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Prodotto cartesiano di campi di Borel

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Prodotto cartesiano di campi di Borel

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 ago 2019, 12:33

Buongiorno a tutti,
supponiamo che io esegua due esperimenti \mathcal{E}_1 \mathcal{E}_2 uno dietro l'altro.
Ognuno di essi si descrive con una terna (S_1,\mathcal{F}_1,P_1) ed (S_2,\mathcal{F}_2,P_2), dove:

- S_i è l'insieme dei possibili risultati \{\zeta_i\} del singolo esperimento \mathcal{E}_i;
- \mathcal{F}_i è una famiglia di insiemi in cui ogni elemento di \mathcal{F}_i è a sua volta un insieme (sottinsieme di S_i) contenente alcuni dei possibili risultati di \mathcal{E}_i;
- P_i è un insieme di numeri reali, rappresentanti le probabilità assegnate a ogni possibile elemento della famiglia \mathcal{F}_i (evento).

In particolare, le due famiglie \mathcal{F}_i verificano entrambe la definizione di campo di Borel, ovvero:

1. A_1\in\mathcal{F}_1 e A_2\in\mathcal{F}_1 \Rightarrow A_1\cup A_2\in\mathcal{F}_1;
2. A \in\mathcal{F}_1\Rightarrow \sim A \in\mathcal{F}_1

dove con \sim A ho indicato il complementare di A in S.

Sotto queste ipotesi, sapreste dimostrare che allora il prodotto cartesiano di tutti i possibili:

A\times B, \quad A\in \mathcal{F}_1, B\in\mathcal{F}_2

è ancora un campo di Borel?
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
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