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Molte volte ci troviamo di fronte a equazioni o a sistemi, che non possiamo calcolare mediante l'ausilio di formule chiuse e di precisi algoritmi, perchè sono soggetti a leggi non lineari, che non sono di facile dominio per il risolutore. Ma talvolta, il programma Excel della Microsoft puo' venirci in soccorso. Basta un po' di teoria ed applicare il Risolutore, strumento ottimizzante in tante situazioni ed ottenere buone soluzioni approssimate per i sistemi non lineari.

Un po' di teoria non guasta

Supponendo d'avere un sistema del tipo:

$f 1 (x 1, x 2,,..., x n) = 0$

$f 2 (x 1, x 2,,..., x n) = 0$

...................

$f n (x 1, x 2,,..., x n) = 0$

che si presenta non lineare, è ovvio che si ha anche:

$\sum_{k=1}^N f_k(x_1,x_2,...,x_n)^2 = 0$

e da questa posizione partiamo per usare il nostro algoritmo su Excel.

La pratica

Usiamo un sistema non lineare del tipo:

$4x_1^3-(3x_2)^{0.5} = 20$
$x_1x_2^2-2/x_1 = 50$

La prima cosa e' ridurlo alla forma canonica, vista in precedenza, dove le equazioni sono uguagliate a zero. Quindi, si ottiene:

$4x_1^3-(3x_2)^{0.5}-20=0$
$x_1x_2^2-2/x_1-50=0$

Sul foglio Excel, si impostano due valori d'inizializzazione delle soluzioni, tipo x1=1,x2=1 e si calcolano in queste condizioni iniziali le funzioni $f 1 (x 1, x 2)$ e $f 2 (x 1, x 2)$ . Fatto questo, si calcola la somma dei quadrati di $f 1$ e $f 2$ .
Si veda Figura 1 per questo step.

Figura 1. Inizializzazione incognite x1 e x2 e calcolo di f1^2+f2^2

Soluzione del sistema

Dato che $f_1^2+f_2^2=0$ , mediante il menu Excel (versione 2010), si va alle schede Dati-->Analisi Simulazione e si sceglie "ricerca obbiettivo"; si apre la scheda e s'impone per la cella, dove e' il valore della somma dei quadrati delle due funzioni $f 1$ e $f 2$ , il valore 0, come, deve essere. Infine, si impone il cambiamento di una delle due soluzioni iniziali o x1 o x2. Dopo una certa elaborazione il programma dara' il valore esatto di x1 o x2. Dopo si ripete la procedura per l'altro valore iniziale di x1 o x2, che si vuole che si cambi. Il gioco e' fatto. Se tutto va bene, in verifica si vede che il valore della somma dei quadrati di $f 1$ ed $f 2$ diventerà un valore vicino a zero.

Si vede in Figura 2, il passo successivo.

Figura 2. Impostazione del risolutore

L'ultimo passo è quello di cliccare OK sulla finestrella di dialogo del Risolutore. Parte il calcolo e si ottiene l'aspetto di Figura 3, con la soluzione per x1.

Figura 3. Soluzione della variabile x1

Si puo' fare lo stesso per il nuovo valore di x2 ed in Figura 4, si scogono i valori delle soluzioni di x1 e x2, che sono 1.81 e 5.31 circa.

Figura 4. Entrambe le soluzioni x1 e x2 sono calcolate, in forma approssimata.

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