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Resistenza di un trapezio: due approssimazioni per un problema tosto

Indice

Introduzione

Qualche tempo fa era venuto fuori in una discussione il problema di quale fosse la resistenza fra le due basi di un trapezio di un materiale conduttore omogeneo di spessore costante.

Questo problema e` di quelli difficili da risolvere: forse ci sono soluzioni chiuse per geometrie e condizioni al contorno di questo genere, ma anche una visita alle trasformazioni conformi di Schwartz-Christoffel non mi ha dato idee in proposito per una soluzione non troppo lunga. Si possono trovare soluzioni con gli elementi finiti (FEM), oppure approssimazioni sul flusso della corrente, approssimazioni che possono essere risolte in forma analitica.

In questa nota vengono confrontate le soluzioni FEM con due approssimazioni basate sull'assunzione del percorso della corrente. La seconda delle approssimazioni presentate era stata sviluppata per un problema termico di un fornetto per trattamento termico di metalli: le equazioni statiche di trasmissione del calore e di conduzione elettrica sono le stesse, con lo stesso tipo di approssimazioni.

Il problema

Il problema della resistenza del trapezio e` enunciabile in questo modo: dato un trapezio di materiale conduttore uniforme ed isotropo, di spessore costante,e mettendo due contatti ideali su base maggiore e base minore, qual e` la resistenza fra le due basi?

Il disegno di riferimento e` in questa figura:

A e B sono le lunghezze delle basi, H e` l'altezza e C rappresenta di quanto la base superiore e` spostata rispetto a quella inferiore, poiche' si vogliono analizzare anche dei trapezi non isosceli. La linea spessa sulle basi rappresenta il contatto ideale su tutta la lunghezza, e non verra` piu` riportato nei successivi disegni.
Dato che il conduttore che forma il trapezio ha comunque uno spessore, si dovrebbe parlare di prisma a sezione trapezioidale, ma se lo spessore e` piccolo rispetto alle altre dimensioni e costante, si parla normalmente in "due dimensioni" e si fornisce la resistenza per quadro, in inglese sheet resistance, cioe` la resistenza che si ha fra i due lati opposti in un quadrato di quel materiale, come rappresentato in figura


e la si indica con \,R_{\square}, misurata in ohm (il simbolo ha proprio un quadratino a pedice, non e` un problema di visualizzazione). La resistenza per quadro e` un parametro normalmente usato nel progetto dei circuiti integrati, parametro che viene utile anche in questo caso.
La resistenza di un quadrato di materiale percorso "di traverso" come mostrato dal verso della corrente in figura non dipende dalla dimensione del quadrato.
Infatti, indicando con \,t lo spessore del materiale e con \,\rho la sua resistivita`, la resistenza di un quadrato di lato \,l vale R=\rho\frac{l}{lt}=\frac{\rho}{t} e non dipende dalle dimensioni del lato.
Il rapporto fra resistivita` e spessore e` la resistenza per quadro: R_\square=\frac{\rho}{t}
Nel seguito sara` stimata la resistenza del trapezio per mezzo di due diverse approssimazioni. La prima, piu` facile da ricavare, fornisce risultati piu` imprecisi. La seconda invece richiede molti piu` calcoli per giungere alla formula finale.

Approssimazione "trasversale", per righe

Una prima idea per valutare la resistenza del trapezio da base a base e` di considerarlo suddiviso in strisce orizzontali di spessore \,\Delta H in cui la corrente e` uniformemente distribuita. Due di queste strisce sono mostrate in figura.

All'interno di ciascuna striscia sono rappresentati dei vettori che rappresentano la densita` di corrente. Maggiore e` la larghezza della striscia, minore e` la densita` di corrente.
La larghezza \,L della striscia varia linearmente quando la coordinata \,h varia fra \,0 e \,H secondo questa relazione:
\,L(h)=A+(B-A)\frac{h}{H} da cui si vede che per \,h=0 si ottiene \,L(0)=A mentre per \,h=H si ha \,L(H)=B
La resistenza di ciascuna striscia orizzontale vale
\,R_{sto}=\rho\frac{\Delta H}{L(h)\cdot t}=\frac{\rho}{t}\frac{\Delta H}{A+(B-A)\frac{h}{H}}
Per trovare la resistenza complessiva fra le basi basta sommare la resistenza delle varie strisce, che secondo questo modello sono in serie.
Al posto di considerare delle strisce di spessore finito, si passa a limite, ogni striscia risultando spessa \,\text{d}h e la somma della resistenza di tutte le strisce e` ottenuta con un integrale lungo tutta l'altezza del trapezio. Si ha cosi` che la resistenza totale vale
\begin{align}
R_o&=\frac{\rho}{t}\int_0^H \frac{\text{d}h}{A+(B-A)\frac{h}{H}}=\frac{\rho}{t}H\frac{\ln\left (\frac{A}{B} \right )}{A-B}=\\ &=R_\square H \frac{\ln\left (\frac{A}{B} \right )}{A-B} 
\qquad \qquad \qquad \qquad (1)
\end{align}
In questa espressione, a causa delle ipotesi fatte, non compare il parametro \,C: questo significa che questi due trapezi

che hanno gli stessi valori di A,\,B,\,H e differiscono solo per il parametro \, C secondo questa approssimazione hanno la stessa resistenza.
L'approssimazione per strisce orizzontali non e` molto buona perche' suppone che la corrente sia sempre uniformemente distribuita per ogni sezione \,\text{d}h e scorra sempre in verticale. Questo non puo` essere vero perche' la corrente lungo i lati obliqui scorre parallela ad essi. Inoltre il percorso centrale mostrato in figura

e` piu` corto di quello laterale: la densita` di corrente sara` maggiore al centro rispetto ai lati. Con questa approssimazione si sottostima l'effettiva resistenza del del conduttore.

Approssimazione "longitudinale" per colonne

Una migliore approssimazione consiste nel considerare la base maggiore suddivisa in tanti elementi di larghezza \,\Delta A da ciascuno dei quali parte una striscia che raggiunge la base minore, come mostrato in questa figura.

L'approssimazione in questo caso e` di considerare che la corrente scorra dentro ciascuna di queste strisce, procedendo da una base all'altra.
Ogni punto di coordinata \,x della base maggiore viene mappato nel punto \,x^\prime della base minore secondo questa relazione lineare:
\,x'=C+B\frac{x}{A}
Le strisce hanno una lunghezza \,L(x) che dipende dal punto \,x da cui partono e viene calcolata con il teorema di Pitagora:
L(x)=\sqrt{(x-x')^2+H^2}=\sqrt{\left ( x\left (1-\frac{B}{A}\right )-C\right )^2+H^2}
\qquad (2)
La larghezza della striscia e` \,\Delta A sulla base maggiore e diventa \,\Delta A'=\Delta A\frac{B}{A} sull'altra base. La larghezza misurata nella direzione parallela alle basi, in un punto generico lungo la coordinata presa sulla linea mediana \,0\le l\le L vale

\begin{align}
\Delta A(l)&=\Delta A + (\Delta A'-\Delta A)\frac{l}{L}=\\&=\Delta A + \left (\Delta A \frac{B}{A}-\Delta A \right )\frac{l}{L}=\\&=\Delta A \left (1+\left (\frac{B}{A}-1 \right )\frac{l}{L} \right ) 
\qquad \qquad (3)
\end{align}
La linea mediana della striscia non e` verticale ma ha una inclinazione, che dipende dal punto x da cui parte la striscia. Misurando l'angolo della mediana della striscia rispetto alla direzione dell'asse verticale si ha:
\,\alpha(x)=\arctan\left ( \frac{x'-x}{H}\right )=\arctan\left ( \frac{ x\left (\frac{B}{A}-1\right )+C}{H}\right )
\qquad \qquad (4)
Nell'ipotesi che la corrente scorra dentro la striscia, la larghezza effettiva disponibile per la conduzione e` data dalla larghezza in direzione perpendicolare alla direzione della striscia, ed e` pari alla larghezza misurata lungo la direzione orizzontale \,\Delta A(l) moltiplicata per \,\cos(\alpha(x)), come si vede in questa figura in cui si e` evidenziato il fenomeno con una scelta opportuna della geometria:

La larghezza effettiva \,W(l), indicata dal tratto rosso, e` pari a
\,W(l)=\Delta A(l)\cos(\alpha(x))\qquad \qquad \qquad (5)
La cosa buona di questa espressione e` che in tutta la striscia il valore di \,\cos(\alpha(x)) rimane costante, variando solo quando si cambia striscia.
A questo punto si puo` dapprima integrare lungo una striscia per trovare la resistenza di quella striscia, poi, passando alle conduttanze, integrare lungo la base per sommare il contributo di tutte le strisce in parallelo.
Quando si effettua la prima integrazione, lungo \,l si ha una situazione molto analoga alla approssimazione trasversale analizzata prima, con i relativi errori. Questo pero` non e` un problema perche' quando si effettua il secondo integrale lungo la base per sommare tutte le strisce, si passa al limite per \,\Delta A\to 0 e quindi gli errori analizzati in precedenza qui scompaiono.
Rimane l'approssimazione di aver supposto che la corrente scorra completamente dentro ciascuna striscia con una geometria radiale.

Resistenza della striscia

La resistenza della singola striscia verticale vale quindi, usando la \,(5)
R_{stv}=\int_0^L \rho \frac{\text{d}l}{t\,W(l)}=\frac{\rho}{t}\int_0^L \frac{\text{d}l}{\Delta A(l)\,\cos(\alpha)}=\frac{R_\square}{\cos(\alpha)}\int_0^L \frac{\text{d}l}{\Delta A(l)}
A questo punto si sostituisce la larghezza della striscia \,\Delta A(l), equazione \,(3), e si ottiene:

\begin{align}
R_{stv}&=\frac{R_\square}{\cos(\alpha(x))}\int_0^{L(x)} \frac{\text{d}l}{\Delta A \left (1+\left (\frac{B}{A}-1 \right )\frac{l}{L(x)} \right )}=\\ &=\frac{R_\square}{\cos(\alpha(x))\Delta A}\,\frac{A L(x) \ln\left( \frac{A}{B}\right)}{A-B}
\end{align}
Dove si e` indicata la dipendenza dalla coordinata \,x in preparazione alla successiva integrazione.
Per la successiva integrazione lungo la base, in modo da calcolare il parallelo di tutte le strisce verticali, serve la conduttanza delle singole strisce:


\begin{align}
G_{stv}(x)&=\left (  \frac{R_\square}{\cos(\alpha(x))\Delta A}\,\frac{A L(x) \ln\left( \frac{A}{B}\right)}{A-B}\right )^{-1}=\\&= \frac{A-B}{R_\square A \ln \left( \frac{A}{B}\right)}\,\frac{\cos(\alpha(x))\Delta A}{L(x)} 
\qquad \qquad \qquad (6)
\end{align}


Da notare che la relazione trovata ha le dimensioni di una conduttanza, dato che tutte le lunghezze presenti nell'espressione si semplificano

Integrazione lungo la base

Ora si puo` procedere alla somma delle conduttanze delle singole strisce in parallelo, sommando lungo la base, quindi la variabile \,x da \,0 fino ad \,A l'espressione \,(6). La larghezza finita della striscia \,\Delta A diventa il differenziale dell'integrazione \,\text{d}x
G_v=\int_0^A G_{stv}\text{d}x=\frac{A-B}{R_\square A \ln \left( \frac{A}{B}\right)}\int_0^A \frac{\cos(\alpha(x))}{L(x)}\text{d}x
Il valore di \,L(x) e` stato ricavato nell'equazione \,(2):
L(x)=\sqrt{\left ( x\left (1-\frac{B}{A}\right )-C\right )^2+H^2}
mentre per il valore di \,\cos(\alpha(x)), facendo uso della \,(4) si ha
\,\cos(\alpha(x))=\cos\left (\arctan\left ( \frac{ x\left (\frac{B}{A}-1\right )+C}{H}\right )\right )
e ricordando le proprieta` di
\cos(\arctan(x/y))=\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} la funzione diventa
 \begin{align}
\cos(\alpha(x))&=\cos\left (\arctan\left ( \frac{ x\left (\frac{B}{A}-1\right )+C}{H}\right )\right )=\\&=\frac{H}{\sqrt{\left ( x \left (\frac{B}{A}-1\right )+C \right )^2 +H^2 } }
\end{align}
Sostituendo nell'integrale della conduttanza totale si ottiene:

\begin{align}

G_v&=\frac{A-B}{R_\square A \ln \left( \frac{A}{B}\right)}\int_0^A \frac{\frac{H}{\sqrt{\left ( x \left (\frac{B}{A}-1\right )+C \right )^2 +H^2 }}}{\sqrt{\left ( x\left (1-\frac{B}{A}\right )-C\right )^2+H^2}}\text{d}x=\\&=\frac{(A-B)H}{R_\square A \ln \left( \frac{A}{B}\right)}
\int_0^A \frac{\text{d}x}{\left ( x\left (1-\frac{B}{A}\right )-C\right )^2+H^2}=\\&=\frac{\arctan\left ( \frac{A-B-C}{H}\right )+\arctan\left ( \frac{C}{H}\right )}{R_\square \ln\left ( \frac{A}{B}\right )} 
\end{align}
e infine la resistenza fra le due basi, con queste approssimazioni, vale:
R_v=\frac{1}{G_v}=R_\square \frac{\ln\left ( \frac{A}{B}\right)} {\arctan\left ( \frac{A-B-C}{H}\right )+\arctan\left ( \frac{C}{H}\right )}
\qquad (7)
Questa approssimazione dovrebbe fornire risultati di resistenza piu` elevati rispetto alla prima approssimazione, quella trasversale per righe, e piu` vicino all'effettivo valore della resistanza, fornendone una maggiorazione rispetto alla realta`.
In entrambi i casi se una delle due basi tende a zero, la resistenza diventa infinita: un triangolo contattato su un vertice con un contatto di dimensione nulla ha resistenza infinita.
Contatti di dimensione nulla non esistono, ma se la resistivita` del materiale e` elevata e si calcola la resistenza su un triangolo, l'area i contatto puo` cambiare in modo significativo la misura.
In entrambi i casi, se si ha che ad esempio B\to A, cioe` la figura si riduce a un rettangolo, calcolando il limite la resistenza risulta pari a R=R_\square \frac{H}{A} che e` la solita formula di calcolo dei conduttori a sezione costante.

Valutazione numerica su tre esempi

Un test non esaustivo sulle formule appena trovate e` stato fatto sui seguenti tre trapezi, il primo dei quali e` simmetrico, un secondo molto allargato e ancora simmetrico, e un terzo fortemente asimmetrico. Le tre figure di prova sono rappresentate qui sotto:


Le dimensioni dei tre casi sono riportate nella seguente tabella. \,A e` la base maggiore, \,B la base minore, \,H l'altezza e \,C e` lo scostamento della base minore rispetto a quella maggiore.

Testo del titolo Base A Base B Altezza H Scalamento C
Caso I 3 1 2 1
Caso II 11 1 2 5
Caso III 3 1 2 3

L'altezza e` uguale per i tre casi, il primo e il terzo hanno gli stessi valori di basi e altezza, cambia solo la simmetria della figura.
Per tutti i casi si prendera` una sheet resistance di R_\square=1\,\Omega. In questo modo i risultato della resistenza e` indipendente dall'unita` di misura di lughezza. I valori indicati possono essere metri, pollici, micrometri, parasanghe... e il risultato rimane invariato.

Approssimazione trasversale

Il calcolo della resistenza fra le basi con l'approssimazione trasversale si fa applicando la formula \,(1) ripetuta qui:
R_o=R_\square H \frac{\ln\left (\frac{A}{B} \right )}{A-B}

Per il caso I si ha, senza indicare le unita` di misura per le lunghezze per i motivi detti prima
R_{oI}=1\,\Omega\cdot 2 \frac{\ln\left (\frac{3}{1} \right )}{3-1}=\ln(3)\,\Omega\approx1.0986\,\Omega
Per il caso II si ha:
R_{oII}=1\,\Omega\cdot 2 \frac{\ln\left (\frac{11}{1} \right )}{11-1}=\frac{\ln(5)}{10}\,\Omega\approx .4796\,\Omega

Il caso III e` identico al caso I, dato che nelle formule non e` presente il parametro \,C
R_{oIII}=\ln(3)\,\Omega\approx1.0986\,\Omega
Il fatto che secondo questa approssimazione il trapezio isoscele e quello sghembo abbiano la stessa resistenza fa sospettare che questa approssimazione non sia molto buona.

Approssimazione longitudinale

Il calcolo della resistenza fra le basi con l'approssimazione trasversale si fa applicando la formula \,(7) ripetuta qui:
R_v=R_\square \frac{\ln\left ( \frac{A}{B}\right)} {\arctan\left ( \frac{A-B-C}{H}\right )+\arctan\left ( \frac{C}{H}\right )}

Per il caso I si ha

\begin{align}
R_{vI}&=1\,\Omega \frac{\ln\left ( \frac{3}{1}\right)} {\arctan\left ( \frac{3-1-1}{2}\right )+\arctan\left ( \frac{1}{2}\right )}=\\&=\frac{2\ln(3)}{\pi-4\arctan\left (\frac{1}{3}\right )}\Omega \approx 1.185\,\Omega
\end{align}

Per il caso II si ha

\begin{align}
R_{vII}&=1\,\Omega \frac{\ln\left ( \frac{11}{1}\right)} {\arctan\left ( \frac{11-1-5}{2}\right )+\arctan\left ( \frac{5}{2}\right )}=\\&=\frac{\ln(11)}{2\arctan\left (\frac{5}{2}\right )}\Omega \approx 1.0073\,\Omega
\end{align}

Infine per il caso III si ha

\begin{align}
R_{vIII}&=1\,\Omega \frac{\ln\left ( \frac{3}{1}\right)} {\arctan\left ( \frac{3-1-3}{2}\right )+\arctan\left ( \frac{3}{2}\right )}=\\&=\frac{4\ln(3)}{\pi-4\arctan\left (\frac{3}{11}\right )}\Omega \approx 2.1162\,\Omega
\end{align}

Una prima osservazione mostra che i valori calcolati con l'approssimazione longitudinale sono piu` grandi rispetto a quelli calcolati con l'approssimazione trasversale. Allargando la base, passando dal caso I al caso II, la prima approssimazione da` una forte riduzione della resistenza, mentre in questa approssimazione la riduzione e` abbastanza contenuta. Nel caso II le parti laterali lontane dal centro contribuiscono poco alla conduzione, in quanto piu` lontane.
Passando dal caso I al caso III la resistenza praticamente raddoppia, almeno secondo quest'ultima approssimazione, mentre non varia secondo la prima approssimazione.

Soluzioni FEM

Per verificare la bonta` delle approssimazioni, si e` provveduto ad effettuare una simulazione ad elementi finiti usando il programma FEMM42. Le simulazioni sono state fatte sia come simulazioni termiche che di conduzione a frequenza zero, ottenendo gli stessi risultati.
Nelle simulazioni sono stati provati numeri di triangoli da qualche migliaia a qualche centinaia di migliaia, ottenendo sempre praticamente gli stessi risultati. I risultati sono mostrati nel seguito.
Si e` osservato che le simulazioni fatte hanno degli errori intrinseci: ad esempio sui lati, in cui non ci dovrebbe essere flusso di corrente, in realta` c'e` un po' di corrente che scorre. La corrente totale che scorre sulla base maggiore dovrebbe essere uguale a quello della base minore, mentre si e` osservata una differenza piccola ma non trascurabile. Questi valori quindi vanno presi con un minimo di precauzione.

Caso I

La simulazione per la prima geometria e` in questa figura, valutata con circa 8600 triangoli.

Trap1sm.GIF

Trap1sm.GIF

Si vede che il flusso di corrente non e` verticale. Lungo i bordi il flusso e` parallelo ai lati, mentre sulle basi e` perpendicolare. In corrispondenza dei vertici in alto ci sono alcuni artefatti di calcolo.
La resistenza che risulta e` di circa \,1.182\,\Omega

Caso II

La simulazione della seconda geometria, con circa 7700 triangoli, e` in questa figura.

Trap2.GIF

Trap2.GIF

In questo caso si vede che le parti laterali della base maggiore sono ampiamente inutilizzate. La resistenza di questa struttura e` dalle parti di 0.884\,\Omega

Caso III

La simulazione della terza geometria, con 10500 triangoli circa, e` in figura

trap3a.gif

trap3a.gif

Qui si vede in modo evidente che il flusso del calore non e` "in verticale" e quindi una approssimazione di tipo trasversale non e` adatta. La resistenza risultante e` di circa 1.78\,\Omega

Confronti

Dopo aver fatto tutti questi conti e simulazione, mettiamo insieme i vari risultati. In questa tabella vengono confrontati i risultati ottenuti e viene calcolato l'errore relativo delle due approssimazioni rispetto al valore della simulazione fem.

Risultati Casi R simulata FEM (Ω) R approx trasvers (Ω) R approx longitudinale (Ω) Errore % approx trasv Errore % approx long
Caso I 1.182 1.099 1.185 -7 +1
Caso II 0.884 0.4796 1.007 -46 +14
Caso III 1.78 1.099 2.116 -38 +19

Come gia` osservato in precedenza l'approssimazione trasversale fornisce resistenze minori di quella reale, mentre l'approssimazione longitudinale fornisce un valore maggiore della resistenza effettiva. L'errore percentuale e` comunque maggiore (e anche di parecchio) nell'approssimazione trasversale rispetto a quella longitudinale, che sarebbe preferibile utilizzare sempre.

Ringraziamenti

Un caloroso ringraziamento a RenzoDF per le chiacchierate chiarificatrici sull'argomento, per aver controllato separatamente tutte le simulazioni con FEMM e per il proofreading.

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Commenti e note

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di ,

Interessantissimo, non si finisce mai di imparare! Grazie Pow

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di ,

Davvero un Gran Bel Lavoro Isidoro! I miei Complimenti ! Chapeau !

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