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Matrice Z

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Matrice Z

Messaggioda Foto UtenteSimona99 » 28 set 2020, 11:35

Salve, a lezione ci é stato detto che se abbiamo un due porte rappresentato dalla matrice Z, se scambiamo lo porta di ingresso e la porta d'uscita la nuova matrice che rappresenta il doppio bipolo la si ottiene scambiando le righe e le colonne della matrice, qualcuno saprebbe dimostrarmelo??
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[2] Re: Matrice Z

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 28 set 2020, 11:59

Se scrivi le due relazioni caratteristiche (costitutive) alle porte, sarà banale dimostrarlo . ;-)


PS: Te le scrivo io, che così facciamo prima :D

Se partiamo da

\bar V_1=\dot Z_{11}\bar I_1+\dot Z_{12}\bar I_2

\bar V_2=\dot Z_{21}\bar I_1+\dot Z_{22}\bar I_2

scambiando "nome" alle due porte, cambieranno di nome le tensioni e le correnti, non credi? ;-)
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[3] Re: Matrice Z

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 28 set 2020, 18:35

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[4] Re: Matrice Z

Messaggioda Foto UtenteSimona99 » 28 set 2020, 21:18

Quindi posso scrivere
V1=Z11I1+Z12I2
V2=Z21I1+Z22I2
Se scambio le porte di ingresso ed uscita avrei
V2=z11I2+z12I1
V1=z21I2+z22I1
Posso eguagliare le due equazione e per esempio nel caso di V1 scrivere
Z11I1+Z12I2=z21I2+z22I1
Da cui ottengo z22=Z11 z21=Z12
Mentre per V2 posso scrivere
Z21I1+Z22I2=z11I2+z12I1
Da cui ottengo
Z12=Z21 z11=Z22
Corretto?
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[5] Re: Matrice Z

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 29 set 2020, 12:15

Più semplicemente, scrivendo quella doppia relazione in forma matriciale: scambiando il nome alle tensioni scambi le righe, scambiando il nome alle correnti, scambi le colonne (della matrice impedenza).
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[6] Re: Matrice Z

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 set 2020, 12:33

Simona99 ha scritto:Quindi posso scrivere
V1=Z11I1+Z12I2
V2=Z21I1+Z22I2
Se scambio le porte di ingresso ed uscita avrei
V2=z11I2+z12I1
V1=z21I2+z22I1
Posso eguagliare le due equazione e per esempio nel caso di V1 scrivere
Z11I1+Z12I2=z21I2+z22I1
Da cui ottengo z22=Z11 z21=Z12
Mentre per V2 posso scrivere
Z21I1+Z22I2=z11I2+z12I1
Da cui ottengo
Z12=Z21 z11=Z22
Corretto?


Se posso dire la mia, secondo me sbagli concettualmente.
Tu devi trovare la matrice Z di un quadripolo ottenuta scambiando V1 con V2 e I1 con I2.

Invece di scrivere mille formule, prova a ragionare.

Se scambio V1 con V2 la prima riga della matrice diventa la seconda, e viceversa.
Riesci a vedere la matrice?

Eccola

\begin{bmatrix}V_1\\V_2 \end{bmatrix}= 
\begin{bmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ 
Z_{21} & Z_{22} 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}I_1\\I_2 \end{bmatrix}

Scambiamo le tensioni e le correnti

\begin{bmatrix}V_2\\V_1 \end{bmatrix}= 
\begin{bmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ 
Z_{21} & Z_{22} 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}I_2\\I_1 \end{bmatrix}

scriviamola con V1 e I1 “sopra“, in modo da essere ordinati.
La matrice qua sopra ci dice che V_2=Z_{11}I_2+Z_{12}I_1 cioè V_2=Z_{12}I_1+ Z_{11}I_2
e così anche per la seconda riga V_1=Z_{21}I_2+Z_{22}I_1 cioè V_1=Z_{22}I_1+ Z_{21}I_2.

Scritto bene diventa:

\begin{bmatrix}V_1\\V_2 \end{bmatrix}= 
\begin{bmatrix}
Z_{22} & Z_{21} \\ 
Z_{12} & Z_{11} 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}I_1\\I_2 \end{bmatrix}

cosa abbiamo ottenuto?
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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