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Impedenze e circuiti

Articolo n° 6 su 13 del corso "Elettrotecnica di base". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. Introduzione
  2. Impedenza
  3. Impedenza serie
  4. Risonanza
  5. Impedenza parallelo - ammettenza
  6. Esercizi
  7. Metodo operatoriale e grandezze elettriche comunque variabili
  8. Circuiti R,C ed R, L
  9. Conclusioni

Introduzione

Nell’articolo precedente si è stabilito il legame tra tensione e correntesinusoidali sui bipoli puri R, L, C, ricorrendo alla loro rappresentazione vettoriale ed ai numeri complessi. In questo articolo amplieremo la trattazione, sia vettoriale che simbolica, delle relazioni tra i bipoli comunque collegati nelle reti elettriche in c.a.s., definendo in modo generale il concetto di impedenza. La parte finale sarà dedicata ad un certo numero di esercizi, nei quali, oltre ad evidenziare la generalità dei teoremi sulle reti, ci si eserciterà ad operare con i numeri complessi.

Impedenza

Si definisce impedenza il numero complesso dato dal rapporto tra il numero complesso che rappresenta la tensione ed il numero complesso che rappresenta l’intensità di corrente. Si indica comunemente con la lettera Z. Si ha dunque per definizione

Z=U/I 6. 1

Osservazione: il carattere in grassetto indica il numero complesso nella sua completezza (parte reale e parte immaginaria o modulo ed argomento). Possiamo già ricavare le impedenze puramente resistive , puramente induttive e puramente capacitive, in quanto si tratta di riscrivere le relazioni dell’art. precedente( v. fig. 5.4, 5.5, 5.6). Ricordando che XL=wL, XC=1/wC sono le reattanze induttiva e capacitiva con w=2pf, misurate in ohm si ha la tabella seguente:

IMPEDENZA

Forma cartesiana Forma Polare
Puramente resistiva
R

R /0

Puramente capacitiva

-j.XC

XC /-90

Puramente induttiva

j.XL

XL /+90

tab.6.1

Si chiama ammettenza l’inverso dell’impedenza, quindi il rapporto tra l’intensità di corrente e la tensione rappresentate con i numeri complessi.

Y=1/Z=I/U 6. 2

Ricordando che 1/j=-j e ponendo BC=1/XC , BL=1/XL denominate susettanze rispettivamente capacitivaed induttiva, misurate in siemens come la conduttanza G=1/R, si ha per le ammettenze pure, la tab.6.2

Ammettenza

Forma cartesiana Forma Polare
Puramente resistiva
G=1/R

G /0

Puramente capacitiva

j.BC=1/-jXC

BC /90

Puramente induttiva

-j.BL=1/jXL

BL /-90

tab 6.2

Applicando il concetto di equivalenza sviluppato nell’art. 4, ed utilizzando le metodologie di calcolo illustrate per i numeri complessi nell’art. 5, è possibile ricavare l’impedenza o l’ammettenza equivalente di qualsiasi connessione di bipoli puri.Esaminiamo i casi fondamentali.

Impedenza serie

Costruiamo un bipolo costituito dalla serie dei tre bipoli puri fondamentali.Si avrà che la Z (Zeq serie) è la somma delle loro impedenze pure ;

Z = R+j.XL- jXC = R + j.X ; ; 6. 3

avendo postoX = XL- XC; L’impedenza serie è dunque un numero complesso la cui parte reale corrisponde alla resistenza mentre la parte immaginaria corrisponde ad una reattanza. ;R è un numero positivo, X può essere sia positivo che negativo a seconda del prevalere di una delle due reattanze componenti:se X>0 parleremo di impedenza induttiva se X<0 parleremo di impedenza capacitiva.Essa rappresenta il rapporto tra la tensione ai capi del bipolo e l’intensità della corrente, entrambe alternate sinusoidali, quindi entrambe ancora espresse come numeri complessi.L’impedenza è scritta in forma cartesiana ma, come ben sappiamo, ogni numero complesso può essere rappresentato in diversi modi, in particolare anche in forma polare.L’impedenza in questa forma sarà scritta ;

Z =Z /q = U/I ; 6. 4

Avendo posto ad esempi U = U/a, I = I/b

Z è il modulo dell’impedenza, uguale a U/I, ; ed è dato da

; 6. 5

q è l’argomento, che è uguale ad a-b e si ricava da

q=arctan(X/R)

(angolo la cui tangente trigonometrica è uguale al rapporto tra la reattanza e la resistenza). Z è un numero positivo che si misura in ohm: esso corrisponde proprio al rapporto tra la misura della tensione efficace in volt e la misura del valore efficace dell’intensità di corrente in ampere (Z=U/I); l’argomento q corrisponde all’angolo di sfasamento tra il vettore rappresentativo della tensione ed il vettore rappresentativo della corrente.Nella fig. 6. 1 sono riassunte le relazioni matematiche e grafiche che definiscono l’impedenza. Nel caso specifico della figura la reattanza X è positiva, quindi lo è l’argomento; l’impedenza si dice ohmico-induttiva in quanto la reattanza equivalente è una reattanza induttiva; è dunque predominante l’energia magnetica e l’intensità di corrente ritarda di q gradi sulla tensione ;

fig. 6. 1

Interpretando la tensione come causa della corrente (o viceversa) l’impedenza rappresenta il modo in cui il campo elettromagnetico definito da quel circuito elettrico determina qualitativamente e quantitativamente gli effetti dovuti alla causa.L’impedenza in c.a.s. rappresenta con una notazione compatta tutti i fenomeni energetici dissipativi e di accumulazione di quella particolare parte di circuito che fa capo ai due terminali.La 6.1 è spesso detta legge in Ohm in alternata: la sua espressione matematica rende i calcoli in c.a.s formalmente identici a quelli ; sviluppati per le correnti continue: è sufficiente operare con i numeri complessi rappresentativi di tensioni e correnti sostituendo alla resistenza l’impedenza.

Risonanza

Osserviamo che in presenza di condensatori ed induttanze in serie può verificarsi X=0. Ciò si ha se XL=XC. In questo caso l’impedenza è puramente resistiva e la condizione è detta di risonanza serie. Se L e C sono date, esiste una frequenza a cui la condizione si verifica. Essa si ricava da wL=1/wC da cui si ricava

6. 6 (pulsazione di risonanza)

Quindi f0=w0/2pè la frequenza di risonanza.Se al variare della frequenza si mantiene inalterato il valore efficace della tensione, alla frequenza di risonanza l’intensità di corrente è massima, I0=U/R, la tensione applicata coincide con il valore della tensione ai capi della resistenza, mentre le tensioni ai capi di induttanza e capacità sono uguali ed in opposizione di fase e possono essere anche molto più elevate della tensione applicata.Le due reattanze alla frequenza di risonanza valgono

X0=w0L=1/w0C=Ö(L/C)

Si definisce fattore di merito il rapporto

Qm=X0/R=(1/R).Ö(L/C)

Nei sistemi di comunicazione la condizione di risonanza è usata per selezionare la desiderata frequenza in un segnale composto di frequenze diverse. Si definiscono frequenze di taglio superiore ed inferiore le frequenze alle quali l’intensità di corrente è I=I0/Ö2=U/(Ö2.R). ; Si ricavano dall’equazione

(1/2).U2/R2=U2/(R2+(wL-1/wC)2)

Da cui (i numeratori sono uguali, quindi basta uguagliare i denominatori)

+R=(wL-1/wC)

w2LC +wCR-1=0

w2 +wR/L-1/LC=0

w2 +wR/L-w02=0

Sono due equazioni di secondo grado con il coefficiente del termine di primo grado prima positivo, quindi negativo. Le soluzioni da considerare sono quelle che forniscono valori positivi, essendo priva di significato una pulsazione negativa. Quando il coefficiente è positivo la soluzioneè

w1=(- R/L+Ö(R2/ L2+4w02)/2 (pulsazione di taglio inferiore)

Quando il coefficiente è negativo la soluzioneè

w2=(R/L +Ö (R2/ L2+4w02)/2 (pulsazione di taglio superiore)

cui corrispondono le frequenze

f1=w1/2p;f2=w2/2p

NB:Si può verificare che la frequenza di risonanza è la media geometrica delle frequenze di taglio: f0=Öf1*f2

Si definisce banda passante l’insieme di frequenze comprese tra f1 ed f2:

Dw =w2-w1=R/L=w0/Qm

Df=f2-f1=Dw/2p

La banda passante è tanto più stretta, quindi tanto più selettivo è il circuito, quanto più alto è il fattore di merito. Nei sistemi di trasmissione dell’energia, i fenomeni di risonanza possono causare sovratensioni pericolose. Nella fig. 6.2 a è tracciato il diagramma vettoriale delle tensioni ai capi dei bipoli puri componenti la serie; in 6.2.b il diagramma vettoriale è tracciato in caso di risonanza; in fig. 6.2.c è mostrato l’andamento di XL, XC, Z, al variare delle frequenza. In ascisse è riportato il rapporto tra la frequenza e la frequenza di risonanza; in ordinate ci sono le reattanze e le impedenze relative all’impedenza di risonanza (coincidente con la resistenza) e l’andamento della corrente assorbita relativa alla massima corrente che si ha, come detto in condizioni di risonanza.

fig. 6.2

Impedenza parallelo - ammettenza

Se i tre bipoli elementari sono in parallelo conviene ragionare in termini di ammettenza. L'ammettenza equivalente è la somma delle ammettenze Y=G+jBC-jBC=G+jB=Y/q avendo posto B=BC-BL L’ammettenza equivalente è dunque un numero complesso la cui parte reale è la conduttanza e la cui parte immaginaria è la suscettanza. Se la suscettanza è positiva l’ammettenza è capacitiva, induttiva se è negativa. Nella fig. 6.3 sono rappresentate le relazioni matematiche e grafiche che definiscono l’ammettenza. Nel caso specifico della figura B, la suscettanza, quindi l’argomento sono positivi, l’ammettenza è dunque capacitiva e la corrente è in anticipo sulla tensione

fig. 6. 3

Nella fig. 6.4 a è tracciato il diagramma vettoriale delle correnti per il parallelo. Si può osservare che quanto è stato detto per le tensioni e la corrente degli elementi in serie diventa valido per le correnti e la tensione degli elementi in parallelo. ;

Nota

Questa proprietà è tra l’altro nota come teorema di dualità: le leggi dei circuiti elettrici mantengono la loro validità quando contemporaneamente si sostituiscono le maglie con i nodi, gli elementi in serie con elementi in parallelo, le tensioni con le correnti, le impedenze con le ammettenze. Ne sono esempio gli stessi principi di Kirchhoff.

Anche nel caso di elementi in parallelo si ha condizione di risonanza BL=BC che porta alla medesima espressione per la frequenza di risonanza. In condizioni di risonanza parallelo, le correnti sul condensatore e sull’induttore sono uguali ed in opposizione di fase, e l’intensità totale coincide con l’intensità sulla resistenza. Se si alimenta con un generatore di corrente di frequenza variabile ma di valore efficace costante, la tensione sul parallelo è massima alla frequenza di risonanza. Nella condizione di risonanza induttanza è capacità si scambiano completamente e continuamente l’energia accumulata. Per la dualità i grafici della fig. 6.2.c sono validi per il parallelo effettuando le sostituzioni XL con BC, XC con BL, Z con Y, Imax con Umax, I con U.

;

fig. 6.4

Nota l’ammettenza è per definizione nota anche l’impedenza. Se ci riferiamo alla rappresentazione polare di ammettenza ed impedenza, si può osservare che il modulo dell’impedenza è l’inverso del modulo dell’ammettenza e che l’argomento dell’impedenza è opposto all’argomento dell’ammettenza. Più elaborato è il legame tra resistenza e reattanza dell’impedenza serie con conduttanza e suscettanza dell’ammettenza del parallelo.Se è nota l’ammettenza si ha

dunque R = G/Y2, X = - B/Y2 (6.7). Se è nota l’impedenza, dualmente si ha G = R/Z2, B = - X/Z2 (6. 8)

Esercizi

Vai

Circuiti R,C ed R, L

fig. 6. 11

Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla rete di fig. 6.11.a

I(s).(R+1/sC) = E/s

I(s)=E/(sR+1/C)=(E/R)/(s+1/RC)

Posto

K=E/R; a=1/RC

si può ricavare

i(t)=I0.e - t/RC

Al prodotto t = R.C si dà il nome di costante di tempo, I0=E/R è l’intensità di corrente nell’istante iniziale di applicazione della tensione. All’atto di applicazione della tensione il condensatore si comporta come un cortocircuito. L’intensità varia con legge esponenziale ed a regime si annulla: il condensatore è un circuito aperto.La tensione sul condensatore è per il II pdk :

Uc(s)=E/s- (1/sC).I(s)=(E/s).(1-1/(sRC+1)

Cui corrisponde nel tempo

Uc(t)=E-E.e- t/RC=E(1- e - t/RC)

Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla rete di fig. 6.11.b

I(s).(R+sL)=E/s

La tensione sull’induttanza è

UL(s)=sL.I(s)=E.L/(R+sL)=E/(s+R/L)

Da cui posto

k=E, a=R/L si ricava uL(t)=E.e - (R/L)*t

L’intensità di corrente si può ricavare da

I(s)=(E/s – UL(s))/R=(E/R)/s-(E/R)/(s+R/L)

Da cui, nel tempo

I(t)=E/R-(E/R).e - (R/L) * t=E/R(1-e( - R/L) * t)

L’intensità di corrente è dunque nulla nell’istante iniziale ( l’induttore si comporta come un circuito aperto) e pari ad E/R a regime (l’induttore si comporta come un come un cortocircuito)

fig. 6. 12

Nella fig. 6.16 sono mostrati i grafici dell’andamento nel tempo di tensione e corrente nell’induttore e nel condensatore. I grafici sono come al solito normalizzati: in ascisse c’è il rapporto tra il tempo e la costante di tempo, in ordinate i rapporti tra i valori effettivi di corrente e tensione ed i loro valori di regime. Scambiando tensione con corrente si passa dal condensatore all’induttore, come era già implicito del resto nella caratteristica di definizione dei due bipoli esaminata nell’art. 2.

Conclusioni

Si è visto ; in questo articolo come, attraverso il concetto di impedenza, si possano estendere i metodi di studio descritti negli art. 3 e 4, ai circuiti in regime sinusoidale in particolare, con un cenno finale ai circuiti in regime comunque variabile.

Non si è voluto certamente affermare che si tratta di una semplice formalità matematica, ma sottolineare quanto importante sia la conoscenza accurata dei principi fondamentali ; poiché la matematica trova sempre il modo di adeguarvisi fornendo gli strumenti più adatti per analizzare la complessità che non deriva dai principi in sé, ma dall’interazione di molteplici elementi che devono a quei principi soddisfare.

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Commenti e note

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di ,

Mi spiace, non sono in grado di farlo. E' un problema del software che genera i pdf

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di ,

Buongiorno Zeno, ho scaricato in PDF tutta la tua pubblicazione di ELETTROTECNICA DI BASE per leggerla e farla rilegare ma mi sono accorto durante la stampa che nella sezione IMPEDENZE E CIRCUITI (questa) le pagine da 8 a 52 sono completamente bianche, mancano 2 pagine che trattano IMPEDENZA IN PARALLELO più il grafico in figura 6.12. Ti chiedo gentilmente, se puoi, di sostituire il PDF corrotto. Grazie.

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di ,

concordo con l'autore del commento sotto di me..

Rispondi

di ,

Articolo utilissimo e chiaro . Ringrazio il cielo esiste gente come voi che fornisce una libera informazione consultabile quando piu' occorre e ... ringraziamo il cielo esistono anche persone che non apprezzano , perche' ci faranno apprezzare ancora di piu' a noi...

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di ,

tecnico,
non si può essere quello che non si è. Io ho cercato di scrivere cose che si possano capire. Ma non sono il prof. Miccichè, le capacità sono quelle che sono, ci metto buona volontà che comunque, bisogna ammetterlo, può non essere sufficiente. Quindi cosa ti posso dire, se non di ignorare le mie lezioni e seguire quelle del prof. Miccichè?

PS: potresti anche mostrare l'esempio cui ti riferisci. Ammesso che io volessi seguire il tuo consiglio, ed ammesso di avere la capacità di migliorare, come faccio a capire qual è la chiarezza che desideri? Io del prof. Miccichè non so nulla....

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di tecnico,

devi cercare di scrivere cose che si capiscono meglio come fa il proff miccichè

Rispondi

di ,

Massimo,
semplicemente perché c'era un errore nella trascrizione del passaggio intermedio. In effetti deve essere Uc(s)=E/s-R*I(s)=E/s*(1-1/(1+1/sRC))

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di Massimo,

Non capisco xke, quando si parla del circuito rc, la tensione sul condensatore è per il II pdk : Uc(s)=E/s-(1/sC). Non dovrebbe essere Vcond=Vgener-Vresist?? Grazie per il chiarimento

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di classe 1950,

Da molto tempo esploro internet... e di siti che fanno didattica non se ne vedono molti....
Ma come diceva Schiller "Contro la stupidità, neanche gli dei possono lottare con successo".
Con questi esempi come dargli torto....

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di Studente della notte,

Le note all'articolo sono sgarbate, si tratta comunque di una fonte di informazione che può essere criticata costruttivamente ma non offensivamente.Scrivere un testo richiede del tempo, di certo più di quello che hanno impiegato i soprastanti commentatori e critici, che dall'alto delle loro cattedre di perfezione, hanno criticato con insensata aggressività un lavoro, quando (suppongo) nessuno di loro ha saputo fare di meglio, anche se ne fossero capaci. Sono indignato nel trovare simili boicottamenti della libera informazione.

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di Jon TopGArn,

Bizzotto davide o come ti chiami: c'è gente che utilizza il proprio tempo libero per creare sito no profit utili come questo per studenti universitari e compagnia bella e tu ti permetti di scrivere così?! Sparati.

Rispondi

di ,

Il paragrafo

Impedenza parallelo -Ammettenza, inizia così:

"Se i tre bipoli elementari sono in parallelo conviene ragionare in termini di ammettenza. L'ammettenza equivalente è la somma delle ammettenze"

Quindi
Yparallelo=Y1+Y2+...

Forse hai dimenticato un punto di domanda (oltre che di leggere il testo) mi pare...

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di Deluso.Molto,

E il parallelo delle ammettenze come diavolo si calcola?????????????

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di Davide Guttalax,

Lo dico contro il mio interesse, ma allora svolge una funzione anche per i cervelli stitici?

Rispondi

di bizzotto davide,

incompleto,brutto e inutile...fate cagare..arrivederci

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