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Funzione di trasferimento

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[1] Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utenteanto123 » 22 ago 2020, 14:34

Ciao a tutti, sto studiando la funzione e ho un dubbio sulla teoria. Si parte dal sistema
x(t)=Ax(t)+Bu(t), sulla prima x fate finta che ci sia un punto poiché è l'equazione di stato
y(t)=Cx(t)+Du(t)
Siano U(s), X(s) e Y(s) le trasformate di Laplace di u(t), x(t) e y(t).
Abbiamo alla fine
sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)
Y(s)=CX(s)+DU(s)
Fin qui tutto chiaro. Il passaggio successivo invece non l'ho capito, e cioè
X(s)=(sI-A)^-1 BU(s)+(sI-A)^-1 x(0)
La mia domanda è questa, da dove esce quella I? Potete mostrarmi i passaggi intermedi? Grazie mille :D
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[2] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 22 ago 2020, 15:29

Che I rappresenti una matrice identità ?
Non ne sono certo .
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[3] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utenteanto123 » 22 ago 2020, 16:32

MarcoD ha scritto:Che I rappresenti una matrice identità ?
Non ne sono certo .

Sì, dovrebbe essere la matrice identità, ma da dove esce in quel caso?
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[4] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utentedimaios » 22 ago 2020, 18:39

Parti da questa relazione

sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)

Da cui ricavi immediatamente questa:

sX(s)-AX(s)= BU(s) + x(0)

Che però scrivo in altro modo equivalente

sIX(s)-AX(s)= BU(s) + x(0)

Ora raccolgo la parte "matriciale" del primo termine visto che le dimensioni di ciò che raccolgo tornano.
Infatti sI è una matrice quadrata n \times n che ha la variable s sulla diagonale e tutti gli altri elementi identicamente nulli. Analogamente anche A è una matrice quadrata n \times n per cui è compatibile per essere sommata con sI ( vedi la definizione di somma di matrici ).

( sI - A ) X(s)= BU(s) + x(0)

E moltiplicando ambedue i membri per ( sI - A )^{-1}


X(s)=( sI - A )^{-1} BU(s) + ( sI - A )^{-1}x(0)

Che è quanto si voleva dimostrare.
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[5] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utenteanto123 » 23 ago 2020, 23:51

dimaios ha scritto:Parti da questa relazione

sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)

Da cui ricavi immediatamente questa:

sX(s)-AX(s)= BU(s) + x(0)

Che però scrivo in altro modo equivalente

sIX(s)-AX(s)= BU(s) + x(0)

Ora raccolgo la parte "matriciale" del primo termine visto che le dimensioni di ciò che raccolgo tornano.
Infatti sI è una matrice quadrata n \times n che ha la variable s sulla diagonale e tutti gli altri elementi identicamente nulli. Analogamente anche A è una matrice quadrata n \times n per cui è compatibile per essere sommata con sI ( vedi la definizione di somma di matrici ).

( sI - A ) X(s)= BU(s) + x(0)

E moltiplicando ambedue i membri per ( sI - A )^{-1}


X(s)=( sI - A )^{-1} BU(s) + ( sI - A )^{-1}x(0)

Che è quanto si voleva dimostrare.

Ti ringrazio per la risposta. Mi sapresti dire perché sX(s) è equivalente a sIX(s)?
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[6] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utentedimaios » 24 ago 2020, 6:48

A parte lo scalare s mi stai chiedendo perché IX(s) =X(s) cioè il motivo per cui una matrice identica moltiplicata per un vettore colonna è pari al vettore colonna stesso.
È un argomento di base del corso di algebra lineare del primo anno e te stai parlando di controlli automatici o teoria dei sistemi, mi rifiuto di risponderti per definizione. :?
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[7] Re: Funzione di trasferimento

Messaggioda Foto Utenteanto123 » 24 ago 2020, 11:10

dimaios ha scritto:A parte lo scalare s mi stai chiedendo perché IX(s) =X(s) cioè il motivo per cui una matrice identica moltiplicata per un vettore colonna è pari al vettore colonna stesso.
È un argomento di base del corso di algebra lineare del primo anno e te stai parlando di controlli automatici o teoria dei sistemi, mi rifiuto di risponderti per definizione. :?

Hai super ragione, ora ho capito. Grazie
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