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localizzazione poli, calcolo frequenze naturali

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] localizzazione poli, calcolo frequenze naturali

Messaggioda Foto Utentemicdisav » 6 lug 2020, 11:06

Buongiorno, vorrei evidenziare il DIVERSO calcolo/risultato dei poli di una fdt, tramite 2 metodi diversi.
Il circuito dedicato alla verifica è un filtro bistadio costituito da celle LP e HP del I ordine in cascata, del tipo raffigurato in Figura 1 seguente:



Considerando i guadagni di tensione delle 2 celle si ha:

G_{LP}(s) = \frac{\frac{1}{s C_1}}{R_1 + \frac{1}{s C_1}} = \frac{\frac{1}{s C_1}}{\frac{(1 + s C_1 R_1)}{s C_1}} = \frac{1}{(1 + s C_1 R_1)} ;

G_{HP}(s) = \frac{R_2}{R_2 + \frac{1}{s C_2}} = \frac{R_2}{\frac{(1 + s C_2 R_2)}{s C_2}} = \frac{s C_2 R_2}{(1 + s C_2 R_2)} ;

\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = G(s) = G_{LP}(s) \cdot G_{HP}(s) = \frac{1}{(1 + s C_1 R_1)} \cdot \frac{s C_2 R_2}{(1 + s C_2 R_2)} =

\frac{s C_2 R_2}{s^2 (C_1 C_2 R_1 R_2) +s (C_1 R_1 + C_2 R_2) + 1} ;

L'espressione dei poli della G(s) considerando 2 filtri in cascata è: p1\_G(s) = s^2 (C_1 C_2 R_1 R_2) +s (C_1 R_1 + C_2 R_2) + 1 ;

Si vogliano ottenere i poli del circuito in Figura 1, tramite il calcolo delle frequenze naturali associate al circuito. Secondo la definizione di frequenze naturali, esse sono le frequenze complesse che annullano l'ammettenza equivalente Y ai capi di un qualsiasi elemento passivo della rete; una volta che si rendano ininfluenti, cioè nulli, i generatori di segnale indipendenti presenti nella rete circuitale.
Ponendo Vin = 0, si consideri l'ammettenza Y ai capi del parallelo R_1 C_1 e serie composta da R_2 C_2; situazione rappresentata nella seguente:



L'ammettenza Y si può così calcolare:

Y(s) = \frac{1}{R_1} + sC_1 + \frac{1}{R_2 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{1}{R_1} + sC_1 + \frac{sC_2}{(1 + s C_2 R_2)} =

\frac{1 + sC_2 R_2 + s C_1 R_1 + s^2 C_1 C_2 R_1 R_2 + s C_2 R_1}{R_1 + S C_2 R_1 R_2} =

e, raccogliendo a fattore comune,

\frac{s^2(C_1 C_2 R_1 R_2) + s(C_1 R_1 + C_2 R_2 + C_2 R_1) + 1}{S C_2 R_1 R_2} ;

Tale quantità viene eguagliata a 0 per il calcolo delle frequenze naturali; ovvero, annullando il solo numeratore della frazione, si ricavano i poli della rete:
p2\_G(s) = s^2(C_1 C_2 R_1 R_2) + s(C_1 R_1 + C_2 R_2 + C_2 R_1) + 1 ;

confrontando p2\_G(s) con la p1\_G(s) trovata in precedenza:
p1\_G(s) = s^2 (C_1 C_2 R_1 R_2) + s (C_1 R_1 + C_2 R_2) + 1 ;

si nota che le 2 espressioni non sono equivalenti variando per il termine -> sC_2 R_1 <- in p2\_G(s).
Ho errato in qualcosa, ... ma cosa?, qualcuno riesce ad illuminarmi?

Grazie per la condivisione e l'attenzione a codesto problema.

Michele.
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[2] Re: localizzazione poli, calcolo frequenze naturali

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 6 lug 2020, 13:59

Il primo metodo e` sbagliato: calcoli la funzione di trasferimento delle due celle separatamente, ma quando le colleghi in cascata le due celle interagiscono: l'impedenza di uscita della prima cella forma un partitore con l'impedenza di ingresso della seconda cella e i poli si spostano.

Il primo conto che hai fatto sarebbe corretto se fra le due celle fosse interposto un voltage follower che separi elettricamente le due celle.

Per trovare i poli della fdt completa, suggerisco anche il metodo delle costanti di tempo.
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[3] Re: localizzazione poli, calcolo frequenze naturali

Messaggioda Foto Utentelemure64 » 6 lug 2020, 15:33

Giusto per curiosità, a ispezione si potrebbe dire qualcosa? A occhio mi viene da dire che non possa avere frequenze di risonanza, manca almeno un'induttanza.
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[4] Re: localizzazione poli, calcolo frequenze naturali

Messaggioda Foto Utentemicdisav » 6 lug 2020, 17:07

lemure64 ha scritto:Giusto per curiosità, a ispezione si potrebbe dire qualcosa? A occhio mi viene da dire che non possa avere frequenze di risonanza, manca almeno un'induttanza.

Grazie, ma no, non era inserita la risonanza: era solo come base di esercizio.

IsidoroKZ ha scritto:Il primo metodo e` sbagliato: calcoli la funzione di trasferimento delle due celle separatamente, ma quando le colleghi in cascata le due celle interagiscono: l'impedenza di uscita della prima cella forma un partitore con l'impedenza di ingresso della seconda cella e i poli si spostano.
Il primo conto che hai fatto sarebbe corretto se fra le due celle fosse interposto un voltage follower che separi elettricamente le due celle.
Per trovare i poli della fdt completa, suggerisco anche il metodo delle costanti di tempo.

Grazie, devo essere sincero, quando trovai le prime discordanze valutai tale motivazione; la scartai, invece non dovevo!

Michele.
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