Doppi bipoli passivi

Un circuito in cui si individuano due coppie di terminali si dice doppio bipolo.

Le grandezze elettriche descrittive di entrambe le coppie di bipoli sono tensione  e corrente: U₁, I₁ per il bipolo 1, e per il bipolo 2, U₂, I₂. La scelta dei versi positivi  è sostanzialmente arbitraria, ma in genere si scelgono le correnti entranti dai poli contrassegnati come a potenziale più alto. 

Considereremo doppi bipoli passivi: un doppio bipolo si dice passivo o inerte se le tensioni tra i terminali in assenza di alimentazione esterna sono nulle.

Delle quattro grandezze descrittive (U₁, I₁ U₂, I₂ ) due sono considerate note e sono dette variabili indipendenti (o ingressi); le altre due incognite; sono le variabili dipendenti, (o uscite). Le relazioni tra gli ingressi e le uscite danno luogo a due equazioni che costituiscono un sistema . Il sistema è identificato dalla matrice dei coefficienti, di ordine due, che sono i parametri del sistema , che vengono qualificati in base al loro significato fisico. Si hanno 6 possibilità descritte sinteticamente nella seguente tabella.

Matrice di impedenze: i parametri Z

I parametri del sistema sono tutti dello stesso tipo: rapporti tra tensioni e correnti, quindi omogenei con una impedenza che sii misura in ohm. Considereremo in generale grandezze sinusoidali.

Matrice di ammettenze: i parametri Y

I parametri del sistema sono tutti dello stesso tipo: rapporti tra correnti e tensioni, quindi omogenei con una ammettenza che sii misura in siemens=1/ohm.

Osservazioni

1. Se le impedenze mutue, quindi anche le ammettenze, sono completamente diverse come ordine di grandezza, diciamo Z₁₂ "molto piccola", Z₂₁ "molto grande" si dice che l'ingresso è disaccoppiato dall'uscita mentre l'uscita è molto accoppiata con l'ingresso. E' il caso, ad esempio, degli amplificatori. L'uscita deve risentire molto dell'ingresso in quanto deve riprodurre fedelmente l'ingresso amplificandolo, ed una "piccola" tensione deve produrre una "grande corrente";viceversa l'ingresso non deve risentire dell'uscita, cioè una tensione in uscita deve produrre una "corrente piccola" in ingresso. A rigore gli aggettivi grande e piccolo hanno poco senso, per questo sono stati virgolettati: occorrerebbe un termine di confronto. Ma hanno un valore intuitivo.
2. Nota la matrice di impedenze si può ricavare quella delle ammettenze. Osservando le relazioni matriciali si può osservare che la matrice delle ammettenze è l'inversa della matrice di impedenze

3. Il metodo generale per passare da un insieme di parametri all'altro consiste nell'applicare le definizioni di ogni parametro, risolvendo il sistema in cui compaiono i parametri noti. Nel caso specifico, noti i parametri Z trovare i parametri Y.

Reciprocità e simmetria

• Un doppio bipolo passivo è sempre reciproco.
• Un doppio bipolo simmetrico è anche reciproco

Esercizi

1)

Calcolare i parametri Z ed i parametri Y del doppio bipolo di figura (schema a "T")

L'esercizio si risolve applicando direttamente le definizioni

Soluzione.

Per i parametri Z i calcoli sono semplici anche manualmente (R: Z₁₁= 4 + j    Z₁₂ =  2 - j

  Z₂₁ =  2 - j   Z₂₂ =  3 + 2j ).

Più laborioso è determinare i parametri Y. Con Scilab non ci sono comunque difficoltà: basta invertire la matrice delle Z (R:  Y₁₁= 0.1861314 - j0.1131387    Y₁₂=0.0036496 +j 0.1350365

Y₂₁ = 0.0036496 + j0.1350365i    Y₂₂ = 0.1569343 - j0.1934307)

Ecco il codice che si può copiare ed incollare nella finestra di Scilab per risolvere l'esercizio con qualsiasi terna di impedenze.

//Introduzione resistenze e reattanze

txt=['R1=';'X1=';'R2=';'X2=';'R3=';'X3='];

RX=evstr(x_mdialog('resistenze ed alimentazione',txt,['2';'2';'1';'3';'2';'-1']));

//terna di impedenze a T

Z1T=RX(1)+%i*RX(2)

Z2T=RX(3)+%i*RX(4)

Z3T=RX(5)+%i*RX(6)

//parametri Z per la terna di impedenze a T

ZT=[Z1T+Z3T,Z3T;Z3T,Z2T+Z3T]

//parametri Y  per la terna di impedenze a T

YT=1/ZT

2)

Calcolare i parametri Z ed i parametri Y del doppio bipolo di figura (schema a "PIGRECO")

Soluzione

Risulta molto più agevole trasformare le impedenze date in ammettenze, quindi ricavare i parametri Y (R: Y₁₁=0.32 + j0.56;  Y₁₂=- 0.2 - j0.4; Y₂₁ = - 0.2 - j0.4;   Y₂₂= 0.3724138 + j0.3310345) . Invertendo la matrice dei parametri Y si ha quella dei parametri Z (R: . Z11=2.6597938 - j1.4845361;    Z₁₂=2.7113402 - j0.3505155; Z₂₁=2.7113402 - j0.3505155; Z₂₂= 3.8762887 -j0.7216495)

 Ecco il codice in Scilab

//terna di impedenze

txt=['R1=';'X1=';'R2=';'X2=';'R3=';'X3='];

RX=evstr(x_mdialog('resistenze ed alimentazione',txt,['3';'-4';'5';'2';'1';'-2']));

//terna a PIGRECO

Z1=RX(1)+%i*RX(2)

Z2=RX(3)+%i*RX(4)

Z3=RX(5)+%i*RX(6)

Y1=1/Z1

Y2=1/Z2

Y3=1/Z3

//parametri Y

Y=[Y1+Y3,-Y3;-Y3,Y2+Y3]

//parametri Z

Z=1/Y

Equivalenze: T e Pigreco

Formalmente noti i parametri Z di un qualsiasi doppio bipolo reciproco, si può ricavare il doppio bipolo equivalente a T con le seguenti relazioni

Può però capitare che Z₁ e Z₂ abbiano parte reale negativa, il che significa che il doppio bipolo equivalente non è fisicamente realizzabile con soli componenti passivi R, L, C. Il bipolo equivalente a T ha, in tal caso, solo validità teorica.

Ad esempio con i dati dell'ultimo esercizio si ricavano

• Z_1T  = - 0.0515464 - j1.1340206;
• Z_2T  = 1.1649485 - j0.3711340;
• Z_3T=2.7113402 - j0.3505155   

Formalmente ancora, noti i parametri Y di un qualsiasi doppio bipolo reciproco, si può ricavare il doppio bipolo equivalente a PIGRECO

Può però capitare che Y₃ abbia parte reale negativa, il che significa che il doppiobipolo equivalente non è fisicamente realizzabile con soli componenti passivi R, L, C. Il bipolo equivalente a pigreco ha dunque solo validità teorica in tal caso. E' quello che succede con i dati del primo esercizio

• Y_1P  = 0.1897810 + j0.0218978
• Y_2P  = 0.1605839 - j0.0583942
• Y_3P  = - 0.0036496 - j0.1350365       

Due doppi bipoli sono  equivalenti se hanno la stessa matrice di impedenze o di ammettenze. Si possono allora trovare le relazioni che permettono di passare da un doppio bipolo a T al doppio bipolo a Pigreco equivalente.

Con riferimento alle figure dei precedenti esercizi: 

Viceversa dal doppio bipolo con impedenze o ammettenze a pigreco si ricavano le impedenze ed ammettenze del doppio bipolo equivalente a stella.

Le relazioni trovate ipotizzando grandezze sinusoidali valgono comunque anche per le impedenze ed ammettenze operatoriali, dipendenti cioè dalla variale complessa s, quindi per grandezze comunque variabili.

Doppi bipoli degeneri

sono i bipoli per i quali non è possibile la matrice delle impedenze o delle ammettenze risulta indeterminata. E' invece possibile scrivere la matrice di trasmissione, come vedremo.