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Le potenze i-esime di i

Dunque, con questo articolo voglio condividere con voi una interessante relazione sulle potenze immaginarie dell'unità immaginaria.
Tutto inizia quando un mio amico viene a trovarmi all'università, dopo averlo ospitato nella mia stanza in pessime condizioni come sempre, ci siamo stesi e abbiamo iniziato a pensare perché i numeri complessi fossero tanto strani:
"Secondo te, ha senso dire 'i alla i'?", o magari "logaritmo in base 'i' di x, esiste"? "Sai che c'è, proviamo!".
Carta e penna, abbiamo iniziato a fare gli esperimenti più stupidi, ma alla fine ci siamo resi conto che qualcosa di interessante c'è sul serio.
Il ragionamento parte dalla relazione del grande Eulero:

eiθ = cosθ + isinθ

Allora se scriviamo la base di ii secondo la relazione sopra otteniamo una cosa a dir poco straordinaria:


\left( e^{i\frac{\pi }{2}} \right)^{i}=e^{ii\frac{\pi }{2}}=e^{-\frac{\pi }{2}}

Un numero reale!

La cosa ci ha talmente stupiti che siamo andati oltre e ci siamo messi a calcolare per un certo numero di volte le potenze iterative dell'unità immaginaria: è saltata fuori una relazione davvero bella.

Posto alcuni esempi dei calcoli svolti:

i = i
i^{i}=\left( e^{i\frac{\pi }{2}} \right)^{i}=e^{ii\frac{\pi }{2}}=e^{-\frac{\pi }{2}}


i^{i^{i}}=\left( e^{-\frac{\pi }{2}} \right)^{i}=e^{-i\frac{\pi }{2}}=-i=i^{3}


i^{i^{i^{i}}}=\left( \left( e^{-\frac{\pi }{2}} \right)^{i} \right)^{i}=e^{-i^{2}\frac{\pi }{2}}=e^{\frac{\pi }{2}}


i^{i^{i^{i^{i}}}}=e^{i\frac{\pi }{2}}=i=i^{5}



...e così via...
Come si può notare se eleviamo i alla i un numero pari di volte il risultato sarà i^{i^{...^{i}}}=e^{\pm \frac{\pi }{2}}.
Se invece la potenza viene iterata un numero dispari di volte, il risultato sarà i elevato al medesimo numero dispari.

Detto meglio...

\underbrace{i^{i^{...^{i}}}}_{2k \mathrm{volte}}=e^{(-1)^k\frac{\pi}{2}}\Rightarrow \in \mathbb{R}

\underbrace{i^{i^{...^{i}}}}_{(2k+1) \mathrm{volte}}=i^{2k+1}\Rightarrow \in \mathbb{C}

Sono solo 4 punti nel piano di Gauss che si ripetono in continuazione:

Interessante? Cosa ne pensate?



Alessandro Farina,
Biagio Ianero.

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Commenti e note

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di ,

Addirittura Carlo, grazie mille :)

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di ,

Ianero, un plauso per la bravura e un doppio plauso per la curiosità; complimenti!

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Non so dirti perché non ho mai letto libri di analisi complessa, cosa che faró a breve perché mi piace troppo :) Quindi anche questa relazione non è nessuna novità? Chiedo perché prima di postarla ho cercato su google senza trovarne di simili, altrimenti non avrei proprio scritto l'articolo..

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di ,

Torno all'emozione e allo stupore della mia personale scoperta dei numeri complessi ai tempi del liceo. Non mi accontentavo del fatto che si potessero sommare e moltiplicare: bisognava trovare il modo di eseguire con essi tutte le operazioni... Dopo un po' di tentativi personali trovai che tutto era già stato scoperto leggendo un libro per l'università.

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di ,

Grazie :)

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di ,

Molto interessante. Bravi!

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di ,

Ti faccio sapere a breve cosa trovo :)

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di ,

Cerca, cerca Logo
(PS: Bravi!)

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di ,

Mai sentiti Pietro.. Pepito grazie :)

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di ,

Ianero, conosci la tetrazione e i superlogaritmi? Logo

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di ,

Non sono un matematico, comunque complimenti per lo meno per la voglia di mettersi a pensare a questa cosa...

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