Quiz di elettrostatica

[IsidoroKZ]

Entrambe le soluzioni senza senso. Non rispettano neanche la conservazione della carica! Faglielo notare!

Prova anche con mathgpt

[IsidoroKZ]

Proviamo a invocare RenzoDF: in un messaggio precedente hai detto quattro incognite quindi quattro equazioni.

Due sono la conservazione della carica su ciascuna armatura.
Una e` il teorema di Gauss applicato alle due facce interne, con un cilindro in cui le due basi sono dentro le armature. Questo impone che sulle due facce interne le densita` di carica siano uguali.

E la quarta equazione? gill90 propone di usare un integrale di linea che parte da un'armatura e torna sull'altra passando per il punto all'infinito, e impone di non inventare il moto perpetuo (si deve considerare che le due armature sono a potenziale diverso?)

E tu RenzoDF quale avevi in mente?

[EcoTan]

Siamo tutti convinti che Q1=Q4 ma la spiegazione ancora non soddisfa.
poiché la capacità non viene definita, possiamo supporre che questa sia infinita cioè le due superfici affacciate finiscono per identificarsi, peraltro Q2+Q3=0 (Gauss) quindi il campo esterno da esse generato è nullo. Restano soltanto Q1 e Q4 quindi per simmetria Q1=Q4. Restando sempre in attesa di discorsi meno contorti se possibile.

[RenzoDF]

... E tu RenzoDF quale avevi in mente?

Dopo aver di primo acchito pensato a Gauss, ora ho in mente che le due equazioni che mancano si possono ottenere uguagliando a zero i campi elettrici nei due conduttori.

Applicare Gauss è ovviamente corretto, ma ci fa perdere un'informazione (un'equazione), conglobandone due.

Sostanzialmente è lo stesso discorso di un nostro vecchio, famoso, interessante e scoppiettante thread

2024-02-24_105246.png (2.32 KiB) Osservato 27797 volte

che contò ben 14 pagine.

Come vedi Isy faccio sempre tardi qui a S.B.

[GioArca67]

Stamattina sono andato a lezione in universita`, primo corso di elettromagnetismo, e il prof parlava

Qui gatta ci cova...

E domanda finale: come dimostrate in modo facile il risultato della distribuzione della carica? E gia` che ci siamo, qual e` la differenza di potenziale fra le due armature, detta C la capacita`?

Vista la richiesta ho pensato a questa strada, poco formale e più intuitiva, sfruttando la sovrapposizione degli effetti:
A) Prendiamo il primo conduttore piano carico a +2Q.
La carica si distribuisce tutta sulla superficie esterna (che chiamo 2A) ed in modo tale che la densità di carica (trascurando i bordi) sulla superficie risulti costante, mentre all'interno del conduttore il campo elettrico è nullo.
Supponiamo infatti che non sia costante, allora fra due punti della superficie si stabilirà un campo elettrico non nullo e le cariche, libere, quindi si muoveranno con il risultato di annullarlo.
Poiché la densità di carica è uniforme su tutta la superficie avrò +Q su una faccia e +Q sull'altra.
Detta σ₁ = 2Q/(2A)=Q/A la densità di carica superficiale, l'intensità del campo elettrico E sarà σ₁/ε₀ perpendicolare alla superficie, uscente.
<-- +Q |conduttore| +Q -->
(le frecce sono le linee di forza del campo elettrico)

All'interno di questo campo elettrico inseriamo un conduttore piano delle medesime dimensioni del primo e lo poniamo ad esso parallelo ed a distanza d. Per effetto del campo elettrico generato dal primo conduttore, carico, le cariche libere nel secondo conduttore si sposteranno addensandosi sulla superficie: -Q sulla faccia affiancata e +Q sull'altra. Poiché non ho introdotto ulteriori cariche nette il campo elettrico nello spazio circostante è pari a quello che avevo prima di inserire il secondo conduttore.
Quindi la distribuzione di cariche è
<-- +Q |conduttore| +Q --> |vuoto| --> -Q |conduttore| +Q -->

B) Facciamo ora il medesimo ragionamento con un conduttore carico -Q che posizioneremo dov'era il secondo conduttore nel caso precedente, inseriamo un altro conduttore (a carica netta nulla) dov'era il primo dell'altro caso e troveremo la seguente situazione:
--> -Q/2 |conduttore| +Q/2 --> |vuoto| --> -Q/2 |conduttore| -Q/2 <--

Poiché il sistema è lineare possiamo sommare i due risultati ottenendo:

<-- +Q/2 |conduttore| +(3/2)Q --> |vuoto| --> -(3/2)Q |conduttore| +Q/2 -->

Giustamente RenzoDF individua che le equazioni necessarie alla risoluzione del problema derivano dall'annullamento del campo elettrico nel conduttore.
Mentre la simmetria non la si può utilizzare immediatamente nel problema intero (poiché abbiamo +2Q su una piastra e -Q sull'altra, tutt'altro che simmetrico), la si può utilizzare in ciascuno dei due sottocasi sopra individuati: la distribuzione della carica +2Q su tutta la superficie (2A) del conduttore piano a facce parallele non può che essere σ₁ = 2Q/(2A) = Q/A ovunque per simmetria centrale e perché se così non fosse avremmo un campo elettrico non uniforme e quindi un'accelerazione delle cariche libere sotto la forza di tale campo elettrico e pertanto avremmo il loro spostamento fino ad una posizione di equilibrio (oppure dobbiamo ammettere l'esistenza del moto perpetuo). Stesso dicasi per il caso B) con le opportune proporzioni.

Rimarrebbe in effetti da dimostrare perché se metto affiancate una lastra piana conduttrice carica +Q,+Q ad una identica a carica netta nulla su questa seconda mi ritrovo sulle facce una carica -Q , +Q e non ad es. -Q/2, Q/2 o -2Q, 2Q...
Intuitivamente non trovo nulla, quindi occorre sfruttare o l'integrale di Gauss come proposto da gill90 o l'annullamento del campo elettrico nel conduttore, come proposto da RenzoDF.

Adesso la risposta alla seconda domanda: la differenza di potenziale.

Facciamo di nuovo uso della sovrapposizione degli effetti.
La situazione 2Q , -Q possiamo pensarla come la composizione della loro semidifferenza e semisomma
A) 3Q/2 , -3Q/2
B) Q/2, Q/2

Per il caso A) abbiamo un generico condensatore con carica 3Q/2 e pertanto
V = q/C = 3 Q / (2 C).
Per il caso B) le piastre hanno la medesima carica e non ho differenza di potenziale (il campo elettrico oltre ad essere nullo in ciascun conduttore lo è anche nello spazio fra i due conduttori, in quanto di pari intensità ma verso opposto).
Se prendessi come riferimento un punto all'infinito per portare ulteriori cariche dovrei invece compiere un lavoro maggiore a causa della carica Q/2 già presente su entrambe le armature, rispetto al caso in cui avessi solo 3Q/2, -3Q/2.

Per altro questa scomposizione aiuta anche per determinare la densità di carica del problema originario:
Nel caso A) poiché i due conduttori sono carichi di segno opposto le cariche libere si attraggono e quindi avremo
0 |conduttore| +(3/2)Q --> |vuoto| --> -(3/2)Q |conduttore| 0

Mentre nel caso B) si respingono ed avremo
<-- +Q/2 |conduttore| 0 |vuoto| 0 |conduttore| +Q/2 -->

Sommando le due situazione si riottiene quanto indicato nella prima parte:
<-- +Q/2 |conduttore| +(3/2)Q --> |vuoto| --> -(3/2)Q |conduttore| +Q/2 -->

Chi può gentilmente correggere quel che ho scritto?

E' possibile il link alla discussione di 14 pagine citata da RenzoDF, forse è l'occasione per imparare qualcosa di utile?

[RenzoDF]

Visto che l'immagine era solo un suggerimento, non adatta per il caso in questione, tanto per chiarire, considerando le densità di carica sulle quattro superfici, e quindi le cariche ad esse proporzionali, per avere campo elettrico nullo nel primo conduttore,



mentre nel secondo



ecco le due semplicissime equazioni.

Per il link al vecchio thread
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=22145#p166340

[GioArca67]

Ma stai assumendo tutto positivo (es. tutte le linee di forza uscenti dalle superfici), poi ne verrà qualcuna negativa e sappiamo come stanno realmente le cose?

[RenzoDF]

Ma stai assumendo tutto positivo...

Scusa ma le cariche non sono forse le incognite del problema?

Il segno lo sapremo solo quando non saranno più incognite, no?

[claudiocedrone]

Intervengo, nulla sapendo di elettrostatica, solo per notare che il thread citato di14 pagine ha solo 3 o 4 pagine utili, tutte le altre erano i vaneggiamenti di mikreg e relative repliche