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| Nell’articolo precedente si è stabilito il legame tra tensione e correntesinusoidali sui bipoli puri R, L, C, ricorrendo alla loro rappresentazione vettoriale ed ai numeri complessi. In questo articolo amplieremo la trattazione, sia vettoriale che simbolica, delle relazioni tra i bipoli comunque collegati nelle reti elettriche in c.a.s., definendo in modo generale il concetto di impedenza. La parte finale sarà dedicata ad un certo numero di esercizi, nei quali, oltre ad evidenziare la generalità dei teoremi sulle reti, ci si eserciterà ad operare con i numeri complessi. |
Si definisce impedenza il numero complesso dato dal rapporto tra il numero complesso che rappresenta la tensione ed il numero complesso che rappresenta l’intensità di corrente. Si indica comunemente con la lettera Z. Si ha dunque per definizione Z=U/I 6. 1 |
Osservazione: il carattere in grassetto indica il numero complesso nella sua completezza (parte reale e parte immaginaria o modulo ed argomento). Possiamo già ricavare le impedenze puramente resistive , puramente induttive e puramente capacitive, in quanto si tratta di riscrivere le relazioni dell’art. precedente( v. fig. 5.4, 5.5, 5.6). Ricordando che XL=wL, XC=1/wC sono le reattanze induttiva e capacitiva con w=2pf, misurate in ohm si ha la tabella seguente:
tab.6.1 |
Si chiama ammettenza l’inverso dell’impedenza, quindi il rapporto tra l’intensità di corrente e la tensione rappresentate con i numeri complessi. Y=1/Z=I/U 6. 2 Ricordando che 1/j=-j e ponendo BC=1/XC , BL=1/XL denominate susettanze rispettivamente capacitivaed induttiva, misurate in siemens come la conduttanza G=1/R, si ha per le ammettenze pure, la tab.6.2
tab 6.2 Applicando il concetto di equivalenza sviluppato nell’art. 4, ed utilizzando le metodologie di calcolo illustrate per i numeri complessi nell’art. 5, è possibile ricavare l’impedenza o l’ammettenza equivalente di qualsiasi connessione di bipoli puri.Esaminiamo i casi fondamentali. |
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Costruiamo un bipolo costituito dalla serie dei tre bipoli puri fondamentali.Si avrà che la Z (Zeq serie) è la somma delle loro impedenze pure ; Z = R+j.XL- jXC = R + j.X ; ; 6. 3 avendo postoX = XL- XC; L’impedenza serie è dunque un numero complesso la cui parte reale corrisponde alla resistenza mentre la parte immaginaria corrisponde ad una reattanza. ;R è un numero positivo, X può essere sia positivo che negativo a seconda del prevalere di una delle due reattanze componenti:se X>0 parleremo di impedenza induttiva se X<0 parleremo di impedenza capacitiva.Essa rappresenta il rapporto tra la tensione ai capi del bipolo e l’intensità della corrente, entrambe alternate sinusoidali, quindi entrambe ancora espresse come numeri complessi.L’impedenza è scritta in forma cartesiana ma, come ben sappiamo, ogni numero complesso può essere rappresentato in diversi modi, in particolare anche in forma polare.L’impedenza in questa forma sarà scritta ;Z =Z /q = U/I ; 6. 4 Avendo posto ad esempi U = U/a, I = I/bZ è il modulo dell’impedenza, uguale a U/I, ; ed è dato da q=arctan(X/R) (angolo la cui tangente trigonometrica è uguale al rapporto tra la reattanza e la resistenza). Z è un numero positivo che si misura in ohm: esso corrisponde proprio al rapporto tra la misura della tensione efficace in volt e la misura del valore efficace dell’intensità di corrente in ampere (Z=U/I); l’argomento q corrisponde all’angolo di sfasamento tra il vettore rappresentativo della tensione ed il vettore rappresentativo della corrente.Nella fig. 6. 1 sono riassunte le relazioni matematiche e grafiche che definiscono l’impedenza. Nel caso specifico della figura la reattanza X è positiva, quindi lo è l’argomento; l’impedenza si dice ohmico-induttiva in quanto la reattanza equivalente è una reattanza induttiva; è dunque predominante l’energia magnetica e l’intensità di corrente ritarda di q gradi sulla tensione ; fig. 6. 1 Interpretando la tensione come causa della corrente (o viceversa) l’impedenza rappresenta il modo in cui il campo elettromagnetico definito da quel circuito elettrico determina qualitativamente e quantitativamente gli effetti dovuti alla causa.L’impedenza in c.a.s. rappresenta con una notazione compatta tutti i fenomeni energetici dissipativi e di accumulazione di quella particolare parte di circuito che fa capo ai due terminali.La 6.1 è spesso detta legge in Ohm in alternata: la sua espressione matematica rende i calcoli in c.a.s formalmente identici a quelli ; sviluppati per le correnti continue: è sufficiente operare con i numeri complessi rappresentativi di tensioni e correnti sostituendo alla resistenza l’impedenza. |
; 6. 5
Osserviamo che in presenza di condensatori ed induttanze in serie può verificarsi X=0. Ciò si ha se XL=XC. In questo caso l’impedenza è puramente resistiva e la condizione è detta di risonanza serie. Se L e C sono date, esiste una frequenza a cui la condizione si verifica. Essa si ricava da wL=1/wC da cui si ricava
X0=w0L=1/w0C=Ö(L/C) Si definisce fattore di merito il rapportoQm=X0/R=(1/R).Ö(L/C) Nei sistemi di comunicazione la condizione di risonanza è usata per selezionare la desiderata frequenza in un segnale composto di frequenze diverse. Si definiscono frequenze di taglio superiore ed inferiore le frequenze alle quali l’intensità di corrente è I=I0/Ö2=U/(Ö2.R). ; Si ricavano dall’equazione(1/2).U2/R2=U2/(R2+(wL-1/wC)2) Da cui (i numeratori sono uguali, quindi basta uguagliare i denominatori)+R=(wL-1/wC) w2LC +wCR-1=0 w2 +wR/L-1/LC=0 w2 +wR/L-w02=0 Sono due equazioni di secondo grado con il coefficiente del termine di primo grado prima positivo, quindi negativo. Le soluzioni da considerare sono quelle che forniscono valori positivi, essendo priva di significato una pulsazione negativa. Quando il coefficiente è positivo la soluzioneèw1=(- R/L+Ö(R2/ L2+4w02)/2 (pulsazione di taglio inferiore) Quando il coefficiente è negativo la soluzioneèw2=(R/L +Ö (R2/ L2+4w02)/2 (pulsazione di taglio superiore) cui corrispondono le frequenzef1=w1/2p;f2=w2/2p NB:Si può verificare che la frequenza di risonanza è la media geometrica delle frequenze di taglio: f0=Öf1*f2 Si definisce banda passante l’insieme di frequenze comprese tra f1 ed f2: Dw =w2-w1=R/L=w0/Qm Df=f2-f1=Dw/2p La banda passante è tanto più stretta, quindi tanto più selettivo è il circuito, quanto più alto è il fattore di merito. Nei sistemi di trasmissione dell’energia, i fenomeni di risonanza possono causare sovratensioni pericolose. Nella fig. 6.2 a è tracciato il diagramma vettoriale delle tensioni ai capi dei bipoli puri componenti la serie; in 6.2.b il diagramma vettoriale è tracciato in caso di risonanza; in fig. 6.2.c è mostrato l’andamento di XL, XC, Z, al variare delle frequenza. In ascisse è riportato il rapporto tra la frequenza e la frequenza di risonanza; in ordinate ci sono le reattanze e le impedenze relative all’impedenza di risonanza (coincidente con la resistenza) e l’andamento della corrente assorbita relativa alla massima corrente che si ha, come detto in condizioni di risonanza.
fig. 6.2 |
6. 6 (pulsazione di risonanza)
fig. 6. 11 Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla rete di fig. 6.11.a I(s).(R+1/sC) = E/s I(s)=E/(sR+1/C)=(E/R)/(s+1/RC) Posto K=E/R; a=1/RC si può ricavare i(t)=I0.e - t/RC Al prodotto t = R.C si dà il nome di costante di tempo, I0=E/R è l’intensità di corrente nell’istante iniziale di applicazione della tensione. All’atto di applicazione della tensione il condensatore si comporta come un cortocircuito. L’intensità varia con legge esponenziale ed a regime si annulla: il condensatore è un circuito aperto.La tensione sul condensatore è per il II pdk :
Uc(s)=E/s- (1/sC).I(s)=(E/s).(1-1/(sRC+1) Cui corrisponde nel tempo Uc(t)=E-E.e- t/RC=E(1- e - t/RC) Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla rete di fig. 6.11.b I(s).(R+sL)=E/s La tensione sull’induttanza è UL(s)=sL.I(s)=E.L/(R+sL)=E/(s+R/L) Da cui posto k=E, a=R/L si ricava uL(t)=E.e - (R/L)*t L’intensità di corrente si può ricavare da I(s)=(E/s – UL(s))/R=(E/R)/s-(E/R)/(s+R/L) Da cui, nel tempo I(t)=E/R-(E/R).e - (R/L) * t=E/R(1-e( - R/L) * t)
L’intensità di corrente è dunque nulla nell’istante iniziale ( l’induttore si comporta come un circuito aperto) e pari ad E/R a regime (l’induttore si comporta come un come un cortocircuito) fig. 6. 12 Nella fig. 6.16 sono mostrati i grafici dell’andamento nel tempo di tensione e corrente nell’induttore e nel condensatore. I grafici sono come al solito normalizzati: in ascisse c’è il rapporto tra il tempo e la costante di tempo, in ordinate i rapporti tra i valori effettivi di corrente e tensione ed i loro valori di regime. Scambiando tensione con corrente si passa dal condensatore all’induttore, come era già implicito del resto nella caratteristica di definizione dei due bipoli esaminata nell’art. 2. |
Si è visto ; in questo articolo come, attraverso il concetto di impedenza, si possano estendere i metodi di studio descritti negli art. 3 e 4, ai circuiti in regime sinusoidale in particolare, con un cenno finale ai circuiti in regime comunque variabile. Non si è voluto certamente affermare che si tratta di una semplice formalità matematica, ma sottolineare quanto importante sia la conoscenza accurata dei principi fondamentali ; poiché la matematica trova sempre il modo di adeguarvisi fornendo gli strumenti più adatti per analizzare la complessità che non deriva dai principi in sé, ma dall’interazione di molteplici elementi che devono a quei principi soddisfare. |
