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[HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[21] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 4 ott 2020, 12:48

RenzoDF ha scritto:Attendiamo soluzione finale. :-)

Eccomi! :D
Allora, date le condizioni iniziali:
V_C(0^-)=0 V;  i_L(0^-)=3 A;
E la risposta permanente:
V_C(\infty)= 0 V; i_L(\infty)= 0 A;
E la risposta transitoria:

Le equazioni di Kirchhoff mi porteranno a considerare queste relazioni per maglie e nodi:
V_L=V_C=V_{R_2};
i_C+i_L+i_{R_2}=0;

V_C=-i_CR_2-i_LR_2=V_L;
i_{R_2}=-i_C-i_L;
A questo punto:
i_C=-V_C/R_2-i_L;    V_L=V_C

Inserisco le caratteristiche differenziali:
dV_C(t)/dt=C^{-1}i_C=8[-V_C/4-i_L];      di_L(t)/dt=L{-1}V_L=2[V_C];
Imposto il sistema in forma matriciale:

M= \begin{pmatrix}
-2 & -8  \\
2 & 0  \\

\end{pmatrix}

Posso procedere al calcolo della costante di smorzamento (dove T_M sta ad indicare la traccia della matrice 'M') :
a=-T_M/2=-(-2/2)=1 s^{-1}
E al calcolo della pulsazione di risonanza:
w_0=\sqrt{det(M)}=\sqrt{16}=4 rad/s
Confrontando le grandezze appena calcolate, osservo che:
a<w_0 dunque il circuito in questione è SOTTOSMORZATO.
Dunque calcolo la risposta V_C(t) nel caso sottosmorzato.
Pulsazione di oscillazione smorzata:
b=\sqrt{w_0^2-a^2}=3.87 s^{-1}
Calcolo radici "s" del polinomio caratteristico (saranno complesse e coniugate, data la casistica):
s_1=-a+jb=-1+j3.87 s^{-1}
s_2=-a-jb=-1-j3.87 s^{-1}
Calcolo costanti "A" date dai contributi di risposta permanente e condizioni iniziali:
A_1=V_C(0)-V_C(\infty)=0;   A_2=[(dV_C(0)/dt)+a(V_C(0)-V_C(\infty)]/b=6.19
Componendo i risultati, ottengo:

V_C(t)=6.19\cos(3.87t)e^{-t} V
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[22] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentelacoontfreed » 4 ott 2020, 13:30

RenzoDF ha scritto:Visto che il parallelo R L C costituisce un sistema isolato...

lo so
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[23] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 4 ott 2020, 14:19

dlfdnc ha scritto:...
A_2=[(dV_C(0)/dt)+a(V_C(0)-V_C(\infty)]/b=6.19

Premesso che non vedo cosa ci azzecchi V_C(\infty), quanto vale v_C'(0^+) ?

E inoltre puoi esplicitare la forma della risposta per v_C(t), evidenziando il ruolo di quei due coefficienti A1 e A2?

Per quanto riguarda poi gli autovalori, anche se il tuo metodo è equivalente, direi che dovresti usare la classica

\det (\textbf{A}-\lambda \textbf{I})=0

visto che il testo chiede di applicare il metodo delle equazioni di stato.
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[24] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 4 ott 2020, 14:35

RenzoDF ha scritto:
dlfdnc ha scritto:...
A_2=[(dV_C(0)/dt)+a(V_C(0)-V_C(\infty)]/b=6.19

Premesso che non vedo cosa ci azzecchi V_C(\infty), quanto vale v_C'(0) :?:

Hai ragione, ho commesso un errore nella trascrizione della formula. V_C(\infty) effettivamente non ha senso li, avrei dovuto dedurlo dal fatto che le costanti A sono dipendenti dalle condizioni iniziali.
V_C(0)=0V, calcolato considerando il circuito:

Dunque:
i(t)=E/R_1=9/3=3A; V_{R_1}=i*R_1=9 \Omega
E-V_{R_1}=V_C=9-9=0 V;
Questa è la considerazione che ho seguito per determinarla.
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[25] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 4 ott 2020, 14:36

Beh, vC=0 per il cortocircuito dell'induttore, no? ;-)

Ad ogni modo, da quei valori

i_C(0^+)=?
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[26] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 4 ott 2020, 14:44

RenzoDF ha scritto:Beh, vC=0 per il cortocircuito dell'induttore, ad ogni modo

i_C(0^+)=?

Ci avevo pensato a V_C=0 dato che V_L=0 e C//L, ma non mi sentivo abbastanza sicuro da scriverlo.
i_C(0^+)=0A
in quanto circuito aperto.
E inoltre puoi esplicitare la forma della risposta per v_C(t), evidenziando il ruolo di quei due coefficienti A1 e A2?

Certo!
V_C(t)=[A_1 cos(bt)+A_2 sen(bt)]e^{-at}+V_C(\infty)= [0cos(3,87t)+6,19sen(3,87t)]e^{-t}+0 V
6,19sen(3,87t)]e^{-t} V
Ho fatto degli errori di distrazione tali da rovinare tutto. #-o
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[27] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 4 ott 2020, 14:50

dlfdnc ha scritto: ...
i_C(0^+)=0A
in quanto circuito aperto. ...

Eh, no! :mrgreen:

... il circuito è aperto, ma ... ;-)

...
V_C(t)=[A_1 cos(bt)+A_2 sen(bt)]e^{-at}+V_C(\infty) ...
Ho fatto degli errori di distrazione tali da rovinare tutto. #-o

Diciamo

V_C(t)=[A_1 \cos(bt)+A_2 \sin(bt)]e^{-at}+V_{C_\infty}(t)

Ma nel ricavare le due equazioni di stato abbiamo già visto che V_{C_\infty}(t)=0, no?
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[28] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 4 ott 2020, 15:17

Quel che mi viene da pensare su i_C(0^-) è che entrando nel ramo del condensatore incontra resistenza infinita, dunque torna indietro proseguendo sul ramo dell'induttore, (escludendo il ramo della resistenza parallela, in quando viene "preferito" il corto). Ma non so onestamente cosa succeda ad i_C(0^-) oltre questo.
Per quanto riguarda la V_C(\infty)=0, si lo avevamo dedotto sia dal parallelo con un corto, sia confermato dalla Kirchhoff.
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[29] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 4 ott 2020, 15:28

Ti ricordo che aprendo interruttore sono solo le due grandezze di stato che non presenteranno discontinuità (in una rete come la nostra priva di forzanti impulsive), ovvero

i_L(0^+)=i_L(0^-)=3 \ \text{A}

v_C(0^+)=v_C(0^-)=0 \ \text{A}

di conseguenza, per t=0^+, visto che la tensione su C risulta nulla, sarà nulla anche la corrente nel resistore, e di conseguenza, per la KCL

i_C(0^+)=-i_L(0^+)=-3 \ \text{A}

La i_C(0^-) non ci interessa in quanto i_C può tranquillamente presentare discontinuità, così come avviene nel nostro caso

i_C(0^+)\ne i_C(0^-)

;-)
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[30] Re: [HELP]Risoluzione circuiti del secondo ordine.

Messaggioda Foto Utentedlfdnc » 4 ott 2020, 15:52

Oh ok, non avevo mai considerato questo aspetto del circuito, dunque devo calcolare la corrente a 0 come -3A.
Me lo appunto comunque, mi state dando un ottimo spunto d'osservazione. Grazie davvero per la pazienza!
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