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Equazione di conservazione della quantità di moto

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[1] Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteNicolocarosio » 2 apr 2021, 21:14

Come si scrive l'equazione di conservazione della quantità di moto in direzione x?
E qual è il significato fisico di ogni termine che compone l'equazione?

Io conosco la scrittura dell'equazione generale, ma non riesco a capire come va scritta nella specifica direzione. Inoltre, cercando in rete è tutto molto confusionario su questo argomento

Grazie mille
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[2] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 2 apr 2021, 22:37

Ti riferisci agli urti anelastici, in cui si conserva la quantità di moto ?
Guarda qui:
https://www.youmath.it/lezioni/fisica/d ... stici.html

Cerca poi urti elastici, in cui si conserva l'energia cinetica.
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[3] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 2 apr 2021, 23:58

Diciamo che sei in un caso piano, quindi ti muovi solo con le coordinate x e y, le velocità saranno vettori di componenti x e y (che puoi ricavare con un minimo di trigonometria se il vettore è in forma di modulo e angolo). La componente x della quantità di moto vale semplicemente m*vx
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[4] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 3 apr 2021, 0:57

Scusami sono stato troppo spiccio nella prima risposta; rispondo in modo più accurato per essere più chiaro:
Diciamo che sei in un caso piano, quindi ti muovi solo con le coordinate x e y, le velocità saranno vettori di componenti x e y (che puoi ricavare con un minimo di trigonometria se il vettore è in forma di modulo e angolo).
Chiamiamo il vettore delle velocità \vec{v}=[v_x  , v_y], m la massa e \vec{p}=[p_x, p_y] la quantità di moto;
come sai \vec{p}=m\vec{v}, che scomposta nelle sue componenti x e y risulta:

p_x=mv_x

p_y=mv_y

La componente che tu stai cercando è proprio la p_x.

Se il tuo sistema è composto da k corpi rigidi, le relazioni che abbiamo scritto diventano semplicemente la somma di tutti i contributi di massa e velocità data da ciascun corpo, ovvero le singole quantità di moto:
\vec{p}=\sum_{k}\vec{p_k}=\sum_{k}m_k\vec{v_k}
che allo stesso modo di prima si può scrivere come 2 equazioni scalari (se siamo nel piano):
p_x=\sum_{k}p_{x_k}=\sum_{k}m_k v_{x_k}
p_y=\sum_{k}p_{y_k}=\sum_{k}m_k v_{y_k}

Supponiamo ora per semplicità che le masse siano solo 2, m_1 ed m_2, ciascuna con una certa velocità iniziale \vec{v_{1_i}} , \vec{v_{2_i}} e che queste si urtino tra loro; dopo l'urto le due masse viaggiano alle rispettive velocità finali \vec{v_{1_f}} , \vec{v_{2_f}} : dalla teoria degli urti sappiamo che la quantità di moto COMPLESSIVA (\vec{p}) si conserva sempre, ma la quantità di moto delle singole masse \vec{p_k} varia (è come se le 2 masse si "scambiassero" la velocità "proporzionalmente alla loro massa"):
\vec{p}=cost., quindi m_1 \vec{v_{1_i}} + m_2 \vec{v_{2_i}} = cost.

Supponiamo per il momento che le due masse rimangano invariate durante l'urto, avrai quindi che: m_1 \vec{v_{1_f}} + m_2 \vec{v_{2_f}}= cost. , e quindi:

m_1 \vec{v_{1_i}} + m_2 \vec{v_{2_i}} =  m_1 \vec{v_{1_f}} + m_2 \vec{v_{2_f}}

Da questa equazione puoi tirarci fuori le componenti lungo x e lungo y come abbiamo fatto prima, trovando di fatto la conservazione della quantità di moto per le 2 direzioni. Se vuoi farlo nello spazio invece che nel piano basta aggiungere la componente z ai vettori, ma le equazioni vettoriali sempre quelle rimangono. Se le masse durante l'urto cambiano / si rompono in più parti / ecc.. basta utilizzare una versione generalizzata di quanto abbiamo appena visto: diciamo che si hanno k masse iniziali e j masse finali, sempre per \vec{p}=cost. possiamo scrivere che:

\sum_{k}m_k  v_k=\sum_{j}m_j v_j

In ultimo.. per risolvere questo tipo di problemi ti servono però altre informazioni sull'urto, che ti vincolino la velocità in un modo diverso (altrimenti non riesci a risolvere il problema perché hai troppe incognite); qui entra in gioco l'energia cinetica, che diminuisce in un urto anelastico a seguito della dissipazione energetica dovuta alla deformazione dei corpi, mentre non varia in un urto perfettamente elastico in cui i corpi non si deformano, ma questi sono altri discorsi.

Spero di esserti stato utile, e soprattutto di essere stato chiaro. Ciao :)
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[5] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteNicolocarosio » 3 apr 2021, 13:08

Allora, ti ringrazio molto, ed è tutto davvero chiaro e molto utile. Quindi a prescindere da quello che sto per scrivere, cercherò di assimilare tutto per bene perché sono cose utili ed importanti.

In ogni caso (ripeto, a prescindere dalla grande utilità della tua spiegazione), non so se è esattamente quello che intendevo. Ma non sono un esperto di fisica, quindi non vorrei dire stupidaggini...
Ti mostro l'equazione di conservazione della quantità di moto (generale) che intendevo:

Ad esempio, per fluidi incomprimibili (∇ • V = 0) l'equazione generale è:
Immagine7.jpg
Immagine7.jpg (7.92 KiB) Osservato 1917 volte

rho=densità p=pressione V=vettore velocità f=forze di volume

E la precedente equazione scritta nelle tre direzioni x, y e z del vettore velocità V, dovrebbe essere indicativamente:
Immagine6.jpg
Immagine6.jpg (24.65 KiB) Osservato 1917 volte


ATTENZIONE!!!: Ovviamente non sono sicuro della correttezza delle equazioni scritte nelle varie direzioni, altrimenti non avrei chiesto aiuto sul forum. NON prendetele per buone!!! Non vorrei far sbagliare qualcuno!

Detto questo, stiamo parlando della stessa cosa quindi? Oppure sono cose differenti?
Ultima modifica di Foto Utentewall87 il 3 apr 2021, 14:04, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Eliminata citazione integrale del messaggio precedente e rimosse immagini a link esterni.
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[6] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 3 apr 2021, 14:24

Accidenti direi che sono decisamente cose differenti! Tu stavi parlando di fluidi nello spazio, io di sistemi di corpi rigidi nel piano. Diciamo che in realtà "alla fine" ci dicono la stessa cosa, ma tu stai parlando niente meno che delle equazioni di Navier Stokes! Non mi sento in grado di spiegarti quello di cui hai bisogno perché è un argomento che non ho mai approfondito particolarmente bene; lo studio volentieri, e se ci capisco qualcosa provo ad aiutarti ma qui lascio la parola a chi ne sa più di me.
Da quello che vedo scritto ti dico però occhio, perché nella prima formula hai le accelerazioni (derivate delle velocità nel tempo) (in pratica è la 2° legge di Newton), mentre in quella che hai scritto dopo hai derivate nello spazio; il passaggio è parecchio delicato, e così a occhio non è per niente una "semplice riscrittura", ma ci sono di mezzo diversi passaggi delicati da affrontare.
Ultima modifica di Foto UtenteFrenzi il 3 apr 2021, 14:34, modificato 1 volta in totale.
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[7] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto Utentelemure64 » 3 apr 2021, 14:32

Vale anche per me. L'intuito mi dice (e grazie: ho la dimostrazione sotto gli occhi sull'altro monitor) che è la stessa legge espressa in termini differenti ma fatico a leggere i vari termini in modo istintivo con l'"occhio". Proverò a rileggere la dimostrazione... :/
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[8] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 3 apr 2021, 16:10

Nicolocarosio ha scritto:Ad esempio, per fluidi incomprimibili (∇ • V = 0) l'equazione generale è:

Se a primo membro è una derivata, va indicata con d minuscolo.
Inoltre posso sbagliare ma nabla quadro è un operatore scalare e non si può sommare a termini vettoriali.
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[9] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 3 apr 2021, 20:29

EcoTan ha scritto:Se a primo membro è una derivata, va indicata con d minuscolo.

Secondo me sta solo ad indicare che è la derivata di un vettore
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[10] Re: Equazione di conservazione della quantità di moto

Messaggioda Foto UtenteNicolocarosio » 4 apr 2021, 6:25

Capisco tutto quanto avete detto.
Se qualcuno sapesse spiegarmi tutto sulle equazioni che ho mostrato nell'immagine, allo stesso modo di come è stato fatto per la conservazione del moto dei corpi rigidi nel piano, mi sarebbe di grande aiuto.
Ma, a questo punto, supponendo che le equazioni di Navier Stokes nelle tre direzioni che ho mostrato siano corrette (mi interessa in linea di massima, anche se non sono del tutto corrette), ogni membro che le compone, oltre che ad un senso matematico, dovrebbe avere un significato fisico. Qualcuno saprebbe indicarmelo?
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