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Polinomio di Taylor di un polinomio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utentesebago » 15 ago 2019, 17:17

Cercando di passare il tempo mi sono imbattuto in questo problemino:
data una funzione costituita da un polinomio intero di grado n, lo sviluppo di un Polinomio di Taylor di grado m>=n coincide con la funzione?
Io credevo di sì ma da qualche parte (che non ritrovo) ho letto che è vero solo se il centro dello sviluppo è zero.
Mi sembra strano assai.
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[2] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 15 ago 2019, 17:33

se il centro dello sviluppo è zero.
Cosa è il centro dello sviluppo ?
Il quesito vale anche per la serie/polinomio di MacLaurin, che , se ben ricordo dopo mezzo secolo :-) , dovrebbe essere un sottoinsieme sviluppato attorno all'origine?
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[3] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utentesebago » 15 ago 2019, 17:50

il centro è il valore di x_0 (almeno credo)
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[4] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 15 ago 2019, 23:26

Anche se cambi il centro dello sviluppo non comprometti niente, il tuo presentimento era corretto.
Se vuoi dimostrarlo, usa il resto nella forma di Lagrange.
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[5] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utenteadmin » 16 ago 2019, 1:09

sebago ha scritto:Io credevo di sì

Foto UtenteIanero ti ha già risposto (e se vorrà ci farà vedere come si lavora con il resto di Lagrange :-) )
Io non so effettuare la dimostrazione generale, ma ho provato in due casi particolari e direi, (per induzione?), che credevi bene :-)
\begin{array}{l}
f(x) = f({x_0}) + \frac{{f'({x_0})\left( {x - {x_0}} \right)}}{{1!}} + \frac{{f''({x_0})}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \frac{{{f^n}({x_0})}}{{n!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^n}\\
\\
p(x) = ax + b\\
p'(x) = a\\
{p_T}(x) = a{x_0} + b + a\left( {x - {x_0}} \right) = a{x_0} + b + ax - a{x_0} = ax + b = p(x)\\
\\
p(x) = a{x^2} + bx + c\\
p'(x) = 2ax + b\\
p''(x) = 2a\\
{p_T}(x) = ax_0^2 + b{x_0} + c + (2a{x_0} + b)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2a}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} = \\
 = ax_0^2 + b{x_0} + c + 2a{x_0}x - 2ax_0^2 + bx - b{x_0} + a{x^2} - 2a{x_0}x + ax_0^2 = \\
 = a{x^2} + bx + c = p(x)
\end{array}
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[6] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 16 ago 2019, 8:11

Già ti hanno risposto Foto Utenteadmin e Foto UtenteIanero, quindi il mio contributo serve a poco... ma vorrei proporti una riflessione legata al suggerimento di Foto UtenteIanero, per completezza ;-)

Sviluppando in serie di Taylor un polinomio di grado n (la qual cosa è sempre possibile), tutti i termini a partire dal termine contenente la derivata (n + 1)-esima del polinomio risultano nulli, per cui dobbiamo aver ottenuto una convergenza completa alla funzione usando solo i termini non nulli (che sono in numero finito). Formalmente, lo scarto tra la funzione originale e la sua serie troncata al k-esimo ordine è descritta con un qualche resto; come suggerito da Foto UtenteIanero, per i nostri scopi è particolarmente semplice utilizzare il resto in forma di Lagrange, che ha questa formula:

r_k = \frac{(x - x_0)^{k+1}}{(k + 1)!}f^{(k + 1)}(x_p)

Dove x_p è un opportuno punto in (x_0, x); puoi notare immediatamente che nel caso di un polinomio di grado n tutti i resti per k \geq n sono identicamente nulli, ovvero la convergenza è totale e dunque la serie corrisponde esattamente al polinomio qualsiasi sia il punto x_p scelto, e dunque qualsiasi sia il centro x_0 dello sviluppo :ok:
Rispondo solo a chi si esprime correttamente in italiano.
Se non conosci un argomento, non parlarne.
Gli unici fatti sono quelli dimostrabili, il resto è opinione.
Non dirò una parola sulla politica e sul M5S, del quale aspetto solo l'estinzione.
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[7] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utentesebago » 16 ago 2019, 8:21

Grazie a tutti (sospiro di sollievo...!)
Ho trovato quella frase strana qui:
https://www.youmath.it/forum/sezione-speciale-per-i-topic-a-pagamento/91305-sviluppo-di-taylor-di-un-polinomio.html
Partendo da un caso simile al mio:
taylor 1.JPG

arrivava a questa conclusione sibillina:
taylor 2.JPG

Perché mai dovrebbe portare a un errore, visto che il grado dello sviluppo è uguale al grado del polinomio?
Ma forse ho capito male.

Già che ci siamo, pongo un altro quesito:
fatti tutti i bravi conticini, mi si chiede di valutare (Q(x) - P_3 (x,2))' (ovvero la derivata prima della differenza tra il polinomio Q(x), di terzo grado, e lo sviluppo di Taylor, sempre di terzo grado.
Mi sembra ovvio che sia uguale a zero ma poi mi chiede di interpretare il risultato. Che altro posso dire oltre al fatto che tanto il polinomio quanto lo sviluppo presentano in x = 2 una tangente con lo stesso coefficiente angolare? La cosa peraltro mi pare assai banale, visto che le espressioni sono perfettamente uguali fra loro.

Di nuovo Grazie Mille a tutti.

P.S.: per favore, siate clementi e non chiedetemi perché - a ferragosto - mi sollazzo con queste cose anziché queste altre:
fritto a mare.JPG
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[8] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 ago 2019, 13:10

Non ho scritto la dimostrazione nella mia risposta precedente non per svogliatezza, specialmente nei confronti di una persona come Foto Utentesebago, è che ero col telefono per strada, scusatemi :^o
Foto Utentewruggeri comunque ha già pensato a tutto, grazie!

Per il resto...

Perché mai dovrebbe portare a un errore, visto che il grado dello sviluppo è uguale al grado del polinomio?
Ma forse ho capito male.

Nessun errore, come dici.
Immagino che si riferisse al fatto che la richiesta del problema era trovare lo sviluppo: se semplifichi quella espressione torni al polinomio originale e non fai vedere di aver trovato lo sviluppo. Niente di sostanziale in ogni caso.

Già che ci siamo, pongo un altro quesito:
...

Neanche qui vedo molta sostanza, forse voleva farti dire ‘la differenza è sempre costante’ :?:


Comunque, se stai facendo questo tipo di esercizi per piacere personale e per rigiocare un po’ con i polinomi, posso darti qualcosa che penso ti potrà incuriosire :mrgreen:
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[9] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto Utentesebago » 16 ago 2019, 13:23

Ianero ha scritto:posso darti qualcosa che penso ti potrà incuriosire :mrgreen:

Manda pure, grazie anticipate :D
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[10] Re: Polinomio di Taylor di un polinomio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 ago 2019, 13:52

Ho trovato questo, la cui prima parte è proprio quello che chiedevi :-)

0BDAD484-849B-414A-9160-FB8AD968A391.jpeg


Spero ti piaccia.
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