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Analisi matematica di un dipolo

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[1] Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 10:41

Sto leggendo il libro Antenna Theory and Design, Revised Edition, Robert S. Elliot, IEEE press series, pag. 284.
Tra quelle pagine l'autore vuole ottenere una equazione integrale non troppo complessa per calcolare le correnti superficiali sulle pareti metalliche esterne di un dipolo cilindrico a sezione circolare.

Partiamo dalla solita equazione del potenziale vettore:

\underline{A}(x,y,z)=\int _{V'}\frac{e^{jk\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}}{4\pi \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}\;\underline{J}(x',y',z')dV'

dove ho indicato con gli apici i punti di sorgente (dove esiste la corrente \underline{J}), V' è un volume qualsiasi che ingloba tutte le sorgenti, mentre le coordinate senza apici rappresentano il generico punto dello spazio dove voglio vedere quanto vale il campo. Infine, k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}.

Il testo modella il dipolo come due conduttori cilindrici cavi di spessore sottile a sezione circolare, trascura le correnti nella parte interna dei conduttori e suppone che il campo elettrico (l'eccitazione del generatore) sia diretto lungo z, costante lungo il perimetro del cerchio (il perimetro della sezione traversa del cilindro) e che esista solo nello spazio vuoto tra i due conduttori, così:



Le correnti superficiali inoltre, le suppone costanti lungo il perimetro circolare e dirette solo lungo z:



Dunque l'equazione generale assume questa forma particolare:

\underline{A}(x,y,z)=\int _{S'}\frac{e^{jk\sqrt{(x-\rho \cos\phi')^2+(y-\rho \sin\phi')^2+(z-z')^2}}}{4\pi \sqrt{(x-\rho \cos\phi')^2+(y-\rho \sin\phi')^2+(z-z')^2}}\;\underline{z_0}J_{S_z}(z')\rho \text{d} \phi'\text{d}z'

e l'autore dice che in realtà \underline{A}(x,y,z) è solo una funzione di z: non capisco fa a dirlo.

Qualcuno ha idee?
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[2] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:04

Immediatamente dopo aver scritto la domanda mi è venuta in mente una possibile risposta, mi farebbe piacere una conferma di ciò che scriverò ora, se a qualcuno va, per favore.

La prima equazione scritta nel messaggio sopra per il potenziale vettore \underline{A}(x,y,z) è la soluzione di questa equazione differenziale:

\nabla^2\underline{A}(x,y,z)+k^2\underline{A}(x,y,z)=j\frac{\omega}{c^2}\underline{E}(x,y,z)

Se ora si considera come dominio della soluzione l'insieme di punti (x,y,z) che contorna esattamente la superficie cilindrica del dipolo, si ha che per come è stato supposto essere il campo elettrico, l'equazione diventa:

\nabla^2\underline{A}(x,y,z)+k^2\underline{A}(x,y,z)=j\frac{\omega}{c^2}\underline{z_0}E_z(z)

Da qui si può concludere direttamente che \underline{A}(x,y,z) non può essere in nessun caso funzione di z, o si deve mettere questa cosa come una ulteriore ipotesi?
Se invece si può dimostrare che non esiste nessuna combinazione tra \nabla^2\underline{A}(x,y,z) e k^2\underline{A}(x,y,z) che sommata dia una funzione costante in x e y, allora immagino che per farlo si debba percorrere una strada tipo questa: siccome questa equazione deve essere vera per ogni z nel dominio scelto, deve essere vera in particolare per una z_0 lungo il bordo metallico, dove non c'è campo:

\nabla^2\underline{A}(x,y,z_0)+k^2\underline{A}(x,y,z_0)=\underline{0}

ma da qui non so continuare...

Forse Foto UtentePietroBaima su questo una risposta la potrebbe dare al volo :roll:
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[3] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:37

\nabla \times \boldsymbol{E}=- \mu \frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial t}

\nabla \times \left(\nabla \times \boldsymbol{E}\right)=- \mu \epsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}

\nabla  \left(\nabla \cdot \boldsymbol{E}\right)-\nabla^2\boldsymbol{E}=- \mu \epsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}

\nabla^2\boldsymbol{E}= \frac {1}{\text{c}^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} (assenza di sorgenti)


\dots

\nabla^2\underline{A}(x,y,z_0)+k^2\underline{A}(x,y,z_0)=\underline{0}
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[4] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:45

Appunto, quindi non posso automaticamente concludere che \underline{A}(x,y,z) non è funzione di z, o ho capito male?

Grazie della risposta.
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[5] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:46

Sei in assenza di sorgenti?
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[6] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:48

Se anche tu sei d'accordo con questo:
Se ora si considera come dominio della soluzione l'insieme di punti (x,y,z) che contorna esattamente la superficie cilindrica del dipolo, si ha che per come è stato supposto essere il campo elettrico...


allora la risposta è no, le sorgenti ci sono eccome, e si trovano sul bordo metallico esterno delle pareti cilindriche.
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[7] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:49

già :-)
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[8] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:50

E quindi?

Ianero ha scritto:non esiste nessuna combinazione ... che sommata dia una funzione costante in x e y
:?:

Non ho capito.
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[9] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:51

chi alimenta l'antenna?
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[10] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:52

Lui:

\underline{E}=\underline{z}_0 E_z(z)

non nullo solo in -\delta\leq z\leq\delta.
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