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qdm e momenti angolari

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[1] qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 20 dic 2018, 0:48

Ho due sfere che si urtano centralmente come in figura e rimangono attaccate senza deformarsi (troppo). La prima sfera ha velocità v_1 verso la seconda che è ferma ma ruota su se stessa con velocità angolare \omega




Volevo fare due riflessioni con voi.
Secondo me si conserva sia l quantità di moto che il momento angolare.
La qdm è costante perché ho a che fare con forze conservative e non non ci sono vincoli, i corpi sono liberi.
Il momento angolare si conserva perché non vedo alcun momento esterno, cioè forse esterne al mio sistema che generano momento. (il peso non ha momento in quanto è ha braccio zero).
Il momento angolare non capisco bene se si conserva immediatamente prima dell'urto e subito dopo; in ogni modo se calcolassi il momento angolare di m_1 considerando l'asse che passa per il centro di massa di m_2, avrei che l'angolo tra vettore posizione e vettore qdm m_1v_1 è zero per cui il momento sarebbe zero.
Per il corpo m_2 invece il momento c'e' e vale I \omega, quindi forse sto dicendo stupidaggini perché il momento angolare in questo caso si conserva indipendentemente dalla distanza prima dell'urto, non importa che i due corpi siano vicinissimi.

Poi mi chiedo come faccio a sapere se dopo l'urto il sistema composto dai due corpi ruoterà oppure traslerà il relativo centro di massa? Qual è il ragionamento che mi porta a sostenere una delle due ipotesi o entrambe?
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[2] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utentevenexian » 20 dic 2018, 5:58

Ciao zio,

felice di rileggerti ora che ho un po' di più tempo a disposizione.
Mi spiace per l'altro thread rimasto a lungo senza risposta, spero che la mia tardiva ti sia comunque di aiuto.

Veniamo al quesito di oggi.

ziomangrovia ha scritto:Ho due sfere che si urtano centralmente come in figura e rimangono attaccate senza deformarsi (troppo). La prima sfera ha velocità v_1 verso la seconda che è ferma ma ruota su se stessa con velocità angolare \omega

Dobbiamo supporre che le due sfere si muovono senza attrito su due piani paralleli distanti tra loro r_2-r_1 e che ciascun piano 'appartenga' alla propria sfera senza interferire con il moto dell'altra.
E' una condizione impossibile da realizzare fisicamente, ma altrettanto possibile da ipotizzare in uno studio come quello da te proposto.

Per rendere la cosa più vicina alla realtà fisica, senza modificare nulla nei concetti che vuoi approfondire, che ne dici se trasformiamo le due sfere in due dischi che si muovono su un piano senza attrito?

A me sembra interessante, anche perché non devi neppure cambiare disegno! :mrgreen:

Le domande e i dubbi che esponi sono interessanti e possono essere di aiuto a molti. Dimmi se la modifica ti sembra accettabile e poi possiamo proseguire.
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[3] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 20 dic 2018, 7:36

Accetto la tua proposta, va benissimo.
Per l'altro thread vedo di darci un' occhiata stamani, non mi dimentico mai di guardare le tue risposte "parlanti" e super esaustive.
Grazie come sempre della disponibilità
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[4] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utentevenexian » 20 dic 2018, 15:56

Bene, con i dischi ci si tolgono una bella quantità di inciampi e possibili incomprensioni.

Il momento angolare (\vec{L}) è il duale per i movimenti angolari della quantità di moto (\vec{p}) per i movimenti di traslazione. Non dovrebbe stupire, dato che le equazioni di riferimento

\vec{L}=I\vec{\omega}
\vec{p}=m\vec{v}

mostrano di essere equivalenti se consideriamo la dualità tra massa e momento di inerzia come quella tra velocità lineare e velocità angolare (1).

Ovvia la supposizione che in un urto si conservi anche il momento angolare, oltre alla quantità di moto. Meno ovvio che in un urto ci possa essere uno scambio tra queste due grandezze (2), ma intuibile pensando al proietto che mette in rotazione un oggetto se colpito da una direzione differente da quelle che passano per il suo centro di massa (3). Le dimostrazioni sono presenti in tutti i testi universitari di fisica.

Veniamo adesso alle tue riflessioni.

ziomangrovia ha scritto:Secondo me si conserva sia l quantità di moto che il momento angolare.

Sì, ma solo nel caso di urto centrale. Nel caso dell'urto disassato, il momento angolare aumenta a discapito della quantità di moto.

ziomangrovia ha scritto:La qdm è costante perché ho a che fare con forze conservative e non non ci sono vincoli, i corpi sono liberi.

Sì, ma solo nel caso di urto centrale. Nel caso dell'urto disassato, la quantità di moto diminuisce a favore del momento angolare.

ziomangrovia ha scritto:Il momento angolare si conserva perché non vedo alcun momento esterno, cioè forse esterne al mio sistema che generano momento.

Esatto, sempre nel caso dell'urto centrale. Nel caso di urto disassato, questa forza (4) esiste, esiste il conseguente momento meccanico e il momento angolare cambia.

ziomangrovia ha scritto:(il peso non ha momento in quanto è ha braccio zero).

La forza peso non ha... peso nella questione. Non solo perché non ha braccio rispetto al centro di massa, ma perché è bilanciata dalla reazione del piano di appoggio.

ziomangrovia ha scritto:Il momento angolare non capisco bene se si conserva immediatamente prima dell'urto e subito dopo;

Nel caso di urto centrale, si conserva sempre. Prima, durante e dopo l'urto (5).

ziomangrovia ha scritto:in ogni modo se calcolassi il momento angolare di m_1 considerando l'asse che passa per il centro di massa di m_2, avrei che l'angolo tra vettore posizione e vettore qdm m_1v_1 è zero per cui il momento sarebbe zero.
Per il corpo m_2 invece il momento c'e' e vale I \omega, quindi forse sto dicendo stupidaggini perché il momento angolare in questo caso si conserva indipendentemente dalla distanza prima dell'urto, non importa che i due corpi siano vicinissimi.

Eh sì, come risposto sopra.

ziomangrovia ha scritto:Poi mi chiedo come faccio a sapere se dopo l'urto il sistema composto dai due corpi ruoterà oppure traslerà il relativo centro di massa?

Ciò che farà dipende da ciò faceva prima e dal tipo di urto. Nel caso che hai presentato, prima dell'urto c'erano un corpo che traslava e un corpo che ruotava. Dopo l'urto, essendosi conservato il momento angolare, il nuovo corpo (6) ruoterà a una velocità inferiore (perché il nuovo corpo ha un momento di inerzia maggiore), attorno a un nuovo centro di massa (quello del nuovo corpo). Lo stesso corpo traslerà a una velocità inferiore (perché il nuovo corpo ha una massa maggiore), lungo la stessa direzione (perché il nuovo centro di massa giace sulla direzione di traslazione).

ziomangrovia ha scritto:Qual è il ragionamento che mi porta a sostenere una delle due ipotesi o entrambe?

Proprio quello dell'eventuale conservazione della quantità di moto e del momento di inerzia.


(1) Per chi volesse un riferimento 'vicino' a questo, può trovarlo qui.

(2) Si può avere un incremento di una delle grandezze a discapito dell'altra (attenzione: incrementi e diminuzioni algebriche!).

(3) Nel testo del tuo esempio hai specificato che il disco piccolo colpisca 'centralmente' il disco grande. Se lo hai fatto avendo considerato questo particolare, sei sulla buona strada.

(4) Sarebbe più corretto definirla impulso.

(5) Nel testo, hai specificato che i dischi non si devono deformare 'troppo'. Questo ha a che fare con il momento angolare, sai spiegare il perché?

(6) Composto dall'unione dei due dischi.
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[5] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 21 dic 2018, 15:20

solo nel caso di urto centrale. Nel caso dell'urto disassato, il momento angolare aumenta a discapito della quantità di moto

Queste affermazioni immagino siano riferite ai singoli corpi perché se ci focalizziamo sul sistema che comprende i due dischi non vedo alcuna forza esterna, prima dell'urto, che genera momento e neppure alcun vincolo/forza conservativa e quindi anche nel caso di urto disassato si dovrebbero conservare sia qdm che momento qdm.
Noto che la congiungente dei due dischi (quindi dei loro centri di massa) rappresenta la retta del vettore posizione di m_1 che è parallela al suo vettore velocità per cui il suo momento prima dell'urto è zero, mentre quello dell'altro corpo vale I\omega


solo nel caso di urto centrale. Nel caso dell'urto disassato, la quantità di moto diminuisce a favore del momento angolare

Anche qua immagino ci si riferisca al corpo m_1 che perde qdm nell'urto e la cede al corpo m_2 ruotante a favore del suo momento della qdm. A livello di sistema se fosse l'urto non centrale valgono le stesse condizioni, no? Cioè le due grandezze L e psi conservano.


Nel caso di urto disassato, questa forza (4) esiste, esiste il conseguente momento meccanico e il momento angolare cambia.

In questo caso potrei dire che c'e' una forza impulsiva dovuta all'urto che genera momento sul corpo m_2 ma da qui le mie analisi non mi portano da nessuna parte perché non riesco a capire se la qdm e il momento della qdm del sistema si conservano sempre. Mi verrebbe da dire di si perché i miei studi mi portano a dire che non ci sono forze esterne forze conservative e vincoli.


Non solo perché non ha braccio rispetto al centro di massa, ma perché è bilanciata dalla reazione del piano di appoggio

Ok per il 3o principio di Newton ma mi chiedo la forza peso è esterna al mio sistema mentre la reazione del piano è interna al mio sistema agendo sui centri di massa dei due corpi, per cui mi confondo un po'.... nel senso si analizza le forze esterne per capire se il sistema ha momento di qdm nullo o meno, ma se la forza è annullata da un'altra forza, come in questo caso la reazione è interna, ben poco importa immagino, perché ciò che conta è la risultante che sia zero. Corretto?


Dopo l'urto, essendosi conservato il momento angolare, il nuovo corpo (6) ruoterà a una velocità inferiore (perché il nuovo corpo ha un momento di inerzia maggiore), attorno a un nuovo centro di massa (quello del nuovo corpo)

So che è una domanda stupida, però perché il nuovo corpo ruoterà attorno ad un nuovo centro di massa?


Nel testo, hai specificato che i dischi non si devono deformare 'troppo'. Questo ha a che fare con il momento angolare, sai spiegare il perché?

provo a buttarmi. :mrgreen:
Forse perché così cambierebbe il loro momento di inerzia e quindi il momento angolare?
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[6] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utentevenexian » 23 dic 2018, 11:30

Invece di rispondere al messaggio precedente, ti propongo di analizzare un caso un po' diverso che rende più evidente quanto affermato prima.

Immagina il solito piano senza attrito dove i corpi sono liberi di muoversi e di ruotare. La gravità agisce perpendicolare al piano (1).

Una barra omogenea di massa M e momento di inerzia I (2), è immobile come in figura. Due dischi di massa m ciascuno, sono lanciati con velocità v dal basso e dall'alto con direzione perpendicolare al lato lungo della barra e pari distanza l dal centro di massa.

Prima.png
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I due dischi urtano la barra nello stesso istante con urto perfettamente elastico e vengono respinti indietro lungo la stessa direzione con velocità v'. La barra entra in rotazione con velocità angolare \omega.

Dopo.png
Dopo.png (12.75 KiB) Osservato 340 volte

Considerando ora la grandezza 'quantità di moto' p intesa come somma del modulo della quantità di moto di ogni corpo e la grandezza 'momento angolare' L intesa come somma del modulo del momento angolare di ogni corpo, determina qualitativamente il loro valore prima e dopo l'urto. In seguito, rispondi alle seguenti domande:

1. Si è conservata la quantità di moto?
2. Si è conservato il momento angolare?
3. Ci sono forze esterne che agiscono sui corpi?

Una volta fatte queste considerazioni, sarà più facile riprendere il caso precedente.

(1) Alto e basso si riferiscono all'immagine riprodotta sullo schermo e fanno riferimento a una direzione parallela al piano.

(2) Momento di inerzia calcolato rispetto all'asse perpendicolare al piano e passante per il centro di massa.
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[7] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 23 dic 2018, 18:10

Allora per la quantità di moto ecco le mie riflessioni:

considerando il piano xy dove sono appoggiati i due corpi, non vedo forze esterne che agiscono lungo la direzione x e y; noto la forza di gravità che è "controbilanciata" dalla reazione del piano ed entrambe si sviluppano sull'asse Z.
Non vedo nemmeno vincoli, inizialmente avrei detto che la quantità di moto si conserva ma poi ho pensato all'urto elastico dove si conserva l'energia cinetica.
Prima dell'urto:
K_p=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2
Dopo l'urto
K_d=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I \omega^2

Ciò significa che una parte dell'energia cinetica aventi i due corpi prima dell'urto si è trasferita alla barra per cui mi verrebbe da dire che la quantità di moto non si conserva.
Se dovessi scrivere la quantità di moto prima dell'urto:

mv+mv

Dopo l'urto: mv'+mv'

Non essendoci moto traslazione della barra, in quanto è colpita a pari distanza da due corpi di uguale massa e velocità, non ho inserito la quantità di moto della stessa nell'equazione.

L'unico modo per cui ritengo che la qdm non si conservi è la lampadina dell'energia cinetica come sopra indicato, ma sono stato tratto in inganno: non ci sono vincoli, né forze esterne al sistema dei tre corpi né forze non conservative.

Per il momento angolare non ci sono forze esterne che agiscono in direzione x ed y che generano momento rispetto all'asse Z passante nel baricentro della barra per cui il momento angolare in prima battuta avrei detto che si conserva ma non mi torna!
Prima dell'urto la barra è ferma per cui posso dire che il momento angolare vale zero, ma dopo l'urto vale I \omega per cui c'e' qualche contraddizione.
In sintesi né qdm né momento angolare si conservano.
Dove sbaglio la mia analisi?
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[8] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utentevenexian » 23 dic 2018, 20:06

Prima dell'urto:
q=2mv
L=0

Dopo l'urto:
q=2mv'
L=I\omega

Né la quantità di moto, né il momento angolare si conservano. Ciò che avviene è che una parte della quantità di moto si trasforma in momento angolare. La parte che si trasforma è determinata dalle caratteristiche fisiche e geometriche del sistema.

Sulla base di questa evidenza, ti invito a rileggere [4] e riformulare i dubbi che avevi esposto in [5].
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[9] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 24 dic 2018, 1:02

venexian ha scritto:Né la quantità di moto, né il momento angolare si conservano. Ciò che avviene è che una parte della quantità di moto si trasforma in momento angolare. La parte che si trasforma è determinata dalle caratteristiche fisiche e geometriche del sistema.

Sulla base di questa evidenza, ti invito a rileggere [4] e riformulare i dubbi che avevi esposto in [5].


Avevo indovinato! :mrgreen:
Prima di riprendere i punti [4] e [5] mi piacerebbe approfondire ulteriormente due concetti se non ti dispiace.
Questa è la definizione che fornisce il mio testo:
sistema isolato (momento angolare): se la risultante dei momenti delle forze esterne agenti su di un sistema è nulla il momento angolare totale del sistema si conserva.
In base alla definizione dovrei sostenere che il momento angolare si conserva ma in realtà non è così.
A questo punto se la definizione non è applicabile significa che c'e' un errore nel mio ragionamento.
C'e' una certa analogia con la qdm.
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[10] Re: qdm e momenti angolari

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 26 dic 2018, 12:51

Comunque trovo su qualsiasi testo l'importante principio fisico che afferma che il momento angolare di un sistema è costante nel tempo se è nullo il momento delle forze esterne che agiscono su di esse.
Se prendo l'ultimo esempio che mi hai mostrato vedo che non ci sono forze esterne al mio sistema che generano momento quindi si dovrebbe conservare il momento angolare.
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