
9)con riferimento al punto 7), esegui delle somme algebriche tra tensioni e correnti come se non ci fosse un domani;
10)spuntano dal nulla dei coefficienti numerici. Cosa rappresentano?
11) Scrivi
sEdivad ha scritto:V_g - V_c = R(J_3 +J_2) + R(J_3+J_1) e dopo qualche passaggio
J_3=i_C=\frac{V_g}{4}-\frac{V_c}{4}-\frac{3}{4}i_L
. Da dove spunta J3 in quella relazione?
12)Segni meno messi li' a caso. La pioggia e il vento di questi giorni ha fatto meno danni.
14)
o che al contrario dei generatori i resistori hanno il segno della ddp non proprio arbitrario, ma determinato dalla corrente che li attraversa
Che significa? Il verso dei generatori e' arbitrario?
15)devi stare attento al generatore di corrente quando usi il metodo delle correnti di anello;
16)anche se non strettamente necessario, le correnti di anello si assegnano in senso orario, in verso opposto quello esterno;

Vediamo se riusciamo a sistemare questo post. Inserisci il testo dell'esercizio libero da interpretazioni personali, compresa la soluzione.
Nel frattempo vedo se riesco a ritrovare un bel post di Foto UtenteRenzoDF sulla convenzione dei bipoli.

P.S.
Ecco il link
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[3] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 1 nov 2018, 21:00

Lo vuoi risolvere?

Ecco questo secondo link
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[4] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtentesEdivad » 1 nov 2018, 22:07

Grazie inanzitutto per i due link, credo di averli già visti qualche tempo fa ma li ristudierò con attenzione confrontandoli a quello che ho scritto.

Sulle unità di misura hai perfettamente ragione... io ci tengo e mi sento un po' in colpa a scrivere cose tipo v_L = i_C, ma al tempo stesso in molte risoluzioni trovo spesso queste notazioni molto "spensierate" e mi viene quasi automatico, penso che per indicare l'identità tra due valori numerici v_2 = i_L \Omega sia già più corretto, ma non credo di averlo mai trovato. A meno di non scrivere tutte le relazioni per esteso ovviamente, ma in un transitorio la cosa si fa un po' pesante. Comunque d'ora in poi cercherò di trattare le unità di misura in modo corretto e di effettuare sempre un minimo di analisi dimensionale.
I coefficienti a cui (credo) fai riferimento al (10) sono il risultato dei calcoli algebrici gestiti così: ad esempio \frac{R}{3} diventa \frac{2}{3} perché R=2\Omega.
E' una porcata, hai ragione.

Per quanto riguarda il resto:

(1),(2) Questa è la rete come da testo assegnato. La consegna:

Sapendo che al tempo t=0 s l’interruttore S chiude e che la rete è a regime, si calcoli la corrente dell'induttore i_L(t) per t>0.


La soluzione: i_L(t)=0e^{-\frac{3}{2}t}+0e^{-2t}+1A

Nel testo vengono assegnati il verso di i_L e v_2 (oltre che dei generatori), gli altri li ho imposti io.


Ho aggiunto il verso di alcuni bipoli che avevo dimenticato nel primo FidoCAD; v_2 come si vede è la ddp relativa a R_2. Dopo la chiusura dell'interruttore, R_4 viene cortocircuitato e abbiamo il circuito equivalente di cui sopra.

(3) Non ho ricopiato nel post il calcolo dello stato iniziale perché per t>0 i risultati erano chiaramente sbagliati, mi sembrava inutile continuare l'esercizio come se nulla fosse.

(8)Non conoscevo questa convenzione... Assegnare lo stesso verso comunque non pregiudica la validità dei calcoli algebrici, giusto? giusto, ho letto più avanti nel tuo post
Per il resto volevo banalmente esercitarmi nell'uso dei superanelli, a costo di qualche calcolo in più.

(11)A proposito di superanelli: nella relazione V_g - V_c = R_3(J_3 +J_2) + R_1(J_3+J_1) ho messo J3 perché i due resistori fanno parte anche del superanello J3. Ho sbagliato?

(14) Mi sono espresso malissimo, mi chiedevo se il fatto di orientare una corrente di anello non determinasse il verso della ddp di conseguenza, proprio come quando si impone una corrente di lato e per la convenzione dell'utilizzatore ne deriva una sola ddp possibile.

(15) Ti riferisci al fatto che con un generatore di corrente in comune a due anelli ci si ritrova con una incognita in più rispetto al numero di equazioni?


Vado a leggermi i link, nel frattempo grazie mille per l'aiuto!
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[5] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 1 nov 2018, 22:48

Leggi pure, abbiamo tempo.
Continuo a non capire quella notazione tensione=corrente anche se accompagnata dell'unità di misura \Omega. Dove la trovi riportata? Nei libri? Quali?
Per quanto riguarda i segni da attribuire ai bipoli puoi fare riferimento al link che ti ho inviato. In pratica assegni le grandezze di ramo e su quelli poi imposti i segni nelle equazioni che scrivi con il metodo delle correnti di anello. Ti consiglio di usare la convenzione che ti ho indicato.
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[6] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtentesEdivad » 2 nov 2018, 16:44

Ok, ho letto con calma le convenzioni e riepilogato il metodo. Ci riprovo. Abbiamo questa rete in cui viene chiuso l'interruttore a t=0 s:




Il circuito equivalente per t>0 è allora questo:



Andiamo a scegliere le correnti di anello: se prendessi l'anello in basso a sx mi ritroverei una LKT che ha come incognita la tensione ai capi del generatore pilotato, la potrei eliminare sommando membro a membro con la LKT dell'altro anello ma a questo punto mi sembra più conveniente continuare a usare il superanello di prima:



J_1=i_C
J_2=-i_L
J_3=-g_mv_2

Adesso devo attribuire le correnti di ramo. Poi attribuisco i versi dei potenziali, usando per comodità la convenzione dell'utilizzatore per gli utilizzatori e quella dei generatori per i generatori. I bipoli che erano contrassegnati nel testo li lascio così come sono, tanto per evitare confusione...



Adesso iniziamo a ricavare le variabili di stato: per farlo mi servono v_L e i_C.
Per i_C la cosa più sensata mi sembra fare la LKT che mi consente di trovare J3, sempre per evitare il calcolo della ddp del generatore pilotato.

V_g - v_C + v_3 -v_1 =0

dove con v_k si indica la ddp del resistore R_k
Dato che ho scelto la convenzione dell'utilizzatore, per questi due resistori vale v_k=R_ki_k
V_g-v_C+R_3i_3 -R_1i_1=0

Dallo schema vedo che
i_1=J_3-J_1
i_3=J_2-J_3

Allora
V_g-v_C+R_3(J_2-J_3) -R_1(J_3-J_1)=0

Per quanto riguarda v_L, faccio la LKT della maglia in alto e come prima sostituisco le correnti con quelle di anello:

v_1 + v_2 + v_L -V_g = 0
v_L= V_g - v_1 - v_2
v_L= V_g -R_1i_1 -R_2i_2
v_L= V_g -R_1(J_3-J_1) -R_2(J_2-J_1)

Fin qui ci siamo oppure ho scritto di nuovo stupidaggini? :|
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[7] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 2 nov 2018, 17:27

Riguarda bene i valori che hai assegnato alle correnti di anello.
Sono sbagliate.

P.S.
Ad ogni modo scrivi le LKT (indicando solo le v_{i}) e LKC (indicando solo i_{i} ;  J_{i}) complete. Due bei sistemi iniziali.

Hai scelto proprio un bel metodo per affrontare questo esercizio. :roll:
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[8] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtentesEdivad » 2 nov 2018, 18:28

Sì hai ragione, ho sbagliato a ricopiare dal cartaceo:

J_1 = -i_L
J_2=-g_mv_2
J_3=i_C

Per il resto le frequenze naturali adesso sembrano essere risultare, appena ho tempo trascrivo il resto e i due sistemi iniziali.

Posso chiederti che metodo avresti adottato? So che il metodo degli anelli molte volte non è ottimale, ma non mi rendo ancora conto benissimo di quale metodo sia il migliore per ogni esercizio.
Se poi chi corregge i compiti si infastidisce quando non può confrontare il tuo compito agli altri 70 e deve addirittura leggere il procedimento, questo non aiuta... anche se è vero che non si studia solo per l'esame
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[9] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 nov 2018, 10:31

Io avrei usato il metodo del "circuito resistivo associato", via SDE.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
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[10] Re: Transitorio RLC e dubbio sull'uso delle correnti di anel

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 3 nov 2018, 12:22

sEdivad ha scritto:questo fatto dei segni

Intervengo soltanto a proposito dei segni, secondo i miei ricordi.
Si stabiliscono le maglie indipendenti cioè considerando tutti i rami ma escludendo quella maglia i cui rami sono già tutti considerati.
Si pensa che la corrente sia costituita da correnti di maglia.
Si stabilisce un verso di percorrenza per ogni maglia e si assegna un verso ad ogni generatore.
Si eguaglia a zero la variazione totale di V lungo ciascuna maglia.
Al suddetto totale contribuiscono:
I generatori, a cui bisogna cambiare il segno se hanno verso discordante con quello della maglia.
Le impedenze, che creano una caduta dunque -Ri, -Ldi/dt, -1/C\inti dt
dove i è la corrente di ramo cioè la somma delle correnti di maglia che lo percorrono, col segno cambiato se discordanti col verso della maglia che stiamo considerando.
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