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Miglior base per rappresentare numeri reali

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto UtenteIanero » 7 apr 2020, 22:04

Ho ripercorso i passi che a me sembrano essere quelli più logici e corretti per dimostrare che e è la base più efficiente da utilizzare per rappresentare i numeri reali.

Tuttavia sono giunto alla conclusione, che a me suona un po' strana, che la migliore base reale è 3.

Se qualcuno ha qualche documento con la dimostrazione in oggetto, sarei curioso di vedere in cosa differisce dalla mia. Se inoltre a qualcuno fa piacere/vuole dedicare del tempo a questo problema, provvedo a scrivere qui la mia dimostrazione, che richiede però un po' di preambolo e l'utilizzo di alcune proprietà del principio di Archimede.

Grazie in anticipo.
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[2] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto Utentesebago » 9 apr 2020, 8:48

Ianero ha scritto:principio di Archimede

quello della vasca da bagno?
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[3] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto Utentelillo » 9 apr 2020, 9:19

ciao Foto UtenteIanero,
io sarei curioso (senza pretese, e se ne hai voglia), sul motivo della tua conclusione.
io invece penso che migliore sia la base 2.
non alcuna dimostrazione a corredo della mia ipotesi, se non l'ovvio: l'alfabeto binario è alla base della comunicazione con le macchine.
magari a qualcuno invece piace l'esadecimale. :D
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[4] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 apr 2020, 11:04

sebago ha scritto:quello della vasca da bagno?

E' lo stesso Archimede, ma non lo stesso principio :-P
Il principio di cui parlo è questo (che si chiama principio, ma è un teorema che discende dall'assioma di completezza):

Preso un qualsiasi x_0\in\mathbb{R} e un qualsiasi numero positivo h\in\mathbb{R}^+, esiste un intero k\in\mathbb{Z} tale che:

k-1\leq \frac{x_0}{h} < k

lillo ha scritto:io sarei curioso (senza pretese, e se ne hai voglia), sul motivo della tua conclusione.


Dobbiamo vedere innanzitutto come si costruiscono le espansioni q-esimali dei numeri reali.
Faremo uso di questo teorema:

(1) Fissato un numero \mathbb{R}\ni q>1, allora per ogni numero positivo x\in\mathbb{R} esiste un unico intero p\in\mathbb{Z} tale che:

q^{p}\leq x<q^{p+1}


Dunque, cominciamo.

Costruzione espansioni
Scegliamo x\in\mathbb{R} e scegliamo la base \mathbb{R}\ni q>1, usiamo (1) e otteniamo:

q^{p}\leq x<q^{p+1}

Dividendo entrambi i membri per q^{p} si ottiene 1\leq \frac{x}{q^p}<q. Parallelamente a questo, usando il principio di Archimede con x_0=x e h=q^p, si ottiene che esiste un unico \alpha_p \in\mathbb{Z} tale che \alpha_p \leq \frac{x}{q^p}<\alpha_p+1, cioè \alpha_pq^p \leq x <\alpha_pq^p+q^p. Dunque abbiamo contemporaneamente:

\left\{\begin{matrix}
q^p \leq x <q^{p+1}
\\ 
\alpha_pq^p \leq x <\alpha_pq^p+q^p
\end{matrix}\right. \implies \left\{\begin{matrix}
0<\alpha_p<q
\\ 
\alpha_pq^p \leq x <\alpha_pq^p+q^p
\end{matrix}\right.\implies \alpha_p\in\{1,2,..., (\lceil q \rceil-1)\}

dove \lceil q \rceil è la parte intera superiore di q, cioè \min\{n\in\mathbb{N} | n\geq q\}.
Riprendiamo \alpha_pq^p \leq x <\alpha_pq^p+q^p, che scriviamo momentaneamente come 0 \leq \frac{x-\alpha_pq^p}{q^{p-1}} <q e riapplichiamo il principio di Archimede con x_0=\frac{x-\alpha_pq^p}{q^{p-1}}, h=q^{p-1}, ottenendo che esiste un unico \alpha_{p-1} tale che \alpha_{p-1} \leq \frac{x-\alpha_pq^p}{q^{p-1}} <\alpha_{p-1}+1. In sintesi, si ha di nuovo che contemporaneamente:

\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1} \leq x <\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+q^{p-1}

con \alpha_p\in\{1,2,..., (\lceil q \rceil-1)\}, \quad\alpha_{p-1}\in\{0,1,2,...,(\lceil q \rceil-1)\}.

Proseguendo in questo modo, dopo n passi si arriva a:

\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n} \leq x <\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n}+q^{p-n}

con \alpha_p\in\{1,2,..., (\lceil q \rceil-1)\}, \quad\alpha_{p-1},\alpha_{p-2},...,\alpha_{p-n}\in\{0,1,2,...,(\lceil q \rceil-1)\}.

Se chiamiamo x_n:=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n}, abbiamo in altre parole costruito una successione che verifica:

x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}

da cui banalmente:

\lim_{n\to\infty}x_n=x

A breve continuo passando ad analizzare alcune proprietà di queste espansioni appena costruite.
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[5] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 apr 2020, 17:52

Abbiamo visto che per qualsiasi numero reale x e qualsiasi base scelta \mathbb{R}\ni q>1 si può costruire una successione x_n, convergente a x tale che:

x_n:=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n}

x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}
\alpha_p\in\{1,2,..., (\lceil q \rceil-1)\}, \quad\alpha_{p-1},\alpha_{p-2},...,\alpha_{p-n}\in\{0,1,2,...,(\lceil q \rceil-1)\}

Chiamiamo questo particolare tipo di successioni (che hanno cioè queste proprietà scritte sopra) espansioni q-esimali.

In altre parole, abbiamo definito una funzione f:\mathbb{R}^+\to X tra l'insieme \mathbb{R}^+ e l'insieme X di tutte le possibili successioni (che non sono per forza delle espansioni) x_n=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-n}q^{p-n} con cifre \alpha_p\in\{1,2,..., (\lceil q \rceil-1)\}, \quad\alpha_{p-1},\alpha_{p-2},...,\alpha_{p-n}\in\{0,1,2,...,(\lceil q \rceil-1)\}.
Da notare che f soddisfa la definizione di funzione in quanto, ad ogni passo della costruzione, l'applicazione del principio di Archimede fornisce una cifra intera che è unica.

Cominciamo col verificare una peculiarità delle espansioni.

Non esiste nessuna espansione che può avere sempre cifra massima (\lceil q \rceil-1) da un certo indice in poi.

Se per assurdo così fosse, si avrebbe che \forall n>k:

x_n=\alpha_pq^p+\alpha_{p-1}q^{p-1}+...+\alpha_{p-k}q^{p-k}+(\lceil q \rceil-1) q^{p-(k+1)}+...+(\lceil q \rceil-1)q^{p-n}=
=x_k+\sum_{m=k+1}^n (\lceil q \rceil-1) q^{p-m}=x_k+(\lceil q \rceil-1)q^p \left( \sum_{m=0}^n q^{-m} - \sum_{m=0}^k q^{-m} \right)=
=x_k+(\lceil q \rceil-1)q^p\left( \frac{\left(\frac{1}{q}\right)^{n+1}-1}{\left(\frac{1}{q}\right)-1} - \frac{\left(\frac{1}{q}\right)^{k+1}-1}{\left(\frac{1}{q}\right)-1} \right)=
=x_k+(\lceil q \rceil-1)q^p\left( \frac{\left(\frac{1}{q}\right)^{n+1} - \left(\frac{1}{q}\right)^{k+1}}{\left(\frac{1}{q}\right)-1} \right)=
=x_k+(q^{p-k}-q^{p-n})\left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)

Unendo questo risultato con la già vista proprietà x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N} si ottiene:

q^{p-n}\left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)\geq x_k+q^{p-k}\left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)-x>q^{p-n}\left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} -1\right)\geq 0

che deve valere \forall n>k, il che è assurdo poiché il termine centrale non dipende da n.
\blacksquare

Quanto appena dimostrato ci dice equivalentemente che la funzione f non è suriettiva, poiché in X ci sono anche successioni che hanno da un certo indice poi cifra massima. L'insieme delle espansioni è allora un sottoinsieme proprio di X.

A differenti x,x'\in\mathbb{R}^+ corrispondono differenti espansioni \{x_n\},\{x_n'\}\in X.

Dire che x\neq x', è la stessa cosa che \lim_{n\to\infty}x_n\neq \lim_{n\to\infty}x_n', per cui le due successioni non possono essere uguali, perché se lo fossero avrebbero stesso limite.
\blacksquare

Questo risultato ci dice che f è iniettiva.
In definitiva f:\mathbb{R}^+\to f(\mathbb{R}^+)\subset X è biunivoca. Associando ai reali negativi le stesse espansioni dei reali positivi, ma con un segno '-' davanti, e associando a x=0 l'espansione x_n=0, abbiamo costruito un nuovo modello di \mathbb{R}.

Fatto questo ci chiediamo: perché utilizzare una q piuttosto che un'altra? Ci farebbe comodo avere una base che sia un buon compromesso tra:

1. quanti simboli usare per distinguere tutte le cifre possibili (\lceil q \rceil);
2. l’ordine p(x;q) di un dato numero x\in\mathbb{R}^+, espresso in base q, ovvero, nel caso di base naturale e di numero intero, quanti numeri sono necessari per scrivere la sua espansione; più in generale rappresenta la quantità di numeri necessaria per rappresentare l'espansione di x in base q, fino alla cifra \alpha_0.

Ad esempio, la base q=2 è ottima per il punto 1, ma pessima per il punto 2. Al contrario la base decimale migliora molto il punto 2, ma peggiora il punto 1.
Quello che una buona base deve fare è allora rendere piccolo il prodotto delle quantità di cui al punto 1 e 2, cioè deve minimizzare:

\lceil q \rceil\cdot p(x;q)

Ciò che però da un po' fastidio è che questa grandezza dipende anche dal particolare x preso in considerazione.
Per rimuovere tale dipendenza, si osserva quanto segue. Dall’espressione di x_n e dalla proprietà x_n\leq x < x_n+q^{p-n},\quad\forall n\in\mathbb{N}, si ricava che:

q^p\leq x<\frac{\lceil q \rceil-1}{q-1}(q^{p+1}-1)+q^{p-n}

che per n=p (vedi punto 2) assume la forma:

q^p\leq x<\frac{\lceil q \rceil-1}{q-1}q^{p+1}+\left( 1-\frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)\leq \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1}q^{p+1}

da cui:

p\leq \log_q x<\log_q \left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)+p+1

ovvero:

\log_q x - \log_q \left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)-1<p\leq \log_q x \implies
\implies \frac{1}{\log q}-\frac{\log_q \left( \frac{\lceil q \rceil-1}{q-1} \right)}{\log x}- \frac{1}{\log x}<\frac{p(x;q)}{\log x}\leq \frac{1}{\log q}\implies

\implies\exists\lim_{x\to\infty}\frac{p(x;q)}{\log x}=\frac{1}{\log q}\implies

\implies \exists\lim_{x\to\infty}\frac{\lceil q \rceil\cdot p(x;q)}{\log x}=\frac{\lceil q \rceil}{\log q}

che diventa pertanto la grandezza candidata alla minimizzazione, In quanto non dipende più da x e descrive il compromesso tra i punti 1 e 2 in termini asintotici, per numeri reali grandi.

Ecco il grafico di \frac{\lceil q \rceil}{\log q}:

Schermata 2020-04-09 alle 17.51.22.png


che, come si vede chiaramente, ha il suo minimo in q=3.

Basta cercare ovunque su internet per leggere che in realtà la migliore base reale è q=e (non q=3) che si otterrebbe se si tentasse di minimizzare \frac{q }{\log q} anziché \frac{\lceil q \rceil}{\log q}, cosa che però a me sembra un po' campata in aria, per tutto quanto dimostrato fin qui.
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[6] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 apr 2020, 18:30

io sarei curioso (senza pretese, e se ne hai voglia), sul motivo della tua conclusione.

Spero di essere riuscito a soddisfare la tua curiosità Foto Utentelillo :-)
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[7] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto Utentesebago » 10 apr 2020, 8:49

[molto OT]
Ianero ha scritto:Spero di essere riuscito a soddisfare la tua curiosità

Per Diana Cacciatrice, Biagio, ne hai fatta di strada...
biagio.JPG

E in soli 8 anni.
Neanche il fotone superluminale...
"inhorresco quia dissimilis sum, sed ardesco"
Complimenti
[fine OT]
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[8] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto Utentefpalone » 10 apr 2020, 9:08

Impressionante Foto UtenteIanero!
ma esistono dei sistemi ternari in uso in qualche civiltà, oltre ai punti del tresette? :mrgreen:
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[9] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto Utentelillo » 10 apr 2020, 9:19

Foto UtenteIanero ha scritto:Spero di essere riuscito a soddisfare la tua curiosità Foto Utentelillo :-)

sei andato ben oltre.
ieri sera ho letto il primo post, ora mi concedo il week end per leggere con attenzione il secondo.
purtroppo le mie basi di matematica non si spingono così oltre... quindi potrei trovare non poche difficoltà. :lol:
mi associo a Foto Utentesebago per i complimenti, avremmo bisogno di più persone come te, con sete di conoscenza e di confronto costruttivo.
grazie Biagio =D>
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[10] Re: Miglior base per rappresentare numeri reali

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 10 apr 2020, 10:01

fpalone ha scritto:(...)
ma esistono dei sistemi ternari in uso in qualche civiltà, oltre ai punti del tresette? :mrgreen:


Leggendo qui, qualcosa di "reale" è stato fatto, anche non di legno... :mrgreen:

... dai "References" è interessante questo documento...

O_/ Max
Disapprovo quello che dite, ma difenderò fino alla morte il vostro diritto di dirlo [attribuita a Voltaire]

Sapere sia di sapere una cosa, sia di non saperla: questa è conoscenza. [Confucio, "I colloqui"]
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