Esponenti frazionari e radici: una domanda

[dimaios]

La risposta è piuttosto semplice in campo reale.
per definizione.
Infatti perché sia una funzione non può essere che abbia 2 diverse y per una medesima x per cui si "sacrifica" una delle 2 in virtù della biettività.
È una definizione per cui non si deve dimostrare nulla.
In campo complesso le cose sono più "bizzarre" ma si ottiene comunque una quadra soddisfacente.

[boiler]

si "sacrifica" una delle 2 in virtù della biettività.

non è però biiettiva. Se la si definisce come funzione , allora è suriettiva, intendevi questo?

Boiler

[jaelec]

La risposta è piuttosto semplice in campo reale.
per definizione.

Sì ma come avrai notato la mia domanda era un po' diversa. Devo dedurre che per te è assodato (stando magari anche qui a una definizione a cui tu fai riferimento) che ?

Sempre come già chiedevo, al di là quindi anche di ragionamenti più generali sulle funzioni, alla fine, in campo reale, per te, quanto vale ?

Vale 1, -1, altro valore reale, oppure non ha senso reale?

[GioArca67]

-1, perché numeratore e denominatore dell'esponente non devono avere fattori comuni.

[PietroBaima]

-1

no

[GioArca67]

-1

no

Sì.

[GioArca67]

Ma attendiamo la tua esposizione, altrimenti a monosillabi non se ne esce.

[PietroBaima]

Vediamo se riesco a spiegarmi meglio senza entrare in tecnicismi molto stretti.
Bisogna partire dalla composizione di funzioni e dalla estensione analitica di funzioni.
Facciamo un esempio.

Consideriamo la funzione

Ovviamente semplifichiamo e otteniamo

Consideriamo però i domini delle funzioni e .

Il primo dominio è mentre

g(x) e h(x) sono equivalenti in tutto e per tutto TRANNE che in x=1 e x=3

in x=1 e x=3 g(x) NON E' DEFINITA.

h(x) è quindi una estensione della funzione g(x). Scrivo "una" perché potrei immaginarne altre, per esempio potrei definire h(x)=g(x) escludendo x=1 e x=3 e porre h(1)=7 e h(3)=9.

Questa sarebbe comunque una estensione della funzione g(x), in quanto essendo g(x) non definita in quei punti non è errato attribuire a quella funzione qualunque valore reale.
Il fatto che scelga di porre h(1)=h(3)=1 viene fatto per continuità e per rendere la funzione di classe C infinito.

Se volessimo fare un discorso più rigoroso dovremmo definire e e scrivere che .

Uguale a prima, finché non consideriamo rigorosamente i domini delle funzioni.

Infatti nella definizione appena scritta di g(x) tutto fila liscio finché non si scrive il dominio della funzione composta, che deve essere:



Per effettuare quindi le cose correttamente dobbiamo considerare valori di x appartenenti al dominio della funzione INTERNA, dunque in modo che la prima valutazione di composizione abbia senso.

BASTA? Purtroppo no

Infatti quando applichiamo la funzione ESTERNA dobbiamo necessariamente richiedere che i valori appartengano al suo dominio, cioè .

Con un minimo di ragionamento capiamo quindi che se la funzione e la sua composta non sono entrambe biiettive NON possiamo comporre nulla.
Possiamo solo operare restrizioni sulle funzioni, restringendo il dominio per garantire la biiettività.

Veniamo quindi al nostro caso.
Qui le cose si complicano perché la funzione k e la funzione f sono inverse.
Se applichiamo la definizione alla lettera dobbiamo garantire quindi CONTEMPORANEAMENTE che x siano valori presenti nel dominio SIA della funzione interna che di quella esterna.

Questo non è possibile, perché il dominio di x^2 è tutto l'asse reale, mentre il dominio di radice di x è solo l'asse reale positivo.

A RIGORE LA COMPOSIZIONE DI FUNZIONE HA DOMINIO NULLO, per cui, in pratica non ha senso.

Abbiamo scritto un nonsense matematico? SI.

Volendo essere un po' meno inflessibili quello che possiamo fare è considerare una estensione analitica della funzione, restringendo il dominio ai soli reali positivi.

Qui tutto funziona perfettamente: ,

Volendo essere ancora meno inflessibili possiamo cercare di restringere ai reali negativi, prendendo il ramo negativo di x^2. Qui però sorge un problema. Nuovamente a rigore la cosa non ha senso, nemmeno in questo caso, perché la composta f con k(x)=1/x ha dominio nullo.
Possiamo quindi prendere l'estensione analitica della radice nel suo ramo negativo e così facendo otterremo sempre valori positivi.
Per cui alla fine ha ragione dimaios: scrivere è una convenzione, o meglio una delle possibili estensioni (quella analitica) della funzione composta.

Dove la funzione è biiettiva invece il dominio è sempre l'intero asse dei reali, per cui la scrittura non desta particolari preoccupazioni.

In campo complesso le cose si complicano un po'. In campo complesso le potenze sono sempre definite in tutto , ma la funzione radice non esiste.
Ne avevamo discusso DirtyDeeds e io in questo thread.

Questo discorso vale solo in campo reale e per esponenti interi.
Una sfida interessante, affrontata dal sig. Dedekind, per chi volesse approfondire, è data da , per esempio. Qui le cose diventano un po' più complicate, ma direi che possiamo lasciar perdere.

La domanda dell'OP non è comunque per nulla banale.

Chi vuole approfondire la composizione di funzioni può vedere per esempio qui.

Solita domanda: ho risposto all'OP?

EDIT: grazie a boiler che mi ha segnalato una svista.

[PietroBaima]

-1, perché numeratore e denominatore dell'esponente non devono avere fattori comuni.

Questa è la solita americanata matematica per semplificare le cose in modo che uno si affidi a regole empiriche senza capire come stanno davvero le cose.

Il fatto di non avere fattori comuni implica che abbiamo esteso la funzione.
Ogni tanto mi chiedo perché gli americani debbano per forza parlare di matematica...

[dimaios]

La risposta è piuttosto semplice in campo reale.
per definizione.

Sì ma come avrai notato la mia domanda era un po' diversa. Devo dedurre che per te è assodato (stando magari anche qui a una definizione a cui tu fai riferimento) che ?

Sempre come già chiedevo, al di là quindi anche di ragionamenti più generali sulle funzioni, alla fine, in campo reale, per te, quanto vale ?

Vale 1, -1, altro valore reale, oppure non ha senso reale?

La scrittura è definita solo per in generale per consentirne la validità con ogni frazione.
Poi si definiscono le estensioni con denominatore dispari oppure si estendono i casi con il vincolo della frazione minima ecc.
Di base però la definizione è la prima che rende le cose inequivocabili.
Questo risponde anche alla domanda in [12] posta da boiler.
Questo è quanto mi è stato spiegato durante i corsi che ho frequentato.
Se volete approfondire c'è una bella conversazione su mathexchange di cui vi fornisco il link https://math.stackexchange.com/questions/1628759/what-are-the-laws-of-rational-exponents