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(Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

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[1] (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 11 ago 2019, 16:06

Salve e buona domenica :mrgreen: Ho qualche dubbio sul seguente esercizio.

"Una sfera isolante di raggio R_1 = 0.5 \, m viene caricata uniformemente con carica Q = 16\, nC. Un guscio sferico non carico, di materiale conduttore, con raggio interno R_2 e raggio esterno R_3 viene posto concentrico alla sfera. Calcolare a) il campo elettrico in funzione della distanza dal centro, b) la differenza di potenziale tra i punti r = 0 e r = R_1/2."

Correggetemi se dico qualche sciocchezza. Il fatto che la sfera di raggio R_1 sia isolante, vuol dire che andrà a trattenere le cariche, dico bene? Stamattina ho studiato il caso dell'induzione completa, in cui all'interno di un conduttore C_1 metallico neutro e cavo viene inserito un altro conduttore C_2 con una certa carica +q, e dovendo essere neutro il campo elettrostatico all'interno di C_1 allora sulla superficie interna di C_1 si viene a "depositare" una carica -q, mentre sulla superficie esterna di C_1 si accumula una carica +q. Adesso, qui non succede questo perché la sfera è isolante?

Cominciamo l'analisi.
1. Per 0<r<R_1, tramite il teorema di Gauss, mi risulta:

E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R_1^3} \cdot r

2. Per R_1 < r <R_2 tutta la carica della sfera isolante è contenuta all'interno della superficie, dunque:

E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2}

3. Per R_2<r<R_3 ho un dubbio in questo caso. Che succede adesso?

4. Per r>R_3 dovremmo tornare al caso visto al punto 2?
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[2] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 11 ago 2019, 16:41

Un'altra cosa che non mi è ben chiara: se ho un conduttore metallico cavo, all'interno della cavità il campo elettrostatico è nullo, ma nel caso di induzione completa e conduttori "annidati" come descritto in precedenza, il campo elettrostatico dentro la cavità è ancora nullo o è presente?
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[3] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 11 ago 2019, 21:17

Il teo di Gauss e` miope: vede solo all'interno della superficie su cui si valuta il campo. Oppure, da un altro punto di vista, una sfera cava con dentro un corpo carico non e` piu` una sfera cava, c'e` qualcosa dentro. Quindi hai campo dentro la sfera metallica (il tutto in elettrostatica. Se si esce dall'elettrostatica le cose cambiano)

Pensa anche ad un cavo coassiale: la parte esterna e` un cilindro conduttore in cui non dovrebbe esserci campo. ma essendoci un conduttore dentro al cilindro e isolato dal cilindro in campo c'e` se il conduttore centrale e` carico.
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[4] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 12 ago 2019, 9:22

Ciao Foto UtenteIsidoroKZ. Ricapitoliamo un po', perché non ho ben capito. Quando ho un conduttore cavo, inizialmente neutro, se inserisco al suo interno un altro conduttore con carica positiva, per induzione si crea sulla superficie interna della cavità un accumulo di carica negativa, ed essendo il conduttore cavo inizialmente neutro, si accumulerà una carica positiva sulla superficie esterna di quest'ultimo. Adesso, da quello che mi è sembrato di capire, se i due conduttori sono perfettamente isolati, il campo esterno non viene influenzato dal campo interno (il quale sarà nullo?).
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[5] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 12 ago 2019, 17:18

Il campo interno non e` nullo, lo si vede con il teo di Gauss applicato su una superficie sferica che contenga la sfera interna ma sia contenuto da quella esterna.

Il campo fuori dalla sfera esterna dipende solo dalla carica sulla superficie esterna della sfera grande. Questo e` un altro modo di dire che la sfera grande scherma il campo presente al suo interno. Oppure si perviene allo stesso risultato dicendo che il campo fuori dalla sfera grande (anzi, dovrei dire guscio sferico) dipende solo dalla carica totale contenuta nella superficie sferica esterna su cui si fa il conto. La carica totale e` +Q (quella che hai introdotto) -Q (quella indotta sulla superficie interna del guscio) +Q (quella esterna al guscio dovuta al fatto che era neutro)=+Q
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[6] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 12 ago 2019, 17:25

Quindi, se ho ben capito, per i conduttori metallici:
1) al loro interno non c'è campo elettrostatico (e questo è chiaro);
2) la carica si accumula solo sulla superficie più esterna del conduttore con una certa densità superficiale \sigma (e anche questo è chiaro);
3) il campo elettrostatico dentro una cavità non è nullo, soltanto che quello più estero e quello più interno non si influenzano (ok?).

E' proprio il punto 3 a lasciarmi perplesso, credo di aver interpretato male qualche punto del libro di testo oppure sono io che non capisco le tue parole. Dal Mazzoldi - Nigro:
"Le proprietà dei conduttori in equilibrio possono essere riassunte dicendo che la carica di un conduttore si distribuisce sempre sulla sua superficie (ok) in modo tale che il campo elettrostatico generato da essa e da altre cariche eventualmente presenti sia nullo all'interno del conduttore".

Mi scuso per la durezza di "comprendonio" ma ci tengo a capire ciò che studio. Sia dato un caso come questo:



1. Per 0<r<R il campo elettrostatico è nullo;
2. Per R<r<2R il campo non è nullo in quanto è presente la carica +Q sulla superficie della sfera di raggio R;
3. Per 2R<r<3R il campo è nullo perché siamo all'interno di un conduttore;
4. Per r>3R il campo non è nullo per la presenza della carica +Q sulla superficie del guscio più esterno.

Ho detto bene?

N.b. se io prendessi una superficie gaussiana di raggio r tale da coprire l'intera cavità, e quindi comprendere anche la superficie in qui è presente la carica -Q, in quel caso non avrei una carica totale Q - Q = 0?
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[7] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 12 ago 2019, 17:58

Dentro al conduttore (pieno) il campo e` nullo. Se nel conduttore c'e` una cavita` vuota (tutta circondata dal conduttore), il campo anche nella cavita` continua a essere nullo.

Se nella cavita` introduci una carica, isolata dal conduttore, per esempio la metti su una pallina che non tocca le pareti della cavita`, allora il campo nella cavita` non e` piu` nullo, mentre continua a essere nullo nel conduttore che forma la cavita`.

Il mio suggerimento e` di non studiare delle "regole" a memoria, sono tante e non si sa quando applicarle, meglio capire i concetti. Dimentica la mia frase con la parola "scherma" perche` e` troppo complicata a questo livello.

La difficolta` che hai a capire quanto dico e che ho io a capire quello che mi chiedi dipende dal fatto che abbiamo due modelli mentali diversi (*), e in questi casi e` sempre complicato capirsi.

Vediamo se Foto UtentePietroBaima riesce a spiegartelo in un altro modo piu` comprensibile.

(*) i modelli mentali riguardano come organizziamo i pensieri in testa. Ci sono alcuni modi fondamentali di "vedere" le cose, e se non si usa lo stesso modo ci si capisce a fatica, anche se i due modi diversi di organizzazione del pensiero sono ugualmente validi.
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[8] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 12 ago 2019, 18:00

E avrei anche un'altra domanda (mi scuso per la tempesta di domande). Questi discorsi valgono solo se uno dei due conduttori è inizialmente neutro, giusto? se i due conduttori concentrici avessero sin da subito due cariche differenti (+Q e -Q ad esempio), non ci sarebbe questa ridistribuzione di carica all'interno giusto? la sfera più "piccola" avrebbe la sua carica +Q e la sfera più grande la sua carica -Q (distribuite ovviamente sulla superficie), dico bene?
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[9] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 12 ago 2019, 18:03

Non mi sembra che dica bene. Fai un disegno con fidocadj cosi` che capisco cosa vuoi dire, prima con la situazione con i due conduttori separati e la loro carica iniziale sopra, poi con la sfera piccola dentro al guscio grande.
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[10] Re: (Esercizio) Sfera Isolante e Guscio Metallico

Messaggioda Foto UtenteMrEngineer » 12 ago 2019, 18:11

IsidoroKZ ha scritto:Dentro al conduttore (pieno) il campo e` nullo. Se nel conduttore c'e` una cavita` vuota (tutta circondata dal conduttore), il campo anche nella cavita` continua a essere nullo.

Se nella cavita` introduci una carica, isolata dal conduttore, per esempio la metti su una pallina che non tocca le pareti della cavita`, allora il campo nella cavita` non e` piu` nullo, mentre continua a essere nullo nel conduttore che forma la cavita`.


Credo di aver capito, spero. Conduttore con cavità vuota, allora il campo dentro la cavità è nullo. Conduttore con cavità ma con carica al suo interno, campo elettrico non più nullo nella cavità, ma nullo all'interno del conduttore (tranne ovviamente sulla superficie).

Per quanto riguarda lo schema di cui mi parlavi:


Abbiamo un cilindro metallico di carica +Q e una guaina metallica cilindrica che "avvolge" il cilindro di carica -Q.

In questo caso, all'interno della cavità, non avremo la ridistribuzione della carica come accadeva precedentemente (in cui all'interno della cavità avevamo una carica +Q e una carica -Q).

In sostanza, al solito, dentro il cilindro di raggio R il campo è nullo; con una superficie gaussiana che si trovi dentro la cavità con R< r <3R avremo campo dovuto alla presenza di +Q; per 3R<r<4R il campo è nullo; per r>4R il campo è forse nullo perché avremo una carica totale Q = Q - Q = 0 ? In questo caso, forse, non si ha più quell'effetto di "schermo" di cui parlavamo in precedenza.

Visti separatamente:


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