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Una personale inutile ricerca sui numeri primi

Indice

Premessa

Tanto per cambiare, quando ho un po' di tempo libero gioco con i miei amici, stavolta me li sono scelti naturali e ho voluto fare amicizia con certi naturali che si chiamano "primi" e che non vogliono farsi conoscere, sono timidi ed introversi. Qualcosa alla fin fine me l'hanno detta, ma non tutto.
Ho pensato che magari queste cose che mi hanno riferito possano interessare anche voi, o magari possano essere completamente inutili.
In ogni caso...

Introduzione

I numeri primi rappresentano un sottoinsieme particolarissimo dell'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}. La loro apparente non regolarità ossessiona i matematici da centinaia di anni. Una successione sembra avvicinarsi molto a quella perfetta (dei primi) ed è proprio quella su cui ho perso un po' di tempo.

Un Approccio Intuitivo: più quattro più due

Partiamo dal numero 1 e sommiamo indefinitamente e in modo alternato 4 e 2, ottenendo:


1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 145, 149, 151, 155, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 175, 179, 181, 185, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 205, 209, 211, 215, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 235, 239, 241, 245, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 265, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 295, 299, 301, 305, 307, 311, 313, 317, 319, 323, 325, 329, 331, 335, 337, 341, 343, 347, 349, 353, 355, 359, 361, 365, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 385, 389, 391, 395, 397, 401, 403, 407, 409, 413, 415, 419, 421, 425, 427, 431, 433, 437, 439, 443, 445, 449, 451, 455, 457, 461, 463, 467, 469, 473, 475, 479, 481, 485, 487, 491, 493, 497, 499, 503, 505, 509, 511, 515, 517, 521, 523, 527, 529, 533, 535, 539, 541, 545, 547, 551, 553, 557, 559, 563, 565, 569, 571, 575, 577, 581, 583, 587, 589, 593, 595, 599, 601, 605, 607, 611, 613, 617, 619, 623, 625, 629, 631, 635, 637, 641, 643, 647, 649, 653, 655, 659, 661, 665, 667, 671, 673, 677, 679, 683, 685, 689, 691, 695, 697, 701, 703, 707, 709, 713, 715, 719, 721, 725, 727, 731, 733, 737, 739, 743, 745, 749, 751, 755, 757, 761, 763, 767, 769, 773, 775, 779, 781, 785, 787, 791, 793, 797, 799, 803, 805, 809, 811, 815, 817, 821, 823, 827, 829, 833, 835, 839, 841, 845, 847, 851, 853, 857, 859, 863, 865, 869, 871, 875, 877, 881, 883, 887, 889, 893, 895, 899, 901, 905, 907, 911, 913, 917, 919, 923, 925, 929, 931, 935, 937, 941, 943, 947, 949, 953, 955, 959, 961, 965, 967, 971, 973, 977, 979, 983, 985, 989, 991, 995, 997, 1001, 1003, 1007, 1009, 1013, 1015, 1019, 1021, 1025, 1027, 1031, 1033, 1037, 1039, 1043, 1045, 1049, 1051, 1055, 1057, 1061, 1063, 1067, 1069, 1073, 1075, 1079, 1081, 1085, 1087, 1091, 1093, 1097, 1099, 1103, 1105, 1109, 1111, 1115, 1117, 1121, 1123, 1127, 1129, 1133, 1135, 1139, 1141, 1145, 1147, 1151, 1153, 1157, 1159, 1163, 1165, 1169, 1171, 1175, 1177, 1181, 1183, 1187, 1189, 1193, 1195, 1199, 1201, 1205, 1207, 1211, 1213, 1217, 1219, 1223, 1225, 1229, 1231, 1235, 1237, 1241, 1243, 1247, ...


Come si può notare in tale successione compaiono tutti i numeri primi (esclusi il 2 e il 3), accompagnati però da un insieme relativamente piccolo di numeri non primi. Questi ultimi sono apparentemente non legati tra loro:


25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, 133, 143, 145, 155, 161, 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 217, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287, 289, 295, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 341, 343, 355, 361, 365, 371, 377, 385, 391, 395, 403, 407, 413, 415, 425, 427, 437, 445, 451, 455, 469, 473, 475, 481, 485, 493, 497, 505, 511, 515, 517, 527, 529, 533, 535, 539, 545, 551, 553, 559, 565, 575, 581, 583, 589, 595, 605, 611, 623, 625, 629, 635, 637, 649, 655, 665, 667, 671, 679, 685, 689, 695, 697, 703, 707, 713, 715, 721, 725, 731, 737, 745, 749, 755, 763, 767, 775, 779, 781, 785, 791, 793, 799, 803, 805, 815, 817, 833, 835, 841, 845, 847, 851, 865, 869, 871, 875, 889, 893, 895, 899, 901, 905, 913, 917, 923, 925, 931, 935, 943, 949, 955, 959, 961, 965, 973, 979, 985, 989, 995, 1001, 1003, 1007, 1015, 1025, 1027, 1037, 1043, 1045, 1055, 1057, 1067, 1073, 1075, 1079, 1081, 1085, 1099, 1105, 1111, 1115, 1121, 1127, 1133, 1135, 1139, 1141, 1145, 1147, 1157, 1159, 1165, 1169, 1175, 1177, 1183, 1189, 1195, 1199, 1205, 1207, 1211, 1219, 1225, 1235, 1241, 1243, 1247, ...



Osservando più attentamente possiamo vedere che tali numeri sono in realtà connessi (almeno in primo approccio) attraverso una sequenza abbastanza complessa.
Consideriamo una successione che chiameremo

Z = 10,14,22,26,34,zn − 1 + 4,zn − 1 + 4 + 8,...

Consideriamo inoltre il primo multiplo di 5 della successione generatrice (25) ed iniziamo a sommare ad esso, in modo alternato, il primo elemento della successione Z, ed il suo doppio.
La successione risultante è la seguente:


25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235, 245, 265, 275, 295, 305, 325, 335, 355, 365, 385, 395, 415, 425, 445, 455, 475, 485, 505, 515, 535, 545, 565, 575, 595, 605, 625, 635, 655, 665, 685, 695, 715, 725, 745, 755, 775, 785, 805, 815, 835, 845, 865, 875, 895, 905, 925, 935, 955, 965, 985, 995, 1015, 1025, 1045, 1055, 1075, 1085, 1105, 1115, 1135, ...

Che consente una prima cernita.
Proseguendo con la stessa logica, consideriamo il secondo multiplo di 5 della successione generatrice (35) ed iniziamo a sommare ad esso, in modo alternato, il secondo elemento delle successione Z ed il suo doppio:

49, 77, 91, 119, 133, 161, 175, 203, 217, 245, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 385, 413, 427, 455, 469, 497, 511, 539, 553, 581, 595, 623, 637, 665, 679, 707, 721, 749, 763, 791, 805, 833, 847, 875, 889, 917, 931, 959, 973, 1001, 1015, 1043, 1057, 1085, 1099, 1127, 1141, 1169, 1183, 1211, 1225, 1253, 1267, 1295, 1309, 1337, 1351, 1379, 1393, 1421, 1435, 1463, 1477, 1505, 1519, 1547, 1561, 1589, 1603, 1631, 1645, 1673, 1687, 1715, 1729, 1757, 1771, 1799, 1813, 1841, 1855, 1883, 1897, 1925, 1939, ...

Notevole che tali successioni (infinite) non incontrino mai un primo, ed in più eliminino tutti i non primi presenti nella successione generatrice di partenza. Si può notare che la successione generatrice è ottenibile anche partendo dalla tabellina del 3, ed effettuando sottrazioni periodiche:

3-2=1
6-1=5
9-2=7
12-1=11
...
3n+\frac{1}{2}(-1)^n-\frac{3}{2}

Si potrebbe pertanto già iniziare a scrivere che:

Z=\left \{10, 14, 22, 26, 34, z_{n-1}+4, z_{n-1}+4+8,...  \right \}
A=\left \{a_n\in \mathbb{N}|a_n=\frac{6n+(-1)^n-3}{2}, n \in \mathbb{N}  \right \}

B=\{b_n\in \mathbb{N}| b_n=y_1, y_1+10, y_1+10+20, ..., n\in \mathbb{N}, ,y_1=\mathrm{primo \ multiplo \ di \ 5}\}


...
L=\{l_n\in \mathbb{N}| l_n=y_n, y_n+z_n, y_1+z_n+2z_n, ..., n\in \mathbb{N}, ,y_n=\mathrm{n.esimo \ mult. \ di \ 5}, z_n=\mathrm{n.esimo \ elem. \ di \ Z}\}
A successione generatrice;
B, ..., L successioni eliminatorie.

\mathbb{P}=\left \{ p \in \mathbb{N} | p \ \mathrm{primo}, p\neq 2,3 \right \} = \left \{ A-B-...-L \right \}

Un Approccio più Rigoroso

Osservando con più attenzione le successioni eliminatorie:

25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235, 245, 265, 275, 295, 305, 325, 335, 355, 365, 385, 395, 415, 425, 445, 455, 475, 485, 505, 515, 535, 545, 565, 575, 595, 605, 625, 635, 655, 665, 685, 695, 715, 725, 745, 755, 775, 785, 805, 815, 835, 845, 865, 875, 895, 905, 925, 935, 955, 965, 985, 995, 1015, 1025, 1045, 1055, 1075, 1085, 1105, 1115, 1135, ...
-
49, 77, 91, 119, 133, 161, 175, 203, 217, 245, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 385, 413, 427, 455, 469, 497, 511, 539, 553, 581, 595, 623, 637, 665, 679, 707, 721, 749, 763, 791, 805, 833, 847, 875, 889, 917, 931, 959, 973, 1001, 1015, 1043, 1057, 1085, 1099, 1127, 1141, 1169, 1183, 1211, 1225, 1253, 1267, 1295, 1309, 1337, 1351, 1379, 1393, 1421, 1435, 1463, 1477, 1505, 1519, 1547, 1561, 1589, 1603, 1631, 1645, 1673, 1687, 1715, 1729, 1757, 1771, 1799, 1813, 1841, 1855, 1883, 1897, 1925, 1939, ...
-
121, 143, 187, 209, 253, 275, 319, 341, 385, 407, 451, 473, 517, 539, 583, 605, 649, 671, 715, 737, 781, 803, 847, 869, 913, 935, 979, 1001, 1045, 1067, 1111, 1133, 1177, 1199, 1243, 1265, 1309, 1331, 1375, 1397, 1441, 1463, 1507, 1529, 1573, 1595, 1639, 1661, 1705, 1727, 1771, 1793, 1837, 1859, 1903, 1925, 1969, 1991, 2035, 2057, 2101, 2123, 2167, ...
-
169, 221, 247, 299, 325, 377, 403, 455, 481, 533, 559, 611, 637, 689, 715, 767, 793, 845, 871, 923, 949, 1001, 1027, 1079, 1105, 1157, 1183, 1235, 1261, 1313, 1339, 1391, 1417, 1469, 1495, 1547, 1573, 1625, 1651, 1703, 1729, 1781, 1807, 1859, 1885, 1937, 1963, 2015, 2041, 2093, 2119, 2171, 2197, 2249, 2275, 2327, 2353, 2405, 2431, 2483, 2509, 2561, ...

possiamo notare come esse siano legate da una relazione più elegante.
In particolare l'm-esima successione eliminatoria necessaria è pari al prodotto tra l'(m+1)-esimo elemento della successione generatrice e tutti gli elementi di una nuova successione ottenuta da quella generatrice sostituendo ad n, il valore n + m.

Il tutto quindi si riduce alla scrittura più formale:

a_n=\frac{6n+(-1)^n-3}{2}
b_n^m=\left [ \frac{6(m+1)+(-1)^{m+1}-3}{2} \right ]\left [ \frac{6(m+n)+(-1)^{m+n}-3}{2} \right ]

an rappresenta la successione generatrice. b_n^m rappresenta l'm-esima successione eliminatoria.
Facendo qualche calcolo le successioni eliminatorie possono anche essere scritte nella "expanded form":

b_{n}^{m}=9m^{2}+\frac{3}{2}m\left( -1 \right)^{m+n}+9mn+\frac{3}{4}\left( -1 \right)^{m+n}+\frac{1}{4}\left( -1 \right)^{2m+n+1}++\frac{3}{2}\left( -1 \right)^{m+1}n+\frac{3}{2}\left( -1 \right)^{m+1}m-\frac{3}{4}\left( -1 \right)^{m+1}+\frac{9}{2}n-\frac{9}{4}



E' sufficiente iterare n dopo aver fissato ogni m naturale.

A=\left \{a_n\in \mathbb{N}|a_n=\frac{6n+(-1)^n-3}{2}, n \in \mathbb{N}  \right \}

B=\{ b_n^m\in \mathbb{N} \ | \ b_n^m=\left [ \frac{6(m+1)+(-1)^{m+1}-3}{2} \right ] \cdot\cdot \left [ \frac{6(m+n)+(-1)^{m+n}-3}{2} \right ], m\in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}\}

\mathbb{P}=\left \{ p\in \mathbb{N} \ | \ p \ \mathrm{primo} \right \}= \left \{ A-B \right \}\cup \left \{ 2,3 \right \}

Ulteriore dimostrazione pratica

E' possibile ora mettere alla prova le successioni ricavate per verificarne le effettive potenzialità.
Di seguito qualche termine (non primi tra parentesi) generato dalla successione madre a_n=\frac{6n+(-1)^n-3}{2}:

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, (25), 29, 31, (35), 37, 41, 43, 47, (49), 53, (55), 59, 61, (65), 67, 71, 73, (77), 79, 83, (85), 89, (91), (95), 97, 101, 103, 107, 109, 113, (115), (119), (121), (125), 127, 131, (133), 137, 139, (143), (145), 149, 151, (155), 157, (161), 163, 167, (169), 173, (175), 179, 181, (185), (187), 191, 193, 197, 199, (203), (205), (209), 211, (215), (217), (221), 223, 227, 229, 233, (235), 239, 241, (245), (247), 251, (253), 257, (259), 263, (265), 269, 271, (275), 277, 281, 283, (287), (289), 293, (295), (299), (301), (305), 307, 311, 313, 317, (319), (323), (325), (329), 331, (335), 337, (341), (343), 347, 349, 353, (355), 359, (361), (365), 367, (371), 373, (377), 379, 383, (385), 389, (391), (395), 397, 401, ...

Consideriamo le successioni eliminatorie con 1\leq  m\leq 6 e scriviamo i valori di tali successioni iterando n fino a che b_n^m \leq 401:

b_n^1:
(25), (35), (55), (65), (85), (95), (115), (125), (145), (155), (175), (185), (205), (215), (235), (245), (265), (275), (295), (305), (325), (335), (355), (365), (385), (395), ...
b_n^2:
(49), (77), (91), (119), (133), (161), (175), (203), (217), (245), (259), (287), (301), (329), (343), (371), (385), ...

b_n^3:
(121), (143), (187), (209), (253), (275), (319), (341), (385), ...

b_n^4:
(169), (221), (247), (299), (325), (377), ...

b_n^5
:
(289), (323), (391), ...

b_n^6:
(361), ...

Come si può notare, i soli numeri intatti finali sono (esclusi 2 e 3) tutti i primi esistenti tra 1 e 401 (la limitazione a 401 è puramente arbitraria, si può proseguire indefinitamente).

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Commenti e note

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di ,

Ti ringrazio :)

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di ,

Molto interessante! :) Una bella lettura....

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di ,

Le formule le ho spezzate in più righe, ora dovrebbero essere maggiormente leggibili.

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di ,

Grazie lillo, DirtyDeeds mi ha spiegato stamattina come fare per le formule. Appena ho il pc lo faccio, ora sono con il telefono.

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di ,

quando le formule escono dal margine, ti conviene scriverle su più righi. complimenti per l'esposto, trasuda di passione. tempo fa volevo cominciarne uno sulla sezione aurea, ma spulciando nel sito ci aveva già pensato RenzoDF, poi pensai a uno sproloquio sul pi greco... ma poi è rimasto tutto nella mia mente.

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di ,

Ti ringrazio Martina :)

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di ,

Non ti posso aiutare con le formule, ma ammiro il tuo studio, interessante! ;)

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di ,

Non riesco a ridimensionare un paio di formule Latex. Prego, per favore, chiunque sia capace di spiegarmi come procedere.

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