Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variabile)

[albi17]

Buongiorno a tutti,
sono nuovo da queste parti, vorrei chiedervi una mano nel risolvere la seconda parte di questo esercizio. La prima l'ho risolta trovando i parametri di tensione e corrente per condensatori e induttori per t<0 e poi mi sono tramite l'equivalente di Thevenin mi sono riuscito a calcolare la corrente richiesta.
Per quanto riguarda la seconda parte, quando viene aperto l'interruttore non riesco a capire come scrivere le equazioni per ricavare la tensione Vj richiesta. Ho provato a scriverla con i fasori ma non ho la pulsazione del generatore (in quanto in stazionario) per valutare l'eventuale risonanza del condensatore/induttore, e scrivendo invece LKT lungo l'anello esterno ho problemi perché ho un'equazione differenziale con più incognite. Spero nel vostro aiuto perché sono due giorni che sono bloccato lì.

Allego il testo dell'esercizio

[RenzoDF]

... non riesco a capire come scrivere le equazioni per ricavare la tensione Vj richiesta.

Direi che basti una semplice KVL, ovvero



nella quale per la , ricavata la pulsazione di risonanza, e considerate le condizioni iniziali, ti basterà ottenere il suo valore massimo, da semplici uguaglianze: energetiche o differenziali.

[albi17]

Intanto grazie della risposta. Ho provato ad applicare l'equazione da te ricavata utilizzando LKT...
data la corrente e la tensione (sempre che non abbia fatto qualche errore) la che potrebbe essere valido o meno a seconda poi della parte che mi manca... ma da lì come procedo per ricavarmi la parte esponenziale e sinusoidale?
Se scrivo dovrei ottenere una sola incognita , ma è giusto procedere in questo modo?

[RenzoDF]

Puoi dirmi come hai determinato le condizioni iniziali per la corrente in L1 e la tensione su C?

[RenzoDF]

... ma è giusto procedere in questo modo?

Mah, noi idraulici di solito facciamo in quel modo, poi sul fatto che sia "giusto" ti confesso che non ci scommetterei nemmeno un soldo bucato.

[albi17]

Puoi dirmi come hai determinato le condizioni iniziali per la corrente in L1 e la tensione su C?

Come condizione iniziale di ho calcolato semplicemente la corrente che attraversa visto che per il circuito si trova a regime stazionario e per cui la corrente che scorre per scorre anche in dato che corrisponde ad un aperto. Solo che ora mi viene il dubbio in quanto LKC forse non torna.
Per quanto riguarda la corrente ho considerato il partitore di tensione tra e il parallelo tra che viene 120 V e da lì ho calcolato la corrente sul resistore.

Come può essere incognita, visto che a secondo membro scriviamo la sua funzione del tempo?

Scusa non capisco cosa intendi... io non ce l'ho in quanto so quanto vale (in teoria) ma quando apro l'interruttore bisognerebbe scrivere l'evoluzione che ha nel tempo....

Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando

[RenzoDF]

... Come condizione iniziale di ho calcolato semplicemente la corrente che attraversa visto che per il circuito si trova a regime stazionario ...

Esatto e quindi



ma essendo L1 equivalente ad un cortocircuito ed essendo C in parallelo a L1



fin qui concordi?

... Scusa non capisco cosa intendi...

Scusa ma non avevo visto bene la relazione e avevo già cancellato.

[albi17]

Esatto e quindi

ma essendo L1 equivalente ad un cortocircuito ed essendo C in parallelo a L1

Per quanto riguarda a concordo, il mio ragionamento era sbagliato. Per quanto riguarda sono un po' indeciso in quanto se faccio se invece sfrutto LKC e quindi che la somma delle correnti uscenti cioè la corrente entrante (e quindi la corrente su L).... a questo punto i due risultati sono discordanti e non so quale tenere...

[RenzoDF]

... Per quanto riguarda sono un po' indeciso in quanto se faccio ...

Scusa ma la tensione ai morsetti di R1 non è pari a E.

[RenzoDF]

Ora, scegliendo entrambe le correnti in L1 e C verso il basso e i positivi delle tensioni sui morsetti superiori, per andare a determinare vC(t), come ben sai, devi partire dalle due seguenti relazioni



e



per ottenere e poi risolvere una semplice equazione differenziale del secondo ordine.

Ti servirà quindi, oltre alla che conosciamo, anche la ; la sai calcolare?