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Interpolazioni di Hermite

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 feb 2019, 18:10

Salve a tutti,
qualcuno ha qualche articolo o riferimento bibliografico sulla struttura dei polinomi interpolanti di Hermite in senso generalizzato?

Sono quei polinomi di grado m_1+...+m_p-1 che, data una funzione sufficientemente derivabile f e dati p punti x_1,...,x_p, soddisfano:

f(x_1)=H(x_1), f'(x_1)=H'(x_1), ..., f^{(m_1)}(x_1)=H^{(m_1)}(x_1)

f(x_2)=H(x_2), f'(x_2)=H'(x_2), ..., f^{(m_2)}(x_2)=H^{(m_2)}(x_2)

...

f(x_p)=H(x_p), f'(x_p)=H'(x_p), ..., f^{(m_p)}(x_p)=H^{(m_p)}(x_p)

Grazie in anticipo.
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
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[2] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto Utentexyz » 21 feb 2019, 20:51

Le Hermite sono spiegate in uno dei libri fondamentali della grafica al computer "Computer Graphics: Principles and Practice", ha un capitolo a riguardo:

https://books.google.it/books?redir_esc ... te&f=false

Per quanto riguarda le Hermite generalizzate ho trovato questa documentazione su arXiv:

https://arxiv.org/pdf/math/0101216.pdf
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[3] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 feb 2019, 21:00

Grazie, vado a vedere.
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[4] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 feb 2019, 21:14

Foto Utentexyz ho sfogliato il PDF su ArXiv, ma lì si parla solo di questi polinomi di Hermite.
Quelli interpolanti sono altri anche se portano lo stesso nome, sono la generalizzazione di questi.

Comunque grazie.
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[5] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 21 feb 2019, 21:33

Santiago Alves Tavares - Generation of multivariate Hermite interpolating polynomials - CRC Press.


Stai studiando termodinamica quantistica?
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[6] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 feb 2019, 21:53

Macchè, dove mi avvio :lol:
È un esercizio del mio libro di analisi :-P
Grazie, vedo se trovo qualcosa.
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[7] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 feb 2019, 14:33

Non riesco a ricavare niente di buono :(

Pensavo che un tale polinomio dovesse avere questa struttura:

H(x)=\sum_{k=1}^{p}\sum_{g=0}^{m_k-1} f^{(g)}(x_k)l_{k,g}(x)

dove l^{(n)}_{k,g}(x_j)=\delta_{ng}\delta_{jk} (Kronecker).

Ho pensato allora di costruire 'a pezzi' l_{k,g}(x) in una forma tipo questa:

l_{k,g}(x)=\alpha_{k,g}\; (x-x_k)^g \prod_{j=1,...,p;  j\neq k}(x-x_j)^{m_j}

che se si deriva n<g volte e la si calcola in x_k, effettivamente si annulla. Poi, quando n=g, sempre in x=x_k, essa non si annulla più, il che è bene; tuttavia deve valere 1, e la cosa si può aggiustare scegliendo bene \alpha_{k,g}.
Per derivazioni 'basse', vale pure che in x=x_j\neq x_k essa si annulla, ma per alti n non riesco a tenere più la cosa sotto controllo.

Direi allora che bisogna metterci un altro polinomio ancora che aggiusti le cose per alti n, quindi una cosa tipo:

l_{k,g}(x)=\alpha_{k,g}\; p(x)\; (x-x_k)^g \prod_{j=1,...,p;  j\neq k}(x-x_j)^{m_j}

ma imponendo le condizioni in maniera diretta, ovvero derivando brutalmente n volte (Leibniz), i calcoli esplodono abbastanza e sono poco utili.
Si può avere una spinta, per favore?
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[8] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 22 feb 2019, 14:35

Cambia metodo, così facendo cerchi di risolvere il problema riconducendolo ad un problema di pari complessità.

Riesci a rendertene conto?
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[9] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 feb 2019, 14:56

PIu o meno si, mi consigli una strategia diversa?
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[10] Re: Interpolazioni di Hermite

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 22 feb 2019, 14:57

Immagino tu non abbia consultato il libro che ti ho suggerito ;-)
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