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Local limit theorem - Bernoulli scheme

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Local limit theorem - Bernoulli scheme

Messaggioda Foto UtenteIanero » 8 feb 2020, 11:33

Sto studiando il Local Limit Theorem sul libro 'Probability' di A.N.Shiryayev, casa Springer, il quale viene enunciato (e dimostrato) così:

Dato 0<p<1, allora P\left(S_n=k \right)\sim \frac{e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}} {\sqrt{2\pi npq}} quando k tale che |k-np|=o(npq)^{2/3} in n\to\infty

con significato standard della notazione (S_n variabile aleatoria che conta il numero di successi su n prove ripetute, dove la singola probabilità di successo è p=1-q).
Al di là della dimostrazione, l'enunciato significa che esiste un certo N\in\mathbb{N}, oltre il quale posso scrivere che:

\bigg(|k-np|=\alpha(n) (npq)^{2/3}\bigg)\Rightarrow \bigg(P\left(S_n=k \right)= \frac{e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}} {\sqrt{2\pi npq}}\gamma(n)\bigg)

con \alpha(n) e \gamma(n) due opportune funzioni di n con questa proprietà:

\lim_{n\to\infty}\alpha(n)=0

\lim_{n\to\infty}\gamma(n)=1.

Ma allora questo significa che l'uguaglianza in questione vale anche per i casi un po' più 'estremi' in cui la \alpha(n) è tale che: \alpha(n) (npq)^{2/3} per n\to\infty diverga.
Ma allora ancora, vuol dire che non è detto che k debba sempre per forza essere 'vicino' a np, per usare quell'approssimazione.

E' corretto quello che ho detto?

PS: non sapevo come tradurre in italiano il titolo del post.
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[2] Re: Local limit theorem - Bernoulli scheme

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 feb 2020, 0:16

A chi interessa, confermo, è così.
Una buona accortezza per avere chiara sotto gli occhi questa visione è quella di scrivere k come k(n) e pensarla come una tra le tante successioni arbitrarie, purché rispetti:

1. |k(n)-np|=o(npq)^{2/3} in n\to\infty,
2. k(n)\in\{0,1,...,n\}.
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