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[HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 3 ott 2020, 11:39

Carissimi.
Non riesco a visualizzare la risoluzione di questo circuito, qualcuno può darmi una mano?
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[2] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 ott 2020, 11:55

Puoi postare il tuo tentativo di soluzione?
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[3] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 3 ott 2020, 12:19

RenzoDF ha scritto:Puoi postare il tuo tentativo di soluzione?

Eccola, spero si capisca.
La cosa che non riesco a capire è, se l'interruttore apre in t=0, per t>0 come devo comportarmi?
Non ho corrente in ingresso sui componenti dinamici, dunque posso considerare solo la scarica di condensatore ed induttore, ma non ho ben chiaro come andare ad effettuare questa considerazione.
Forse sto confondendo tutto :? ...
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[4] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 ott 2020, 12:32

L'interruttore si apre per t=0 e chiaramente rimane successivamente aperto per t>0.

Per t<0 vai a ricavarti, come hai fatto, le condizioni iniziali per vC e iL, ma ora devi scrivere le due equazioni differenziali che legano l'evoluzione della rete per t>0, andando ad usare le relazioni costitutive per i tre bipoli R, L e C, fra correnti e tensioni.
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[5] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 3 ott 2020, 12:58

Si, non capisco come impostare le Kirchhoff in modo da avere delle caratteristiche sensate.
perché non avendo correnti entranti, considerare la corrente di scarica del condensatore non mi porterebbe a una considerazione delle correnti fluenti nei componenti dinamici, perché va nel negativo del generatore, quindi a massa.
Non mi è mai capitato di perdermi così in un esercizio.
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[6] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 ott 2020, 13:03

Non so se conosci il metodo del "circuito resistivo associato", ad ogni modo, in questo caso, è semplice ricavare le due relazioni osservando che:

via KVL all'anello sinistro, assumendo per vL il positivo sul morsetto superiore

v_L-v_C=0

e via KCL , assumendo iR e iC verso il basso, a uno dei due nodi

i_C+i_L+i_R=0

NB Ti ricordo che il testo richiede di usare il metodo delle equazioni di stato, che normalmente sottintende la rappresentazione matriciale del sistema.
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[7] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 3 ott 2020, 15:10

Ci avevo pensato anch'io, ma non ne ero troppo sicuro.
Assumendo questa sicurezza sono andato avanti, ottenendo questo risultato. Che ne pensi?
P.S. In caso non si dovesse capire, trascriverò i procedimenti.
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[8] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 ott 2020, 15:22

Ecco, bravo, riscrivi tutto per bene, possibilmente usando codice Latex.

Usa per esempio
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

e includi il codice fra i tag

Codice: Seleziona tutto
[tex][/tex]

... occhio, controlla prima di trascrivere che mi sembra di vedere un bell'errore. ;-)
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[9] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 3 ott 2020, 16:30

Dunque, il circuito è questo:

Dati: R_1 =3[Ohm]; R_2 =4[Ohm];
L=0,5 [H]; C=0,125[F]; 
E=9[V]
Svolgo l'analisi dei casi:
Considerando che l'interruttore apre in t=0, rimanendo chiuso per un lungo periodo di tempo, allora considero il circuito per t<0 in regime stazionario, con i componenti dinamici scarichi dunque:
C ->C.A.; L ->C.C.; R_2 -> C.C.

A questo punto, le mie condizioni iniziali saranno date da:
i_L(0^-)=E/R_1=3[A];
V_C(0^-)=E-V_R=0[V]
Considero dunque la risposta permanente:

i_L( \infty)=0[A]; V_C( \infty)=0[V]
Una volta qui, proseguo verso l'analisi del transitorio:

A questo punto considero le Kirchhoff alle maglie:
Non considero generatore e resistore R1 in quanto serie ad un circuito aperto, incrociano quindi una resistenza infinita, dunque non esiste flusso di corrente su quel ramo.
V_c=V_L;
V_L=V_R
Considero dunque la Kirchhoff alle correnti:
i_c +i_L+i_R=0
A questo punto:
V_C=V_L=V_R;  i_R=-i_C-i_L; 0=V_C-V_L=i_R*R_2;  
0=V_C-V_L=-i_c*R_2-i_L*R_2
i_C=-(V_L/R_2)+(V_C/R_2)-i_L;
V_L=V_C-i_C*R_2-i_L*R_2
A questo punto aggiungo le caratteristiche differenziali degli elementi dinamici:
dV_C(t)/dt=(1/C)i_C;  di_L/dt=(1/L)V_L;

dV_C(t)/dt =8*[-V_L/4+V_c/4-i_L];
di_L/dt=2*[V_c-4i_c-4i_L]

A questo punto proseguo con il calcolo della costante di smorzamento e la pulsazione di risonanza:
\begin{bmatrix}
-2 & -8 \\
2 & -8  \\
\end{bmatrix}
La costante di smorzamento sarà uguale alla metà della traccia (della matrice) invertita di segno, dunque: a=5[1/s];
La pulsazione di risonanza sarà uguale alla radice quadrata del determinante:
w_0=5.65 [rad/s]
Dato che a<w_0 allora il circuito è sottosmorzato, dunque:
b=\sqrt{w_0^2-a^2}=2,64
s_1=-a+jb=-5+j2,64; s_2=-a-jb=-5-j2,64
Le costanti A, dipendenti dalle condizioni iniziali:
A_1=0; A_2=(dV_c(0)/dt)/b=-9.09
Dunque, l'espressione temporale della V_c(t) sarà:
V_c(t)=-9,09cos(2,64t)e^{-5t}[V]


Mi scuso se ho commesso delle imprecisioni o degli errori nella scrittura.

P.S. Personalmente, non sono per niente convinto da questo svolgimento. :?
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[10] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 3 ott 2020, 16:38

Vedo che non hai seguito il consiglio che ti avevo dato ...

dlfdnc ha scritto: ... A questo punto:

i_C=-(V_L/R_2)+(V_C/R_2)-i_L;
V_L=V_C-i_C*R_2-i_L*R_2 ...


Eccoli gli errori. :D
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