Delta di Dirac

[Ianero]

E' corretto affermare che la delta di Dirac in realtà non è una , bensì una:



dove l'integrale si intende nel senso di Riemann-Stieltjes ( è la funzione gradino)

Se sì, allora devo concludere per forza che la delta di Dirac è un funzionale lineare che non è definito per funzioni discontinue in 0. E' corretto?

[fairyvilje]

Come avrai notato esistono diverse definizione di integrale e sicuramente quello di Stieltjes offre un'interessante estensione che ha particolarmente senso nel catturare una classe più generale di distribuzioni nella teoria delle probabilità.

In ogni caso il tipo di integrale usato modernamente in teoria delle distribuzioni ed analisi funzionale è quello di Lebesque. Grazie a questo è possibile costruire gli spazi di Banach e gli spazi di Sobolev dove viene introdotto il concetto di derivata debole. Senza, formalizzare distribuzioni come i delta di Dirac è un po' come camminare sul cemento bagnato.

[sebago]

OT

concetto di derivata debole

deve essere quello che usava mio nipote quando cercavo di fargli capire come procedere per sfangare l'esame di analisi 1. Non ne imbroccava una.
/OT

P.S. auguri

[Ianero]

Grazie delle risposte.
Purtroppo non ho capito cosa vuoi dirmi, l'integrale di Riemann-Stieltjes non è adeguato per formalizzare la delta di Dirac? Quello che ho riportato in [1] l'ho preso dallo Zorich.
Comunque, anche usando un integrale ancora più esteso, la risposta alla domanda [1] è 'sì'?

Con derivata debole che intendi? Quella definita sui funzionali?





@sebago, auguri anche a te, grazie :)

[PietroBaima]

Purtroppo il discorso non è così semplicistico.

Per formalizzare correttamente la delta di Dirac, come vorresti fare tu, ti servono strumenti più potenti di quelli che hai a disposizione.
Dovresti studiarti per bene gli spazi di Sobolev, soprattutto.

Ti serve per la soluzione delle PDE o lo studi per curiosità?

[Ianero]

Grazie.

Per curiosità.
Va bene allora, sempre per curiosità dove si studiano questi spazi? Analisi funzionale?

[PietroBaima]

Sono parte dell’analisi funzionale e parte di tecniche risolutive delle PDE.
Gli spazi di Sobolev li ho fatti in un corso che parlava solo di loro.

[dimaios]

Grazie all'aiuto di DirtyDeeds ( link ) sono riuscito a capire che la formulazione integrale non ha senso perché quella particolare distribuzione non la ammette ( nel senso di Riemann e di Lebesgue ).
La risposta l'ho trovata anche in un vecchio libro di teoria delle distribuzioni ( The Theory of Distributions: A Nontechnical Introduction )
Indagando sui testi universitari che ho impiegato in teoria dei segnali sono "moderatamente sicuro" ( ) che l'integrale di Haar possa in qualche modo funzionare per come è definito ma dovrei ripercorrere tutta la teoria per esserne certo.

Sembra che la formulazione integrale sia solo una "invenzione" per accontentare gli ingegneri senza spiegare cosa c'è dietro le quinte. La risposta più importante è nel post [25] di DirtyDeeds .... le cose sono state congegnate per far funzionare bene una cosa che in realtà non ha senso così scritta.
In realtà qualche dubbio ce l'ho ancora e purtroppo non trovo il tempo materiale per approfondire ma ho trovato illuminante questa spiegazione.

Link

[wruggeri]

Amo queste discussioni, quindi mi metto qui in un angolino e vi ascolto

PietroBaima, poi hai scritto l'articolo che promettevi nella discussione citata da dimaios? Magari inizio a leggerlo...

[PietroBaima]

Capisco le vostre perplessità, avete completamente ragione.

Il problema grosso è che una analisi dettagliata che giustifichi pienamente la delta di Dirac si ha soltanto con gli spazi di Sobolev e questa trattazione è tutt’altro che banale e richiede una quantità di preconcetti immensa.

Basti dire che lo stesso Dirac non riuscì a giustificarla affatto e nessun matematico dell’epoca fu in grado di farlo (lo presero anche in giro per avere introdotto una nonfunzione puntuale che potesse portare un contributo energetico in norma).

L’”invenzione” integrale non è affatto un modo per accontentare gli ingegneri, ma si basa solidamente sulla formulazione di Haar (su questo dimaios ha ragionissimo, funziona) che però, nuovamente, non funziona se consideriamo lo spazio funzionale integrale di Haar, che va sostituito con gli spazi di Sobolev, che essendo spazi non dipendenti da funzioni, possono tranquillamente incorporare funzionali e quindi “sopportare” anche la delta di Dirac.

Mi viene però difficile farne una analisi completa, serve davvero un corso di analisi funzionale ben fatto e poi anche un corso apposito sugli spazi di Sobolev.
Dovrei scriverne un articolo, ma a questo punto credo non basterebbe per il livello di approfondimento che volete.