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Equazione goniometrica?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentenovizio » 5 feb 2019, 15:37

Il punto interrogativo non vuole essere una provocazione od una sbadatezza di battitura. Semplicemente non sono sicuro che l'equazione che ora proporrò è ascrivibile a tale categoria.

Allora, si tratta di due funzioni del tempo - una sinusoidale e l'altra a dente di sega - relativamente alle quali mi interessa sapere il punto in cui avviene l'interesezione (la prima intersezione).

Sia il segnale sinusoidale un segnale di ampiezza VM e periodo Ta del tipo:

s_{a}(t)=V_{M}\cdot \sin\frac{2\pi}{T_{a}}\cdot t

e supponiamo che il dente di sega abbia un periodo T eguale ad un decimo del periodo dell'onda sinusoidale, che sia alternata (a valor medio nullo) di ampiezza pari all'ampiezza del segnale sinusoidale. Diciamo che la prima pendenza di questa onda è un segmento appartenente ad una retta di equazione:

s_{t}(t)=-V_{M}+\frac{2\cdot V_{M}}{T}\cdot t

con:

T_{a}=10\cdot T

Allora, per trovarmi la prima intersezione ragiono così. Eguaglio le due funzioni e risolvo rispetto a t. Sostituendo anche l'ultima posizione:

V_{M}\cdot \sin\frac{2\pi}{10T}\cdot t=-V_{M}+\frac{2\cdot V_{M}}{T}\cdot t

divido entrambi i membri per l'ampiezza e semplifico l'argomento del seno:

\sin\frac{\pi}{5T}\cdot t=-1+\frac{2}{T}\cdot t

E qui mi fermo. Insomma, si tratta di un'equazione del tipo:

\sin\left (A\cdot x  \right )=B+C\cdot x

che non riesco a capire come risolvere.

Il massimo che sono riuscito a partorire è stato quello di approssimare il seno con una polinomiale di primo o secondo grado.

Mi sento tanto capoccione. :-x

Grazie in anticipo per l'aiuto.
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[2] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 5 feb 2019, 17:24

Ti va bene una soluzione 'grafica' (alla terza o quarta cifra decimale)?
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[3] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentenovizio » 5 feb 2019, 18:03

Caspita, mi va benissimo =D> .

Però mi piacerebbe anche sapere se esiste una soluzione analitica "esatta" (dalla tua affermazione devo, però, desumere di no).

Grazie.
:-)
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[4] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentexyz » 5 feb 2019, 20:00

Non credo che esista una soluzione esatta, puoi provare ad usare Taylor come approssimazione della \sin(x) e valutare se l'errore commesso dall'approssimazione è accettabile.
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[5] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 5 feb 2019, 20:02

In questi casi io uso le variabili indicizzate dei programmi di calcolo
(p.es. MathCad Express, che è gratuito) per tracciare i relativi grafici.
Da questi si ricavano le intersezioni che permettono di individuare le soluzioni.

Se mi dai un esempio numerico, ti mostro la procedura.
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[6] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentenovizio » 5 feb 2019, 21:13

Ti ringrazio.

Allora, prendo spunto dallo studio che sto conducendo su un modulatore PWM per segnali di tipo audio. Quindi, immaginando una banda di 20 kHz circa ed una frequenza di Shannon minima di 40 kHz, pongo la frequenza dell'onda a dente di sega a 5 volte questo valore: 200 kHz.

A quel punto considero un segnale sinusoidale di ampiezza 5 volt e frequenza 20 kHz (mi pongo sulla frequenza limite).
Il dente di sega, alternato, avrà un'ampiezza eguale a 5 volt anch'esso; ed una frequenza, come scrivevo sopra, a 200 kHz. Mi aspetto, pertanto, dieci punti di campionamento per ogni periodo del segnale sinusoidale.

Credo, se non ho dimenticato qualcosa, che ci sia tutto.

Sono curioso di vedere l'output.
:-)
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[7] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentemarc96 » 5 feb 2019, 21:27

Un'altra possibilità è procedere per iterazione.
Risolvi rispetto a t
t = (\sin\frac{\pi}{5T}\cdot t +1)\frac{T}{2}
Quindi calcoli il 2° membro sostituendo all'incognita t un valore a piacere.
Iteri con il valore ricavato, e incrociando le dita :D , presto convergi ad un valore stabile e con l'approssimazione desiderata.
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[8] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentenovizio » 5 feb 2019, 23:18

Si questa non è male, grazie.

Non ho capito, però, se l'incrocio delle dita ;-) è per una rapida convergenza, oppure per una convergenza e basta.

Nel senso che potresti anche non convergere?
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[9] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto Utentebrabus » 5 feb 2019, 23:49

Alberto.
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[10] Re: Equazione goniometrica?

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 6 feb 2019, 0:16

Per gli ampli audio si usano onde triangolari nel PWM, non a dente di sega: la modulazione double edge ha meno spurie nello spettro. Questo non semplifica il tuo problema, ma dà meno rumori in ucita. Se poi fai una modulazione a tre livelli, ancora meglio in termine di armoniche e prodotti di intermodulazione.

La cosa interessante è che si possono calcolare analiticamente gli spettri delle varie modulazioni, senza dover risolvere esplicitamente l'equazione di cui chiedevi notizie. Lo spettro viene la sagra delle funzioni di Bessel, ma lo si può calcolare.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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