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Integrale generale ed equazione differenziale

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Integrale generale ed equazione differenziale

Messaggioda Foto UtenteDearis » 18 lug 2019, 12:26

Buongiorno a tutti,
avrei due domande da farvi relative ad alcune cose di Analisi che purtroppo non ricordo più tanto bene.
Allora:

1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
E_{m} cos(\omega t)=LC \frac{d^{2}v_{r}}{dt^{2}}+RC\frac{dv_{r}}{dt}+v_{r}

La sua soluzione è data da:
v_{r}(t)=v_{rt}(t)+v_{rp}(t)

Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?

2. Se prendo in considerazione l'equazione di d'Alambert per un'onda di tensione:
\frac{\delta ^{2}v_{x}(t)}{\delta x^{2}}=\frac{1}{\upsilon ^{2}}\frac{\delta ^{2}v_{x}(t)}{\delta t^{2}}

Il suo integrale generale si può scrivere nella forma:
v(x,t)=f(x-\upsilon t)+g(x+\upsilon t)

Perché?

Grazie :D
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[2] Re: Integrale generale ed equazione differenziale

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 18 lug 2019, 23:06

Dearis ha scritto:1. Se ho un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, del tipo:
E_{m} cos(\omega t)=LC \frac{d^{2}v_{r}}{dt^{2}}+RC\frac{dv_{r}}{dt}+v_{r}

La sua soluzione è data da:
v_{r}(t)=v_{rt}(t)+v_{rp}(t)

Dove il primo termine è la soluzione dell'omogenea associata, mentre il secondo è l'integrale particolare.
Ricordate da quale teorema esce fuori? E in maniera specifica come si ricavano entrambi?

Non è un teorema, è uno sporco trucco da matematici.
Personalizzo lo sporco trucco alla tua equazione, ma confido che non ci impiegherai molto a dargli valenza generale.

Se ipotizzo che la soluzione sia del tipo che hai presupposto tu:

v_{r}(t)=v_{rt}(t)+v_{rp}(t)

con v_{rt}(t) e v_{rp}(t) QUALUNQUE (in pratica sto pensando che la soluzione possa essere la somma di due funzioni e questo è sempre vero, potendo scegliere le mie funzioni come mi pare) allora l'equazione diventa da:

f(t)=c_1^2 v_r^{\prime \prime}(t)+c_2 v_r^\prime(t)+v_r(t)

a

f(t)=c_1^2 \left(v_{rt}^{\prime \prime}(t)+v_{rp}^{\prime \prime}(t)\right)+c_2 \left(v_{rt}^{\prime}(t)+v_{rp}^{\prime}(t)\right)+v_{rt}(t)+v_{rp}(t)

che equivale al sistema: (poiché è lineare)

\left\{\begin{matrix}
0=c_1^2 v_{rt}^{\prime \prime}(t)+c_2 v_{rt}^{\prime}(t)+v_{rt}(t)
\\ \\
f(t)=c_1^2 v_{rp}^{\prime \prime}(t)+c_2 v_{rp}^{\prime}(t)+v_{rp}(t)
\end{matrix}\right.

Questo significa che la prima funzione che ho scelto è l'integrale della omogenea associata, per cui la soluzione della equazione differenziale completa sarà la soluzione della omogenea associata più un'altra funzione, che chiamiamo particolare perché specifica per quella equazione differenziale.

Per ricavare entrambi devi studiarti le tecniche di soluzione delle equazioni differenziali di questo tipo, è un argomento molto vasto che non posso spiegarti qui. Se vuoi ti consiglio qualche libro, per esempio prova a guardare qui.

Dearis ha scritto:2. Se prendo in considerazione l'equazione di d'Alambert per un'onda di tensione:
\frac{\delta ^{2}v_{x}(t)}{\delta x^{2}}=\frac{1}{\upsilon ^{2}}\frac{\delta ^{2}v_{x}(t)}{\delta t^{2}}

Il suo integrale generale si può scrivere nella forma:
v(x,t)=f(x-\upsilon t)+g(x+\upsilon t)

Perché?

Grazie :D


E' una ipotesi che D'Alambert aveva fatto per le onde osservando le onde sulle corde: se sgrullo una corda legata all'altro capo ad un piolo, osservo un'onda che viaggia verso il piolo, poi nasce un'onda riflessa dal piolo che torna verso di me. La soluzione generale deve essere la presenza di due onde: una generata da me e una riflessa dal piolo. :D
Ipotizzò quindi una soluzione di quel tipo e la sostituì nella equazione risolvendola. Se vuoi provarci anche tu fai attenzione ad utilizzare correttamente la regola della catena di derivate parziali.

Ciao
Pietro
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[3] Re: Integrale generale ed equazione differenziale

Messaggioda Foto UtenteDearis » 19 lug 2019, 10:35

Sei stato gentilissimo, grazie.
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