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vettori e numeri complessi

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentemarc96 » 28 mag 2019, 15:54

Tra i vettori e i numeri complessi ci sono delle analogie ma anche tante differenze date le diverse origini geometrica ed algebrica. Spesso si parla di tensione, corrente ed impedenza di grandezze vettoriali.
Il rischio di confusione è molto elevato; ad es. le operazioni di moltiplicazione e divisione valide per i complessi non valgono per i vettori per i quali è definito il prodotto vettoriale e scalare ma non la divisione e certamente non la moltiplicazione come prodotto dei moduli e somma degli angoli.
Mi chiedo perché in Elettrotecnica concetti così diversi sono utilizzati insieme con molta disinvotura.
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[2] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 28 mag 2019, 16:10

Forse questo può aiutare
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[3] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 28 mag 2019, 16:17

Ti rendi conto, Foto Utentemarc96, che se non fornisci esempi o spiegazioni precise le tue parole sembrano buttate lì casualmente, vero? :roll:

Va be', per stavolta sorvoliamo... immagino tu voglia criticare il formalismo che fa uso dei fasori, dico bene? Se è così, allora posso correggerti subito: nessuno dice che i fasori e i vettori sono la stessa cosa (lo sono, se consideri \mathbb{C} nel modo giusto... ma lasciamo stare), ma semplicemente che un fasore può essere intuitivamente rappresentato come un vettore centrato nell'origine di un opportuno sistema di riferimento. Qualsiasi confusione in questo senso non è colpa del formalismo, bensì di una sua limitata o errata comprensione.
Se ti interessa una riflessione sulla natura dei fasori, tempo addietro mi interrogai e interrogai il forum, dando inizio a questo thread.


EDIT: noto solo ora, Foto Utentemarc96, che tu sei il tizio che era intervenuto proprio in quel topic a chiedere di Javascript #-o Quindi sai già della sua esistenza...

EDIT-2: visto che citavi esplicitamente la divisione tra numeri complessi, voglio stimolare una riflessione: cos'è la divisione? Com'è definita? Cosa è richiesto affinché la divisione possa esistere? E per finire, seguendo da quanto chiesto prima, perché è possibile definire la divisione per i numeri complessi ma non in generale (*) per i vettori di uno spazio vettoriale qualsiasi?


(*) (DISCLAIMER PER I LETTORI CHE CONOSCONO LE ALGEBRE DI CLIFFORD: lo so, lo so... :oops: )
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[4] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utente6367 » 28 mag 2019, 19:30

marc96 ha scritto:Mi chiedo perché in Elettrotecnica concetti così diversi sono utilizzati insieme con molta disinvotura.


In diverse scienze vettori bidimensionali e numeri complessi vengono utilizzati assieme
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[5] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentemarc96 » 28 mag 2019, 21:08

Ringrazio Foto Utenteg.schgor per la risposta ma non pongo un problema di calcolo matriciale.
Ringrazio anche Foto Utentewruggeri con cui concordo sulla mia limitata ed errata comprensione. Ho riletto l'utile thread suggerito sui fasori.
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[6] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 28 mag 2019, 22:18

Spero che il thread ti sia stato utile ;-)
In ogni caso, ti consiglio di provare di rispondere alle domande che ho posto:

wruggeri ha scritto:EDIT-2: visto che citavi esplicitamente la divisione tra numeri complessi, voglio stimolare una riflessione: cos'è la divisione? Com'è definita? Cosa è richiesto affinché la divisione possa esistere? E per finire, seguendo da quanto chiesto prima, perché è possibile definire la divisione per i numeri complessi ma non in generale (*) per i vettori di uno spazio vettoriale qualsiasi?


(*) (DISCLAIMER PER I LETTORI CHE CONOSCONO LE ALGEBRE DI CLIFFORD: lo so, lo so... :oops: )


Rispondere a queste domande non è banale, e ti stimola a riflettere moltissimo su cose che nei corsi di base di algebra lineare (e non solo) vengono date per scontate :ok:
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[7] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentemarc96 » 29 mag 2019, 8:52

Si è stato utile: in alternata riferendomi alla sinusoide escludo il termine vettore ed utilizzo solo il fasore ( se devo usare il concetto di vettore rotante chiarisco che non è il vettore utilizzato in fisica biennio, considera che mi pongo ad un livello molto basso di scuola media superiore).
Riguardo alla divisione, per i numeri complessi è possibile tornare indietro, cioè moltiplicando (per come è stata definita la moltiplicazione) il risultato della divisione per il divisore si riottiene il dividendo.
Per i vettori questo non è possibile né utilizzado il prodotto vettoriale né lo scalare.
Che poi esistono trattazioni più generali ...Clifford... (come penso di intuire) è fuori dal mio ambito.
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[8] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 29 mag 2019, 11:55

marc96 ha scritto:in alternata riferendomi alla sinusoide escludo il termine vettore ed utilizzo solo il fasore ( se devo usare il concetto di vettore rotante chiarisco che non è il vettore utilizzato in fisica biennio, considera che mi pongo ad un livello molto basso di scuola media superiore).


Un attimo... da quel che dici probabilmente la mia spiegazione ti ha confuso.
Facciamo così: vediamo la cosa da un punto di vista un po' più formale.

Possiamo dire che i numeri complessi hanno una "doppia natura": sono numeri, in effetti, ma sono in un certo senso anche vettori bidimensionali. Pensala così: possiamo scrivere il numero complesso a + jb (io uso j per indicare l'unità immaginaria) sia nella forma "classica", quella che abbiamo appena usato, sia nella forma "vettoriale" [a \;\; b], per cui possiamo dire che in effetti un numero complesso corrisponde a un vettore di \mathbb{R}^2.
Ora, come la mettiamo con il prodotto e la divisione tra numeri complessi? Le operazioni che conosciamo sono operazioni che non hanno alcun corrispettivo vettoriale "ovvio": come hai giustamente notato, il prodotto scalare tra vettori non va bene (anche perché non produce un vettore!), e neanche il prodotto vettoriale fa al caso nostro. Un prodotto tra vettori che condivide alcune proprietà con l'operazione che ci interessa (ma solo alcune: ad esempio, esso non è commutativo) sarebbe il prodotto di Clifford, ma non rientra nel nostro "campo visivo" e quindi non ne parliamo.
Una puntualizzazione, a proposito: è ovvio che se ti va puoi definire una funzione corrispondente al prodotto tra numeri complessi che operi sui vettori, e puoi chiamarla "prodotto" e indicarla con il simbolo che vuoi... quel che conta è che tu capisca che quest'operazione non corrisponde né al prodotto scalare né al prodotto vettoriale.

In sintesi, così chiariamo il tuo dubbio: i fasori sono numeri complessi e sono anche vettori, notando che le operazioni che tu chiami "prodotto" e "divisione" quando pensi ai numeri complessi non c'entrano nulla con il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Per questo io prima ti ho detto che il problema non sta nel formalismo ma nella sua comprensione: il formalismo è corretto, perché i numeri complessi corrispondono a dei vettori, ma è importante capire che quel che chiami "prodotto" quando pensi ai numeri complessi come a degli elementi di \mathbb{C} non è quel che chiami "prodotto scalare" o "prodotto vettoriale" quando pensi ai numeri complessi come vettori di \mathbb{R}^2.
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[9] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentemarc96 » 29 mag 2019, 17:27

Grazie, sei stato chiarissimo.
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[10] Re: vettori e numeri complessi

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 29 mag 2019, 23:40

Prego :ok:

Già che ci siamo, per evitare che tu possa confonderti inutilmente ti spiego pure un'altra cosa: abbiamo stabilito una corrispondenza tra \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} (propriamente, un isomorfismo), ma questo non vuol dire che \mathbb{R}^2 = \mathbb{C}... o più esattamente, non vuol dire che \mathbb{R}^2= \mathbb{C} in qualsiasi caso, perché:

-> Se intendiamo \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} come insiemi, ovviamente la corrispondenza sussiste, perché contengono gli stessi elementi (o più propriamente, perché contengono elementi in corrispondenza biunivoca l'uno con l'altro).
-> Se intendiamo \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} come spazi vettoriali, la corrispondenza continua a sussistere (se conosci un po' di algebra lineare, ti invito a verificarlo ;-) ).
-> Se intendiamo \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} come anelli (si studiano ancora le strutture algebriche alle scuole superiori?), la corrispondenza non vale più, perché le operazioni di prodotto che definiscono si comportano in maniera differente. La differenza è accentuata se consideriamo \mathbb{C} come un campo, visto che \mathbb{R}^2 non lo è.

Magari di tutta 'sta roba non ti frega niente, perché a te interessa solo equiparare numeri complessi e vettori bidimensionali (la qual cosa va benissimo, come abbiamo ribadito più volte)... ma per amor di precisione ritenevo giusto parlartene.


N.B. ovviamente, quando scrivo \mathbb{R}^2= \mathbb{C} non intendo che le due entità sono la stessa cosa, bensì che esse in qualche modo "si corrispondono" (io non lo so se sai cos'è un isomorfismo, quindi ti propongo questa formulazione generica del concetto... ma se lo sai, tanto meglio: posso dirti direttamente che scrivendo \mathbb{R}^2= \mathbb{C} intendo che le due entità sono isomorfe).
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