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Riferimento in tensione bandgap

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[11] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 2 nov 2020, 2:31

Entrambi hanno la R4 in comune, ma Q1 ha anche R3. Se vuoi fare il conto della corrente di collettore di Q1e Q2 in funzione del SEGNALE applicato sul nodo BG si puo` fare in svariati modi. Uno ad esempio e`scrivere tutte le equazioni linearizzate del circuito, ma magari lo lascio fare a qualcun altro :-)

Il parametro fondamentale del transistore e` la sua transconduttanza g_m che e` direttamente proporzionale alla corrente di collettore g_m=\frac{I_C}{V_T}. I due transistori lavorano alla stessa I_C e quindi hanno la stessa transconduttanza.

Un transistore cha ha una transconduttanza g_m, con una resistenza di emettitore R presenta una transconduttanza equivalente pari a g_{meq}\approx \frac{g_m}{1+g_m R} Il circa uguale e` dovuto al fatto che \beta non e` infinito, ma l'approssimazione e` comunque ottima. Questo significa che transistore+resistenza di emettitore diventano un transistore equivalente (senza R di emettitore) con una transconduttanza diversa, e questo semplifica il circuito.

Allora se su usa il transistore equivalente si hanno, partendo dallo schema originale a sinistra, i due transistori Q1 e Q2 con la stessa transconduttanza g_m. Poi si fa l'equivalente di Q1 e R3, ottenendo il secondo circuito da sinistra, in cui Q1 diventa Q1eq con la sua gmeq.

I due transistori ora sono in parallelo, e si possono "sommare". Si ottiene la somma delle correnti i1+i2, e la gm della coppia, gm12 pari alla somma delle due gm, come nel terzo schema, che ora e` un solo transistore con una resistenza di emettitore R4.
Anche questo trasistore Q12 puo` assorbire R4, diventando Qtot, con la sua transconduttanza equivalente Qtot.



A questo punto basta suddividere la corrente I1+I2 nelle due componenti, tenendo presente che I1 e I2, di cui si conosce la somma, sono proporzionali a gmeq e a gm. Le due gm finali, g_{m1f} e g_{m2f} Il risultato diventa (se non ho preso papere facendo i conti)

g_{m1f}=\frac{g_m}{R_3R_4g_m^2+(R_3+2R_4)g_m+1}

g_{m2f}=\frac{g_m(1+R_3g_m)}{R_3R_4g_m^2+(R_3+2R_4)g_m+1}

Con queste due transconduttanze si puo` calcolare il guadagno dei due transistori, e dato che Q2 guadagna piu` di Q1, la retroazione complessiva e` negativa.

Questi stessi risultati si sarebbero potuti ottenere con due equazioni ai nodi, ma il metodo non mi piace molto. Sono sicuro che Foto Utentecarloc sa trovare almeno altri due modi per fare gli stessi conti in modo piu`diretto!

NB: Questi sono i conti per il segnale, non per la continua. Qui si lavora con i_1 e i_2, non con I_1 e I_2
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[12] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto Utenteclaudiocedrone » 2 nov 2020, 3:02

Ad ogni modo quello è il circuito di Brokaw, pare che sia la base dei generatori di tensione di riferimento di tutti i regolatori lineari LM p. es.
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[13] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 2 nov 2020, 3:52

Acc! Hai svelato l'assassino! Stavo per mettermi a fare i conti per dimostrare che la tensione viene proprio la banda proibita del silicio a 0 K, mi hai evitato il lavoro, anche se nella bibliografia di wikipedia non c'e` la dimostrazione vera e propria ma solo un po' di handwaving!
Ultima modifica di Foto UtenteIsidoroKZ il 2 nov 2020, 4:26, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Ho spaziato l'unità di misura perché altrimenti sembrava scritto OK :)
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[14] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto Utenteclaudiocedrone » 2 nov 2020, 4:05

E' colpa della mia ignoranza e della mia curiosità :lol: non sapendo perché si chiamasse bangap reference ho cercato in rete trovando immediatamente questo in cui peraltro mi è balzato agli occhi che il circuito in esempio era proprio quello oggetto del thread.
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[15] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 2 nov 2020, 8:36

Provo a spiegare perche' questo riferimento di tensione si chiama a bandgap.

La tensione generata e` data da V_{BG}=V_{BE2}+KV_T e bisogna fare in modo che il coefficiente di temperatura di V_{BE2} sia uguale e contrario a quello di KV_T, cosi` quando si sommano le due tensioni i due coefficienti di temperatura si compensano e localmente la tensione e` stabile con la temperatura.

Bisogna ricordare che l'equivalente in tensione dell'energia termica (i soliti 26mV circa) vale V_T=\frac{\text{k}_\text{B}T}{\text{q}}, dove \text{k}_\text{B} e` la costante di Boltzman, \text{q} e` la carica dell'elettrone e T e` la temperatura assoluta.o

Il coefficiente di temperatura della tensione KV_T vale quindi

\frac{\text{d}KV_T}{\text{d}T}=K\frac{\text{d}\frac{\text{k}_\text{B}T}{\text{q}}}{\text{d}T}=K\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}=K\frac{V_T}{T}\qquad (0)

Il coefficiente di temperatura della tensione V_{BE}, il solito -2.2\,\text{mV}/\text{K}, invece e` piu` balordo da ricavare, e purtroppo in questo caso serve proprio.

********Se volete saltare una zuppa di calcoli, andate direttamente all'altra serie di asterischi dove c'e` il risultato che interessa**********

La tensione V_{BE} di un transistore in zona attiva diretta vale (a meno di qualche approssimazione ed effetto secondario)

V_{BE}=V_T\ln\left(\frac{I_C}{I_{S0}}\right) \qquad (1)

Per trovare la variazione della V_{BE} al variare della temperatura, bisogna ricordarsi che la temperatura è presente in V_T (visto prima), ma è anche presente in forma complicata nella corrente di saturazione inversa I_{S0}. L'espressione della corrente di saturazione inversa vale

I_{S0}=B T^\alpha \text{e}^{-\frac{V_{G0}}{V_T}}\qquad (2)

dove B e` un coefficiente che dipende dall'area e da tutto il resto che nella formula e` costante, l'esponente \alpha ha un valore che dipende dalla densita` dei portatori intrinseci e dal coefficiente di diffusivita`. Sfortunatamente questo esponente dipende dal materiale e dai drogaggi: non si puo` dare un valore preciso. L'effetto complessivo è che \alpha e` dalle parti di 1.5 fino a 2.5, tanto vedremo dopo che il risultato cambia poco?

Il termine E_{G0} e` l'ampiezza in tensione della banda proibita del silicio, estrapolata alla temperatura di 0\,\text{K} e vale E_{G0}=1.205\,\text{V}. Questo valore e` circa la tensione di bandgap, ma solo circa!

Per trovare il valore del coefficiente di temperatura della V_{BE} (i soliti meno due e qualcosa millivolt al grado Celsius), bisogna calcolare la derivata rispetto alla temperatura dell'espressione della V_{BE} (1) in cui si esplicitano i termini contenenti la temperatura, in particolare sostituendo al posto di I_{S0} la sua espressione (2)

\frac{\text{d}}{\text{d}T} \left(\frac{\text{k}_\text{B}T}{\text{q}}\ln\left(\frac{I_C}{B T^\alpha \text{e}^{-\frac{V_{G0}}{\text{k}_\text{B} T/\text{q}}}}\right)\right)=

Con un po' di calma e sangue freddo (e un solutore simbolico :D) si ottiene la derivata. Moltiplicando e dividendo poi dentro l'argomento del logaritmo per l'esponenziale della -V_{G0}/V_T si ha

\frac{\text{d}V_{BE}}{\text{d}T}=\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\,\ln \left(\frac{I_C}{B T^\alpha }\right)-\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\alpha=\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\,\ln \left(\frac{I_C  \,\,\text{e}^{-\frac{V_{G0}}{\text{k}_\text{B} T/\text{q}}}}{B T^\alpha  \text{e}^{-\frac{V_{G0}}{\text{k}_\text{B} T/\text{q}}}}\right)-\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\alpha

A denominatore dentro il logaritmo ci si ritrova con I_{S0} mentre a numeratore il prodotto I_C\,\, \text{e}^{...} lo si scompone in somma di logaritmi e il logaritmo cancella l'esponenziale, ottenendo

=\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}} \ln\frac{I_C}{I_{S0}}-\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\frac{V_{G0}}{V_T}-\frac{\text{k}_\text{B}}{\text{q}}\alpha

Il primo addendo, a meno di una T, e` la V_{BE}, nel secondo addendo la V_T a denominatore si semplifica con il coefficiente, lasciando solo una T, nel terzo addendo, come nel primo, si moltiplica per T numeratore e denominatore per far venire V_T (bassi trucchi da matematici. Secondo me dovrebbero vergognarsi), e si ottiene

********** RIsultato che interessa ****************

\frac{\text{d}V_{BE}}{\text{d}T}=\frac{V_{BE}}{T}-\frac{V_{G0}}{T}-\alpha \frac{V_T}{T}=\frac{1}{T}(V_{BE}-V_{G0}-\alpha V_T)

Buone notizie: l'espressione viene dimensionalmente corretta: una tensione diviso per una temperatura. Se si sostituiscono dei valori ragionevoli, si ha

\frac{\text{d}V_{BE}}{\text{d}T}=\frac{1}{290\text{K}}(0.65\text{V}-1.205\text{V}-2.5\times 25\text{mV})=-2.1\,\text{mV/K}

che e` proprio il valore solito. A questo punto bisogna rendere opposti i due coefficienti di temperatura e ricavare il valore di K che azzera la deriva termica. Il coefficiente di temperatura positivo e` in (0), quindi

\frac{\text{d}V_{BE}}{\text{d}T}+\frac{\text{d}KV_T}{\text{d}T}=0\quad \Rightarrow\quad \frac{1}{T}(V_{BE}-V_{G0}-\alpha V_T)+K\frac{V_T}{T}=0
da cui si trova il valore di K per avere deriva nulla con la temperatura

K=\frac{V_{G0}-V_{BE}}{V_T}+\alpha

Andando a sostituire questo valore nella primissima relazione si ha

V_{BG}=V_{BE}+KV_T=V_{BE}+\left(\frac{V_{G0}-V_{BE}}{V_T}+\alpha\right)V_T
V_{BG}=V_{BE}+V_{G0}-V_{BE}+\alpha V_T=V_{G0}+\alpha V_T

da cui si vede che la tensione di bandgap e`quasi pari alla tensione di bandgap del silicio a 0\,\text{K} piu` un piccolo contributo di qualche decina di millivolt! In effetti V_{G0}=1.205\,\text{V} mentre i rifeimenti di tensione sono un po' piu` alti, dalle parti di 1.25\,\text{V} circa.
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[16] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto Utenteedgar » 2 nov 2020, 9:44

claudiocedrone ha scritto:Ad ogni modo quello è il circuito di Brokaw


IsidoroKZ ha scritto:Hai svelato l'assassino!

Costui deve essere stato sicuramente un complice :mrgreen:
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[17] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto Utenteclaudiocedrone » 2 nov 2020, 15:32

Pease forse ma probabilmente anche Widlar dato che il "precedente" circuito di bandgap reference voltage è suo...
Insomma tutta la combriccola :mrgreen:
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[18] Re: Riferimento in tensione bandgap

Messaggioda Foto Utentecarloc » 3 nov 2020, 0:37

Mmm non è che abbia idee geniali a riguardo :roll: , di solito formule complicate = conti complicati ;-)

Comunque se "brutalmente" si scrivono le due correnti di collettore come gm x vbe e si trascurano le ib rispetto le ic.



i_1=g_\text{m}\left(v_\text{b}-R_3\,i_1-R_4\,i_1 -R_4\,i_2\right)
i_2=g_\text{m}\left(v_\text{b}-R_4\,i_1-R_4\,i_2\right)

e si fa la differenza si ottiene
i_1-i_2=-g_\text{m}R_3\,i_1
da cui
i_2=\left(1+g_\text{m}R_3\right)i_1

che sostituita nella prima
i_1=g_\text{m}\left(v_\text{b}-R_3\,i_1-R_4\,i_1 -R_4\,\left(1+g_\text{m}R_3\right)i_1\right)

che "pettinata" dà
\frac{i_1}{v_\text{b}}=\frac{g_\text{m}}{R_3R_4g_\text{m}^2+(R_3+2R_4)g_\text{m}+1}

e ovviamente essendo i2 (1+gm R3) volte i1...
\frac{i_2}{v_\text{b}}=\frac{g_\text{m}\left(1+g_\text{m}R_3\right)}{R_3R_4g_\text{m}^2+(R_3+2R_4)g_\text{m}+1}

altrimenti, una volta che si ha il rapporto i1/i2 si potrebbe millerare R4 in due parti :D ...
Se ti serve il valore di beta: hai sbagliato il progetto!
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