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Analisi matematica di un dipolo

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[11] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:54

\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0

significa

\nabla \cdot \epsilon \boldsymbol{E} = 0

\nabla \cdot \boldsymbol{D} = 0

che sarebbe corretto in assenza di sorgenti.

ma

\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho _e

quindi hai una sorgente se -\delta\leq z\leq\delta.
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[12] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 11:59

Come fai a dire questo?

\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0


Non ho mica supposto che E_z(z)=\text{const} ?
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[13] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 set 2019, 11:59

Lo implichi nel momento in cui consideri il rotore del rotore uguale al laplaciano.
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[14] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 set 2019, 12:09

Questa che ho usato in [2]:

\nabla^2\underline{A}(x,y,z)+k^2\underline{A}(x,y,z)=j\frac{\omega}{c^2}\underline{E}(x,y,z)

si ottiene portandosi dietro anche \nabla\cdot \underline{E}, senza dire che è zero.
Di conseguenza questa ipotesi è lecita:

\nabla^2\underline{A}(x,y,z)+k^2\underline{A}(x,y,z)=j\frac{\omega}{c^2}\underline{z_0}E_z(z)

da qui cosa posso dire su \underline{A}(x,y,z)?
Perché ho ottenuto tre equazioni:

\left\{\begin{matrix}
\nabla^2A_x(x,y,z)+k^2A_x(x,y,z)=0 \\ 
\nabla^2A_y(x,y,z)+k^2A_y(x,y,z)=0\\ 
\nabla^2A_z(x,y,z)+k^2A_z(x,y,z)=j\frac{\omega}{c^2}\underline{z_0}E_z(z)
\end{matrix}\right.

e non ho capito quali conclusioni si possano fare riguardo al vettore \underline{A}.

Bisogna per forza introdurre altre ipotesi?
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[15] Re: Analisi matematica di un dipolo

Messaggioda Foto UtenteIanero » 29 set 2019, 13:37

Dopo svariate imprecazioni, maledizioni e via discorrendo, ho deciso di tentare e farmelo da solo un modello di dipolo che mi sembrasse consistente e con le giuste approssimazioni ben specificate solo dove serve.
Se hai tempo di leggere questo messaggio Foto UtentePietroBaima, mi faresti contento se mi dessi un riscontro.

Il problema elettromagnetico da risolvere è il seguente:



I cilindri sono fatti di metallo ideale, con effetti di bordo delle correnti trascurabili.
Quel generatore schematizza il fatto che dall'esterno, tra i due cilindri di cui si compone il dipolo, si riesce ad imporre un campo elettrico di questa forma:

\underline{E}^i(x,y,z)=\underline{z}_0E_z^i(x,y,z)=\underline{z}_0E_z^i(z)=\underline{z}_0 \left\{\begin{matrix}
E_{z_0}^i\delta(\rho-a) & \text{se} & -\Delta\leq z\leq \Delta\\ 
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right.



Il campo elettromagnetico totale in tutto lo spazio soddisferà allora queste equazioni:

\nabla\times \left(\underline{E}^I(\underline{r})+\underline{E}^s(\underline{r})\right)=-j\omega\mu\underline{H}(\underline{r})
\nabla\times \underline{H}(\underline{r})=j\omega\epsilon\left(\underline{E}^i(\underline{r})+\underline{E}^s(\underline{r})\right)+\underline{J}(\underline{r})
\nabla\cdot \left(\underline{E}^i(\underline{r})+\underline{E}^s(\underline{r})\right) = \frac{\rho}{\epsilon}
\nabla\cdot\underline{H}(\underline{r}) = 0

dove \underline{E}^s(\underline{r}) è il campo irradiato dal dipolo, a causa della distribuzione di corrente sulla sua superficie metallica (incognita).
Ripercorrendo la dimostrazione che conduce alla definizione dei potenziali elettrodinamici, per questo problema impostato in questo modo, si ottiene che:

\left\{\begin{matrix}
\nabla^2\underline{A}(\underline{r})+k^2\underline{A}(\underline{r})=-\mu\underline{J}(\underline{r})\\ 
\underline{E}^s(\underline{r})=-j\frac{\nabla\nabla\cdot\underline{A}(\underline{r})}{\omega\mu\epsilon}-j\omega\underline{A}(\underline{r})-\underline{E}^i(\underline{r})
\\ 
\underline{H}(\underline{r})=\frac{\nabla\times\underline{A}(\underline{r})}{\mu}
\end{matrix}\right.

ovvero, per il campo elettrico irradiato:

\underline{E}^s(\underline{r})=\left [-j\frac{\nabla\nabla\cdot}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\int _{V'}\underline{J}(\underline{r}')\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}V'-\underline{E}^i(\underline{r})

con: R(\underline{r},\underline{r}')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}=
=\sqrt{(\rho\cos\phi-\rho'\cos\phi')^2+(\rho\sin\phi-\rho'\sin\phi')^2+(z-z')^2}=
=\sqrt{\rho^2+(\rho')^2-2\rho\rho'\cos(\phi-\phi')+(z-z')^2}

Quella sopra sono in realtà tre equazioni.
Per l'ipotesi sul metallo fatta all'inizio, le correnti possono essere solo superficiali e non possono avere, per la geometria cilindrica a sezione traversa circolare, componente radiale.
Per cui:

\underline{E}^s(\underline{r})=\left [-j\frac{\nabla\nabla\cdot}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\int _{S'}\underline{J}_S(a,\phi',z')\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'-\underline{E}^i(\underline{r})

\underline{E}^s(\underline{r})=\left [-j\frac{\nabla\nabla\cdot}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\int _{S'}\left(\underline{\phi}_0(\underline{r}')J_{S_\phi}(a,\phi',z')+\underline{z}_0 J_{S_z}(a,\phi',z')\right)\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'-\underline{E}^i(\underline{r})

Ipotesi: la corrente superficiale non ha componente azimutale.



Dunque:
\underline{E}^s(\underline{r})=\left [-j\frac{\nabla\nabla\cdot}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\int _{S'}\underline{z}_0 J_{S_z}(a,\phi',z')\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'-\underline{E}^i(\underline{r})

Essendo in coordinate cilindriche, l'operatore \nabla\nabla\cdot si scrive come:

Screen Shot 2019-09-29 at 12.02.46.png


dove stavolta i versori sono funzioni di \underline{r} e non di \underline{r}'. Particolareggiando per il problema attuale, si ha:

E_\rho^s(\underline{r})=\int _{S'} J_{S_z}(a,\phi',z')\left [-j\frac{\frac{\partial }{\partial \rho}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'

E_\phi^s(\underline{r})=\int _{S'} J_{S_z}(a,\phi',z')\left [-j\frac{\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \phi}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'

E_z^s(\underline{r})=\int _{S'} J_{S_z}(a,\phi',z')\left [-j\frac{\frac{\partial^2 }{\partial z^2}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'-E_z^i(z)

Quello che bisogna fare adesso è legare la distribuzione di corrente a quantità già note. Attualmente, nell'ultima equazione riportata, la distribuzione di corrente dipende sia dal campo impresso che da quello irradiato. Per ottenere ciò che voglio posso utilizzare la condizione al contorno per il campo elettrico sul conduttore ideale di cui si compongono le pareti del dipolo:

\left[\underline{n}_0(\underline{r})\times \underline{E}(\underline{r})\right]_{\underline{r}=\text{superficie dipolo}}=\underline{0}

\left[\underline{\rho}_0(\underline{r})\times \underline{E}(\underline{r})\right]_{\rho=a,\phi\in [0,2\pi ),z\in[-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta]}=\underline{0}

\begin{vmatrix}
\underline{x}_0 & \cos\phi & E_\rho^s(a,\phi,z)\cos\phi-E_\phi^s(a,\phi,z)\sin\phi\\ 
\underline{y}_0 & \sin\phi & E_\rho^s(a,\phi,z)\sin\phi+E_\phi^s(a,\phi,z)\cos\phi\\ 
\underline{z}_0 & 0 & E_z^s(a,\phi,z)
\end{vmatrix}=\underline{0}\quad\forall\phi\in[0,2\pi),z\in[-L,L]\setminus[-\Delta,\Delta]

\left\{\begin{matrix}
 
E_\phi^s(a,\phi,z)=0\\
E_z^s(a,\phi,z)=0
\end{matrix}\right.\quad\forall\phi\in[0,2\pi),z\in[-L,L]\setminus[-\Delta,\Delta]

Quello che potrei fare adesso è tappezzare di N punti la superficie (incluso lo spazio da z=-\Delta...\Delta) e dividerla in N settori:



e dire che:

J_{S_z}(a,\phi',z')\approx \sum_{n=1}^N a_n g_n(a,\phi',z')

con g_n(a,\phi',z')=1 se (a,\phi',z') è un punto nel settore n-esimo, di competenza di g_n, altrimenti g_n(a,\phi',z')=0.
Così facendo si arriva a:


E_\rho^s(\underline{r})=\sum_{n=1}^N a_n \int _{S_n'}\left [-j\frac{\frac{\partial }{\partial \rho}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'

E_\phi^s(\underline{r})=\sum_{n=1}^N a_n\int _{S_n'} \left [-j\frac{\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \phi}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'

E_z^s(\underline{r})=\sum_{n=1}^N a_n\int _{S_n'} \left [-j\frac{\frac{\partial^2 }{\partial z^2}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{r},\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{r},\underline{r}')}\text{d}S'-E_z^i(z)

con a_n incognite.
Sfruttando le condizioni al contorno prima trovate, posso applicarle ogni volta in tutti gli N punti scelti \underline{p}_1,...,\underline{p}_N che tappezzano la superficie del dipolo:

E_\rho^s(\underline{p}_n)=\sum_{n=1}^N a_n \int _{S_n'}\left [-j\frac{\frac{\partial }{\partial \rho}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{p}_n,\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{p}_n,\underline{r}')}\text{d}S'

E_\phi^s(\underline{p}_n)=0=\sum_{n=1}^N a_n\int _{S_n'} \left [-j\frac{\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \phi}\frac{\partial }{\partial z}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{p}_n,\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{p}_n,\underline{r}')}\text{d}S'

E_z^s(\underline{p}_n)=0=\sum_{n=1}^N a_n\int _{S_n'} \left [-j\frac{\frac{\partial^2 }{\partial z^2}}{\omega\mu\epsilon}-j\omega  \right ]\frac{e^{jkR(\underline{p}_n,\underline{r}')}}{4\pi R(\underline{p}_n,\underline{r}')}\text{d}S'-E_z^i(z_n)

Di tutte queste 3N equazioni, solo le ultime 2N sono utili. Si ha a che fare con un sistema a 2N equazioni e N incognite, sovradeterminato. Si può risolvere ad esempio solo quello derivante dalle ultime N equazioni (quelle che vengono da E_z^s(\underline{p}_n)=0), che mi sembra quello più rilevante, oppure risolverli separatamente e fare una media delle soluzioni. Insomma, un modo esiste.

Vedi errori in tutto questo?
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