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Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

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[21] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto Utentemarco76 » 17 mag 2019, 9:08

Ok ma come ha detto Dr. Cox Maxwell non basta, la diffusione è un processo stocastico che porta il sistema ad una entropia maggiore. Quindi c'entra il secondo principio della termodinamica.
Come ricavarlo da Newton non saprei, però vi seguo volentieri...

Per la dimostrazione della relazione di Einstein-Smoluchowski ci si poneva nel sistema in equilibrio (con campo esterno ma con le cariche già nello stato finale).
In teoria le correnti di drift e diffusion sono indipendenti.
In pratica visto che la corrente di diffusione è un processo infinito mentre quella di drift è un processo finito, all'equilibrio la somma deve essere nulla e si può stabilire una relazione tra le due.
Prego i fisici presenti di correggere mie eventuali castronerie...
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[22] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteIanero » 17 mag 2019, 20:55

marco76 ha scritto:Come ricavarlo da Newton non saprei, però vi seguo volentieri...


Purtroppo io mi sono fermato a [20], mi piacerebbe sapere Foto UtenteDrCox cosa ne pensa, potrebbe il modello in [20] includere la diffusione se formulato in quel modo? Io credo sempre di no, sarà anche più preciso perché non ho supposto che le velocità siano proporzionali al campo (c'è invece l'equazione di Newton che tiene conto dell'accelerazione), ma non credo fosse quella la chiave.

marco76 ha scritto:Prego i fisici presenti di correggere mie eventuali castronerie...


Provo a chiedere, se ha voglia e per favore, anche l'opinione di Foto UtentePietroBaima sulla stessa domanda che ho appena scritto sopra in questo stesso post.
Riuscirei a dormire meglio se capissi veramente perché e da dove deve venire fuori la diffusione, non scherzo.

Grazie a tutti per avermi seguito fin qui.
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[23] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 22 mag 2019, 17:32

Come accennato qualche post fa, lasciamo stare la giunzione pn. La diffusione è un processo del tutto generale, che non si applica soltanto agli elettroni-lacune. Ricavare la corrente di diffusione per elettroni/lacune in una giunzione non è formalmente diverso dall'analizzare i problemi diffusivi dei gas.

Ti consiglio di andare a riguardare la teoria della diffusione dei gas basata sul modello di Boltzmann. Vedrai che alla fine si tratta di maneggiare quantità di moto ed energie cinetiche.
Ora tu dirai: queste quantità di moto ed energie cinetiche devono derivare da una forza, quindi perché con Maxwell non riesco a ricondurmi a ciò?
Il problema della giunzione pn dunque dobbiamo trasformarlo nel seguente:
come ricavare il modello diffusivo di Boltzmann per i gas, partendo da Maxwell (+ equazione di Newton)?
Secondo me semplicemente non si può, in quanto nei modelli diffusivi ci sono sempre delle considerazioni di natura statistica (non hai una "diffusione" per una singola particella).

E' un po' come se considerassi il problema massa-molla, ma senza sapere che esiste la forza di Hooke per la molla. Non ti si muove niente, non ti oscilla niente. Ma tu sai che deve oscillare, e ti domandi da dove salti fuori la legge di Hooke. Per ricavare il comportamento corretto del sistema, devi considerare un elemento (la forza di Hooke), che non puoi derivare semplicemente partendo dalle equazioni di base che usi nel tuo modello (devi aggiungere della "conoscenza" extra, i.e. le forze su scale atomiche che determinano le proprietà elastiche dei materiali).

Mi sembra che siamo in una situazione analoga. Sappiamo che deve esserci la diffusione, ma con i soli strumenti che stiamo provando ad usare (Newton e Maxwell) la diffusione non salta fuori.

Direi dunque di provare a ripartire dal modello di Boltzmann per i gas ideali.
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[24] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 mag 2019, 18:54

DrCox ha scritto:Ora tu dirai: queste quantità di moto ed energie cinetiche devono derivare da una forza, quindi perché con Maxwell non riesco a ricondurmi a ciò?

Precisamente.

DrCox ha scritto:come ricavare il modello diffusivo di Boltzmann per i gas, partendo da Maxwell (+ equazione di Newton)?

Perfetto.

DrCox ha scritto:Secondo me semplicemente non si può, in quanto nei modelli diffusivi ci sono sempre delle considerazioni di natura statistica (non hai una "diffusione" per una singola particella).

Vero che non ho diffusione per una particella, ma non capisco come ciò limiti concettualmente ciò che cerchiamo di fare. L'importante è che mi verrà un'espressione opportuna per le densità di portatori, e quindi delle correnti (espresse solo come \rho(\bold{r},t)\cdot \bold{v}(\bold{r},t)) che siano vicine a quelle che si otterrebbero usando diffusione e mobilità nel solito modello D-D.

DrCox ha scritto:Per ricavare il comportamento corretto del sistema, devi considerare un elemento (la forza di Hooke), che non puoi derivare semplicemente partendo dalle equazioni di base che usi nel tuo modello (devi aggiungere della "conoscenza" extra, i.e. le forze su scale atomiche che determinano le proprietà elastiche dei materiali).

Vero, ma qui non me le sto scordando, anzi le sto mettendo dentro tutte.
Mancherebbero le forze elettromagnetiche che derivano dall'interazione dei portatori con il reticolo (in minima parte già ci sono perché tra la carica c'è anche quella fissa dovuta al drogaggio), ma queste vengono trascurate anche dal modello D-D, quindi dovremmo ottenere le stesse cose.
Il modellino della diffusione usato nel D-D infatti, tiene conto di come le cariche mobili diffondono per 'urti' tra loro, non per urti col reticolo.

DrCox ha scritto:Mi sembra che siamo in una situazione analoga. Sappiamo che deve esserci la diffusione, ma con i soli strumenti che stiamo provando ad usare (Newton e Maxwell) la diffusione non salta fuori.

Probabilmente sbaglio io, ma secondo me non è una cosa troppo campata in aria.


PS: ora ti rispondo 'di là' :-P
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[25] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 23 mag 2019, 10:23

Ianero ha scritto: un'espressione opportuna per le densità di portatori, e quindi delle correnti


Restiamo sul problema del gas per semplicità, ci penseremo poi ad integrarlo nel semiconduttore. Non ci sono correnti, la diffusione avviene anche per particelle neutre.
Come avviene? Moto Browniano.
A cosa è dovuto? Ai continui urti delle particelle con le altre particelle e con le pareti della "scatola".
Tutto si riconduce dunque a dover esprimere in modo opportuno gli urti.

Prendi una pallina che rimbalza in giro dentro ad una scatola. Come fai a modellare l'urto con la scatola (e la conservazione della quantità di moto/energia cinetica) usando Maxwell?
Sappiamo che gli urti sono, sulla nanoscala, sempre delle interazioni elettrostatiche, due corpi non si "toccano" mai veramente.

Per ricavare la diffusione nel semiconduttore ti basta usare il modello generico di qualsiasi processo diffusivo, ricordando che ogni grandezza (sia essa una carica o una particella neutra) diffonde, sulla base delle leggi di diffusione.
Dobbiamo dunque ricavare il generico modello di diffusione. Per farlo devi ricavarti il modello di Boltzmann che è, semplificando, una descrizione statistica degli urti di una popolazione di particelle.
Dobbiamo dunque ricavare cosa succede negli urti tra particelle. Hai essenzialmente da usare Newton.
A cosa è dovuto questo Newton? Essenzialmente alle interazioni elettrostatiche tra i corpi quando si avvicinano tantissimo (urto).

E' una strada lunga e con delle insidie, ma non vedo motivazioni di fondo per cui non si possa arrivare alla fine.

Ianero ha scritto:Vero, ma qui non me le sto scordando, anzi le sto mettendo dentro tutte.

E' qua che non sono convinto.
Se consideri una soluzione con degli ioni, a parte le correnti ohmiche, gli ioni diffondono. Cosa induce la diffusione? Differenze di potenziale elettrochimico in diversi punti del sistema. Si può ricavare ciò con Maxwell?

Ad aver più tempo mi piacerebbe mettermici a pensare seriamente per capire meglio anche io la questione.
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[26] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 mag 2019, 13:15

Mi fai capire meglio cosa non ti convince?

DrCox ha scritto:E' qua che non sono convinto.
Se consideri una soluzione con degli ioni, a parte le correnti ohmiche, gli ioni diffondono. Cosa induce la diffusione? Differenze di potenziale elettrochimico in diversi punti del sistema. Si può ricavare ciò con Maxwell?

La diffusione, così come il drift, è indotta dalla forma di \mathcal{V}(\bold{r},t).
L'importante è che nelle equazioni che caratterizzano \mathcal{V}(\bold{r},t) ci siano dentro tutte le cause, e mi pare ci siano per quanto dicevo prima.
Quando dici 'a parte le correnti ohmiche' immagino ti stia riferendo alla parte di corrente che nel classico modello D-D è originata dalle mobilità.
In ogni caso, in generale e in qualunque problema elettromagnetico, la corrente è sempre questa:

\bold{\mathcal{J}}(\bold{r},t)=\rho (\bold{r},t) \bold{v}(\bold{r},t)

perché ciò che questa equazione dice è semplicemente 'sono cariche che si spostano'. Non è possibile che in questa equazione manchi della 'conoscenza extra'. Ciò che invece va fatto per bene è trovare \bold{v}(\bold{r},t), legandola opportunamente a \mathcal{V}(\bold{r},t), a sua volta legato opportunamente a tutte le cause che lo generano, ovvero tutte le cariche, dove si trovano, quanto sono dense, ... (sostanzialmente è tutto dentro n(\bold{r},t), p(\bold{r},t), N_D(\bold{r}), N_A(\bold{r})).
Probabilmente, legare \bold{v}(\bold{r},t) al campo con una semplice proporzionalità diretta è troppo riduttivo e non tiene conto degli 'urti', nel senso che non tiene conto delle accelerazioni e le decelerazioni che le cariche compiono quando si avvicinano. Forse, con Newton invece ci si riesce bene ed è da lì che nasce l'idea del modello in [20].
E' bene, in sostanza, notare che Newton non mi serve per dire che la forza è di origine elettromagnetica (vero ma scontato), ma mi serve per dire che ciò che è proporzionale al campo non è la velocità delle cariche, ma la sua derivata temporale.

Stiamo ovviamente trascurando tutte le 'sterzate' che le cariche mobili fanno a causa del campo magnetico generato dalle cariche stesse che vanno in giro. Tale approssimazione è scritta nel fatto che sto usando \mathcal{V}(\bold{r},t), ovvero che ho supposto dall'inizio che \nabla \times \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)\approx 0. Tuttavia, immaginando il fenomeno, non vedo problemi generati da questa approssimazione ai fini della genesi della diffusione delle cariche e del drift.

DrCox ha scritto:Restiamo sul problema del gas per semplicità, ci penseremo poi ad integrarlo nel semiconduttore. Non ci sono correnti, la diffusione avviene anche per particelle neutre.
Come avviene? Moto Browniano.
A cosa è dovuto? Ai continui urti delle particelle con le altre particelle e con le pareti della "scatola".
Tutto si riconduce dunque a dover esprimere in modo opportuno gli urti.

Paradossalmente, quello che vuoi fare qui è più difficile della giunzione PN, perché devi modellizzare particelle complesse che sono le molecole del gas, tenendo conto dell'interazione elettromagnetica all'interno di ognuna di esse e degli effetti quantistici che consentono agli atomi di non disgregarsi.
Nel nostro caso invece tutto è più semplice perché le particelle libere sono già 'elementari', si tratta di elettroni e (con un po' di immaginazione sulla loro semplicità) lacune: cariche positive e negative totalmente libere di andare in giro in un volume, obbedienti solo alle forze elettromagnetiche.
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[27] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 23 mag 2019, 14:54

Ianero ha scritto:Probabilmente, legare \bold{v}(\bold{r},t) al campo con una semplice proporzionalità diretta è troppo riduttivo


Non è riduttivo, è corretto, nel momento in cui stai analizzando come meccanismo di trasporto solo la componente ohmica, ossia la componente di trasporto dovuta alla presenza di un campo.

Il punto qua è che c'è un'ulteriore componente di trasporto dei portatori, che non dipende dal campo elettrico. Non ne vieni fuori con Maxwell perché non c'è niente di "elettrico" nella diffusione. La diffusione prescinde dal fatto di avere elettroni/lacune/cariche... è per questo che avevo fatto l'esempio del gas ideale, per ragionare in termini di particelle neutre.
Ed è per questo che, se non si è soddisfatti del semplice "accettare" che nei semiconduttori ci sono due meccanismi di trasporto (uno di drift ed uno diffusivo), ciascuno dei quali viene modellato in modo diverso sulla base della natura del fenomeno che induce tale trasporto (equazioni di Maxwell che ti mostrano la componente ohmica, equazioni di Fick che ti fanno ottenere la parte diffusiva), allora bisogna partire a monte e capire quale è l'origine della diffusione in termini del tutto generici (al di là dei ragionamenti qualitativi che permettono di ottenere la legge di Fick*). Senza questo passaggio secondo me non si va avanti.


*considera una generica superficie nello spazio, considera una certa popolazione di "oggetti" presente con una certa concentrazione da un lato della superficie ed una concentrazione diversa dall'altro lato, per T>0 per via del moto browniano con cui gli oggetti si muovono ti accorgi che hai un flusso netto di particelle dal lato a concentrazione maggiore al lato a concentrazione minore
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[28] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 mag 2019, 17:40

DrCox ha scritto:Non è riduttivo, è corretto, nel momento in cui stai analizzando come meccanismo di trasporto solo la componente ohmica, ossia la componente di trasporto dovuta alla presenza di un campo.

Io non voglio saperlo a priori quali e quanti sono i meccanismi di trasporto, per questo scrivo \bold{\mathcal{J}}(\bold{r},t)=\rho (\bold{r},t) \bold{v}(\bold{r},t) e stop.

DrCox ha scritto:Senza questo passaggio secondo me non si va avanti.

Ho capito cosa dici, ma farlo così è molto più difficile che farlo invece per sistemi di particelle 'elementari' con la loro carica e massa. Non trovi?

DrCox ha scritto:*considera una generica superficie nello spazio, considera una certa popolazione di "oggetti" presente con una certa concentrazione da un lato della superficie ed una concentrazione diversa dall'altro lato, per T>0 per via del moto browniano con cui gli oggetti si muovono ti accorgi che hai un flusso netto di particelle dal lato a concentrazione maggiore al lato a concentrazione minore

Già, ma poiché nella scala del singolo elettrone la temperatura è un concetto inutile, si deve poter ricavare la diffusione, secondo me, solo in termini di forze e di leggi orarie, ovvero da Maxwell e Newton.

Comunque credo che siamo arrivati al punto in cui possiamo solo sospettare o meno che le equazioni in [20] descrivano l'intero fenomeno. Mi sa che devo trovare il modo di fare uno straccio di simulazione giusto per avere un'idea.
Comunque se ho capito bene mi stai dicendo che [20] è incompleto, giusto?

Grazie delle risposte che mi stai dando, apprezzo molto. :-)
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[29] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteIanero » 26 mag 2019, 10:19

Ho riflettuto molto sulla questione in questi giorni, anche confrontandomi con un'altra persona che non è su questo forum e che ringrazio.
Mi ha fatto rendere conto dell'obiezione che sollevava Foto UtenteDrCox, vediamo se riesco a mettere in chiaro la situazione, sperando che Foto UtenteDrCox possa dedicare ancora un po' di tempo a questo problema.
Giustamente come ha ripetuto più volte, la diffusione vale anche per palline neutre, chiuse in una scatola e libere di andare in giro. Inoltre, senza complicarci la vita inutilmente, possiamo benissimo supporre che la scatola sia isolata dal resto del mondo, nel senso che non ci sono scambi energetici in nessuna delle due direzioni.
Da dove nasce la diffusione di queste palline neutre? Dal fatto che l'intero sistema di palline ha una certa energia (cinetica) e dal fatto che, pur rimanendo costante globalmente, esse se la scambiano continuamente attraverso urti elastici. In altre parole, se si trovano in una certa configurazione spaziale, esse non possono restare ferme dove sono, perché l'energia che possiedono le obbliga al moto eterno. Dunque, se c'è un fitto grappolo di palline in una zona della scatola, mentre c'è pressoché il vuoto in un'altra, dopo un po' di tempo attraverso urti continui queste tenderanno a distribuirsi più o meno con densità uniforme in tutte e due le zone.
Abbiamo detto che gli urti altro non sono altro che interazioni elettromagnetiche, dunque almeno in linea di principio si dovrebbe poter ricavare questo fenomeno da Maxwell e Newton.
Come fare?
Si deve schematizzare ogni pallina come un insieme di elettroni e protoni (e neutroni, che in una analisi come questa servono solo per sapere quanta è l'inerzia delle palline), tenuti insieme da fili inestensibili e senza massa. Si deve poi trovare il campo elettromagnetico prodotto da tutte le particelle elementari (che non sono neutre) di tutte le palline. Tale campo pervade l'intera scatola.
A questo punto, ogni particella elementare in ogni pallina sente questo campo, sente la forza che ne deriva, e la risultante di tutte le forze sull'insieme di particelle di una singola pallina costituisce la forza esercitata su quella pallina. Cosa vedremmo? Vedremmo che quando una pallina non è in prossimità di nessun'altra, la risultante delle forze elettromagnetiche sulle sue singole particelle costituenti è praticamente nulla. Diventa non trascurabile solo quando essa viene ad essere molto vicina ad un'altra (urto).
La diffusione deve venire fuori da una analisi del sistema fatta così, in questi termini.

Che succede se 'smontiamo' il sistema? Ovvero, che succede se considero un sistema fatto di per sé già di particelle elementari (cariche), svincolate, in una scatola come quella di prima?
La risposta è: niente di diverso da prima, a meno del fatto che non serve più introdurre nel modello quei fili ideali che tenevano insieme grappoli di particelle elementari, formando le palline.

In conclusione, direi che nel modello in [20], la diffusione dovrebbe essere già dentro. Bisogna solo specificare nelle condizioni iniziali che l'intero sistema possiede una certa energia cinetica, che poi si manterrà globalmente costante poiché la scatola è isolata.


Attendo tuo riscontro :-P



Nota: le particelle cariche (in entrambi i modelli a palline o a particelle svincolate) quando cambiano la loro velocità irradiano, ma ciò non rappresenta un problema in quanto la scatola, essendo isolata, riflette tutta la radiazione che riceve ributtandola dentro. In altre parole, si può supporre benissimo che le particelle non irradino affatto, ovvero utilizzando un potenziale anziché trattare tutto in termini di campo EM.
Nota 2: ho corretto un errore che commettevo nel messaggio [7], che solo ora sono riuscito finalmente a vedere.
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[30] Re: Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 29 mag 2019, 8:22

Ianero ha scritto:nel modello in [20], la diffusione dovrebbe essere già dentro. Bisogna solo specificare nelle condizioni iniziali che l'intero sistema possiede una certa energia cinetica, che poi si manterrà globalmente costante poiché la scatola è isolata.


Concettualmente ci siamo vicino. E simile a quanto dicevamo. Maxwell non basta, devi aggiungere:
- Newton per poter fare le considerazioni su conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica
- considerazioni statistiche (modello Boltzmann) per ricavare la diffusione
puoi considerare che le palline cariche interagiscano tra di loro solo mediante forse elettrostatiche, dunque con Maxwell se ne dovrebbe venire fuori, ma solo e soltanto a patto di fare considerazioni globali (la diffusione è un fenomeno globale non locale).

Non sono inoltre d'accordo sul considerare la scatola isolata. Gli urti li hai solo sulle pareti "sopra" e "sotto", a destra e sinistra hai i contatti attraverso cui scorre la corrente, queste pareti fanno da sorgente e da pozzo per le cariche.
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