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Linea di trasmissione multiconduttore

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Linea di trasmissione multiconduttore

Messaggioda Foto UtenteGabrieleGalbato » 16 apr 2020, 16:37

Salve, sono nuovo del forum (anche se ormai sono diversi mesi che siete un punto di riferimento per me) e spero di aver interpretato nel modo giusto le regole che ho letto, nel caso non fosse così vi chiedo già di scusarmi.

Per un progetto all'università sto studiando una linea di trasmissione multiconduttore, in particolare lo scopo sarà valutare le perdite per effetto Joule in una campata di linea a 380 kV (ovviamente a 50 Hz).
Mi sono preliminarmente messo in una condizione semplificata in cui non considero le perdite per corona (dunque considero nulle le conduttanze tra i conduttori), non considero l'impedenza del terreno e semplifico i fasci trinati con singoli conduttori posti nel loro centro.
In definitiva sto studiando una configurazione di 5 conduttori (più il terreno), di cui due sono funi di guardia e tre sono conduttori di fase. Inoltre, sto considerando i conduttori paralleli al terreno e posti ad un'altezza media dal suolo ottenuta come l'altezza del punto più alto meno la freccia equivalente.

Sto approcciando al problema in termini di analisi modale, dunque mi sono valutato le matrici delle impedenze Z e delle ammettenze Y e sono andato a disaccoppiare i singoli modi di propagazione della linea, ed è qua che trovo risultati che non mi convincono e che vorrei poter discutere con persone più esperte di me.

Le matrici dei coefficienti per unità di lunghezza le ho ottenute seguendo le definizioni del libro di Clayton R. Paul (Multiconductor Transmission Line), ovvero ho cominciato valutando la matrice delle capacità ottenuta invertendo la matrice dei coefficienti di potenziale, trovando:

C = \left(\begin{array}{ccccc} 8.02 & -0.971 & -0.304 & -1.02 & -0.38\\ -0.971 & 8.16 & -0.971 & -0.888 & -0.887\\ -0.304 & -0.971 & 8.02 & -0.381 & -1.02\\ -1.02 & -0.888 & -0.381 & 6.76 & -0.738\\ -0.38 & -0.887 & -1.02 & -0.738 & 6.76 \end{array}\right) \frac{pF}{m}.

Da questa ho poi valutato la matrice delle induttanze esterne come

L_\mathrm{ext} = \mu_0 \varepsilon_0 C^{-1} =  \left(\begin{array}{ccccc} 1.46 & 0.235 & 0.117 & 0.275 & 0.161\\ 0.235 & 1.48 & 0.235 & 0.272 & 0.272\\ 0.117 & 0.235 & 1.46 & 0.161 & 0.275\\ 0.275 & 0.272 & 0.161 & 1.76 & 0.268\\ 0.161 & 0.272 & 0.275 & 0.268 & 1.76 \end{array}\right) \frac{\mu H}{m}.

Per quanto riguarda la matrice delle impedenze interne ho valutato i termini diagonali come

Z_\mathrm{int} = \frac{k}{2\pi r \sigma} \frac{\mathrm{J}_0 (k r)}{\mathrm{J}_1 (k r)}, \quad\qquad k = \mathrm{j} \sqrt{\mathrm{j} \omega \mu_0 \sigma}

essendo J_1 e J_0 le funzioni di Bessel di ordine 1 e 0, ovvero tenendo conto dell'effetto pelle nei conduttori, considerati per semplicità cilindrici ed omogenei (di sezione pari alla sezione teorica dei conduttori reali), trovando

Z_\mathrm{int} =  \left(\begin{array}{ccccc} 0.0571 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.0571 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0.0571 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2.01 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2.01 \end{array}\right) +
+\mathrm{j} \left(\begin{array}{ccccc} 0.0155 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.0155 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0.0155 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0.0157 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.0157 \end{array}\right)  \frac{m \Omega}{m}.

In definitiva ho valutato le matrici Z e Y come {Z} = {Z}_\mathrm{int} + \mathrm{j} \omega {L}_\mathrm{ext} e {Y} = \mathrm{j} \omega {C}.

Ora fino a qui mi pare tutto ragionevole, ho confrontato l'ordine di grandezza dei miei risultati con quelli riportati da Gatta nel suo Impianti Elettrici (l'unico libro in cui ho visto fare conti del genere) e mi sembrano compatibili. Il problema arriva quando disaccoppio le equazioni dei telegrafisti.
In particolare, quello che faccio è calcolare la matrice delle impedenze modali caratteristica come

{Z}_\mathrm{mc} = {m}^{-1} {M}^{-1} {Z} {N}

dove M e N sono le matrici che diagonalizzano rispettivamente ZY e YZ, cioè le matrici dei loro autovettori destri, e m è la matrice diagonale delle radici a parte reale positiva degli autovalori di ZY, cioè la matrice delle costanti di propagazione modali. Dai conti che ho fatto (con MATLAB) ho trovato

m = \left(\begin{array}{ccccc} 0.00137 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.00119 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5.02\mathrm{e-}5 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6.94\mathrm{e-}5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7.8\mathrm{e-}5 \end{array}\right) +
+  \mathrm{j}\left(\begin{array}{ccccc} 0.00173 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.0016 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0.00106 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0.00107 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.00107 \end{array}\right) \frac{1}{km}

e già qui ho i miei dubbi, in quanto le lunghezze d'onda dei modi (\lambda = 2\pi / m) sono di ordine migliaia di chilometri invece delle centinaia che mi sarei aspettato per una linea di trasmissione, ma quello che mi fa dubitare di più è la matrice delle impedenze modali caratteristiche (che sono costretto a riportare come immagine perché il compilatore latex del forum non la visualizza, suppongo perché troppo lunga)
Zmc_screen.png
Matrice delle impedenze modali caratteristiche


Dubito di questo risultato per due motivi principali: 1) le ultime due colonne me le sarei aspettate invertite, non mi spiego perché compaiano in questo ordine; 2) le impedenze caratteristiche mi sembrano troppo alte considerando che ho anche trascurato quelle di ritorno del terreno.

Per completezza di informazione, ho usato conduttori di fase ACSR da 31.5 mm e funi di guardia da 11.5 mm (con resistenza a 20 gradi pari a 2.014 ohm/km).

Mi rendo conto che come primo post non è proprio il massimo, considerando la lunghezza e la complessità, ma sono spiacevolmente sorpreso dal fatto che per un argomento così importante (ogni ingegnere che progetta linee si confronta con questi calcoli, o sbaglio?) non esistano buoni esempi, anzi non solo non esistono buoni esempi ma non ne esistono affatto (o almeno io non sono stato in grado di trovarli). Non ho quindi alcun tipo di confronto, non so se è normale che ottenga questi risultati e, nel caso in cui non fosse così, non so dove potrei star sbagliando.

So che chiedo molto ma se c'è qualcuno che ha più esperienza di me in questo ambito potrebbe darmi il suo commento a questi risultati? E magari anche suggerimenti per individuare l'errore di conto, se c'è?

Grazie mille, anche solo per aver letto fino a qua.
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[2] Re: Linea di trasmissione multiconduttore

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 17 apr 2020, 10:16

Complimenti per il tuo primo post, chiaro, ben presentato, ben scritto...

Purtroppo non ti so aiutare, sono un elettronico :(

Posso solo dire che una lunghezza d'onda di migliaia di kilometri mi pare ragionevole, e considerando le geometrie, distanze e diametri dei conduttori, mi aspetto una propagazione abbastanza simile a quello dello spazio vuoto, quindi con impedenza caratteristica dalle parti di 120π Ω.
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[3] Re: Linea di trasmissione multiconduttore

Messaggioda Foto UtenteGabrieleGalbato » 17 apr 2020, 17:44

Complimenti per il tuo primo post, chiaro, ben presentato, ben scritto...

Grazie, ho cercato di semplificare il più possibile la vita a chiunque si fosse interessato al mio problema.

Posso solo dire che una lunghezza d'onda di migliaia di kilometri mi pare ragionevole, e considerando le geometrie, distanze e diametri dei conduttori, mi aspetto una propagazione abbastanza simile a quello dello spazio vuoto, quindi con impedenza caratteristica dalle parti di 120π Ω.

Questo, in verità, mi è già di grande aiuto perché è la prima volta che sento una giustificazione fisica dell'ordine di grandezza atteso per l'impedenza caratteristica: a mio malincuore non ho ancora avuto modo di affrontare un serio approfondimento di questo campo e per me questi numeri rimangono solo numeri.

Spero comunque di riuscire a suscitare l'interesse di qualche esperto/appassionato di linee di trasmissione (alla fine anche solo in Terna quanti ce ne saranno? Qualche migliaia? Magari qualcuno di loro sta anche qui) che possa commentare la cosa che più mi disturba, ossia l'ordine delle ultime due colonne della matrice delle impedenze modali caratteristiche, dato che un'impedenza propria a parte reale negativa non è proprio un buon segno...
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[4] Re: Linea di trasmissione multiconduttore

Messaggioda Foto Utentelillo » 17 apr 2020, 18:25

mi unisco a Isidoro per i complimenti.
purtroppo non posso esserti di molto aiuto (sono passati 12 anni dal mio ultimo esercizio simile),
ma a meno di eventuali errori numerici di cui non posso darti riscontro, il ragionamento che fai mi sembra (sottolineo mi sembra) esatto.
O_/
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