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Potenze di Matrici Quadrate

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtenteMidgard » 27 mar 2019, 21:01

Salve a tutti,
questo e' il mio primo topic quindi abiate pazienza se abbassero' il livello di arguzia del forum.
Vi pongo il quesito:

M^{*}= M^{n}

dove M e' una matrice 2x2 del tipo:

M= \begin{pmatrix}  m_{11} & m_{12} \\  m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ G(n) \cos(x) - \sin(x) & G(n) \sin(x) + \cos(x) \end{pmatrix},

dove G(n) e' una funzione dipendente da n (potete prendere come esempio un \cos(x n).
E' possibile, secondo voi, esprimere in modo analitico i singoli elementi della matrice M^{*}\: ?

Ho provato a scindere la matrice in due nel seguente modo:

M^{*}= [\begin{pmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\  - \sin(x) &  \cos(x) \end{pmatrix}+G(n) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\   \cos(x) &  \sin(x) \end{pmatrix}]^{n},

deduco che pero' che non esista una formula di Newton per le matrici, visto che il prodotto matriciale non gode della proprieta' commutativa =P~ .

Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi risposta/suggerimento.
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[2] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto Utentexyz » 27 mar 2019, 22:14

Devi diagonalizzare la matrice:

https://it.wikipedia.org/wiki/Diagonalizzabilit%C3%A0

Questo documento spiega come calcolare la potenza di una matrice una volta resa diagonale:

http://www.science.unitn.it/~bagagiol/Potenze.pdf
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[3] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 31 mar 2019, 1:45

Non puoi diagonalizzare perché G dipende anche da n.
Comunque puoi esprimere la formula con Newton, il fatto che le matrici in generale abbiano il prodotto non commutativo non significa che non si possa esprimere la loro somma elevata a potenza con Newton.

Comunque hai una matrice di rotazione sommata a una semirotazione scalata per un fattore non costante (il tempo, giusto? :D )
Stai studiando relatività?
Se vuoi fare una rotazione e una dilatazione temporale il modo che stai usando è troppo ingenuo, devi usare i tensori di Clifford.

Ciao,
Pietro.
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[4] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtenteMidgard » 2 apr 2019, 9:49

Grazie per le risposte. Si Pietro, ci hai azzeccato :ok: . Da povero ingegnere, sto cercando di entrare in questo mondo un po' ostile ma affascinante.
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[5] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 apr 2019, 9:53

he he he... Questo vuol dire che i periodi tristi del corso di RG sono serviti a qualcosa :D

Scherzi a parte, prima di affrontare direttamente un argomento del genere devi rafforzare le basi di matematica.
Conosci i tensori? Se li conosci hai la base per studiare la matematica che serve per capire la RG, altrimenti devi alfabetizzarti.

Se vuoi posso consigliarti qualche testo, ma devo sapere a che punto sei di mate.

Ciao
Pietro
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[6] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtenteMidgard » 2 apr 2019, 17:21

Conoscere bene e' una parola grossa. So cosa sono da alcuni corsi universitari, introdotti giusto nei momenti incui servivano utilizzarli. Di conseguenza direi che accetto il tuo consiglio sul testo, anche perche' conoscere la matematica solo come strumento risolutivo, rende il tutto molto ''sterile''.
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[7] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2019, 17:24

Midgard ha scritto:conoscere la matematica solo come strumento risolutivo, rende il tutto molto ''sterile''.

Questo dimostra quello che ti avevo detto Pietro, sul fatto che siamo amici.
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
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[8] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2019, 7:25

Ianero ha scritto:Questo dimostra quello che ti avevo detto Pietro, sul fatto che siamo amici.

hehehe, sì :D
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[9] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2019, 7:33

Midgard ha scritto: Di conseguenza direi che accetto il tuo consiglio sul testo

ok, mi sembra di capire che devi farti le ossa sui tensori allora.
Io proverei con questo, \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 
3 & 4
\end{pmatrix} volte al giorno, lontano dai pasti :mrgreen:

Poi appena lo hai sbranato cominciamo a fare sul serio, ma ti ci vorranno almeno un paio di settimane per digerirlo.

Ciao,
Pietro.
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[10] Re: Potenze di Matrici Quadrate

Messaggioda Foto Utente6367 » 5 apr 2019, 7:45

Midgard ha scritto:Da povero ingegnere, sto cercando di entrare in questo mondo un po' ostile ma affascinante.


Quando molti anni fa studiai Fisica Matematica (relatività ristretta e generale) al Politecnico di Milano si usavano le ottime dispense scritte a mano dalla professoressa. Senza le quali sarebbe stato molto difficile studiare.
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