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Generatori equivalenti

Articolo n° 1 su 3 del corso "Thevenin forever". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. Generatori equivalenti
  2. Le ragioni dell'uso
  3. Primo esempio
  4. Secondo esempio

Generatori  equivalenti

Una rete lineare tempo-invariante, nella quale siano messi in evidenza due terminali A e B è equivalente, a quei terminali, ad un generatore indipendente di tensione in serie con un'impedenza; la tensione del generatore è uguale (a parte il segno che dipende dalla scelta del morsetto + alla porta AB) alla tensione che si misura a vuoto tra i terminali A e B; l'impedenza è quella che si vede ai morsetti A e B quando siano stati soppressi tutti i generatori.

E' una definizione che fa uso di concetti che devono essere chiari. Li poniamo in evidenza.

·        Rete lineare tempo-invariante: definisce l'ambito di validità del teorema.

·        Lineare significa che vale la sovrapposizione degli effetti , cioè quando ad esempio la tensione tra due qualsiasi punti (o la corrente in un qualsiasi ramo) è la somma algebrica delle tensioni parziali (o correnti parziali) prodotte tra quei due punti (od in quel ramo) dai generatori agenti separatamente. Ogni effetto parziale è legato alla sua causa da una costante di proporzionalità che dipende dagli altri elementi passivi della rete. L'effetto risultante è dunque, matematicamente, una combinazione lineare delle cause. Condizione affinché quanto detto si verifichi è che  le relazioni tra le grandezze tensione e corrente, che descrivono i bipoli che la compongono siano tutte di primo grado, quindi rappresentabili graficamente con una retta.

·        tempo-invariante : i parametri descrittivi (resistenze induttanze capacità) non si modificano durante il funzionamento, sono cioè costanti nel tempo.

·        generatore indipendente di tensione: un generatore capace di fornire una tensione costante, qualunque sia la corrente erogata. 

·        a vuoto: condizione che corrisponde a corrente nulla tra i terminali

·        soppressi tutti i generatori: un generatore di tensione soppresso è sostituito da un cortocircuito, cioè da un bipolo ai cui capi la tensione è nulla, qualunque sia la corrente; un generatore di corrente è sostituito da un bipolo aperto che ha sempre una corrente nulla, qualunque sia la tensione. In una rete di tale tipo la tensione ai capi di un qualsiasi bipolo x,  è la somma delle tensioni prodotte singolarmente dai generatori presenti quando agiscono singolarmente. Tali tensioni sono proporzionali al generatore agente secondo costanti che dipendono dagli elementi passivi che costituiscono la rete. Lo stesso vale per la corrente che attraversa il bipolo x. Se dunque ci sono r generatori ideali di tensione, Ei con i=1,2..,r) ed s generatori ideali di corrente, Ji con i=1,2..,s) la tensione tra due nodi e la corrente nel ramo che li collega sono espresse da relazioni di questo tipo

Nota:

Tensioni e correnti possono essere però comunque variabili nel tempo. Tali grandezze vanno trattate con la trasformata di Laplace. Le impedenze e le ammettenze sono allora in generale rapporti di polinomi nella variabile complessa s (impedenze operatoriali), come i coefficienti dimensionali. In regime sinusoidale saranno numeri complessi ed in continua numeri reali.

Se consideriamo una rete qualsiasi che rientra nella tipologia descritta e mettiamo in evidenza due terminali A,B, quindi immaginiamo di collegarli ad un generatore di corrente I uscente da A,

Th. 1

possiamo scrivere

I generatori ideali di tensione vanno sostituiti con un cortocircuito ed i generatori di corrente con un circuito aperto. Tutta la rete racchiusa nel rettangolo può allora essere sostituita da un generatore ideale di tensione con in serie un'impedenza

Th. 2

Tale possibilità di sostituzione costituisce il teorema di Thevenin :

 Una rete lineare tempo-invariante è equivalente, per quel che riguarda il suo comportamento a due terminali A e B, ad un generatore indipendente di tensione in serie ad un'impedenza. La tensione del generatore è uguale (a parte il segno che dipende dalla scelta del segno + per uno dei terminali) alla tensione a vuoto esistente tra di essi; l'impedenza è quella che si vede dai terminali quando siano stati soppressi tutti i generatori della rete.

La rete è dunque definita, rispetto ai terminali A e B e con le convenzioni adottate per la polarità delle tensioni ed il verso della corrente, , dall'equazione:

Norton

Se si divide la precedente equazione per ZTh , cosa possibile se ZTh non è nulla, cioè se il generatore di Thevenin non è un generatore ideale di tensione, si ha

*  

L'equazione corrisponde al circuito bipolo detto generatore di Norton che, ugualmente a quello di Thevenin, può essere sostituito alla rete.

Th. 3*

Vale la pena ricordare che i due circuiti sono perfettamente equivalenti ma che, la condizione ZTh=0 implica l'esistenza di reti che possono essere rappresentate solo in uno dei due modi:

  • solo Thevenin se ZTh=0;
  • solo Norton se YN0=0,

cioè in quei casi la rete corrisponde, rispettivamente, ad un generatore ideale di tensione o di corrente.

Le ragioni dell'uso

Il teorema di Thevenin è ampiamente usato per due ragioni fondamentali. 

La prima è  pratica. Quando si collega un semplice utilizzatore  ad una rete di alimentazione complessa, ad esempio un elettrodomestico alla rete di distribuzione o, in generale, qualsiasi circuito ad un qualsiasi alimentatore, ciò che interessa conoscere è la corrente che l'utilizzatore assorbirà e la tensione che ci sarà ai suoi terminali. Per farlo non c'è bisogno di conoscere la reale struttura della rete di alimentazione: basta conoscerne il generatore equivalente di Thevenin che, come si è visto, si riconduce a due parametri: la tensione a vuoto, sempre di agevole verifica tra l'altro, e l'impedenza serie. Quest'ultimo è il parametro più difficoltoso da determinare. Per calcolarlo occorre conoscere la struttura della rete e le caratteristiche dei componenti; per misurarla bisogna annullare l'azione dei generatori. Nel caso della rete elettrica, solo il distributore può fornirne con precisione il valore. In genere dà il valore della corrente di cortocircuito nel punto di consegna, che è la corrente del generatore di Norton, da cui si può dedurre l'impedenza come rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito stessa. In punti di impianto distanti dal punto di consegna l'impedenza comprenderà ovviamente la struttura del circuito utilizzatore, la quale sarà tanto maggiore rispetto a quella relativa al punto di consegna, quanto più distanti si è da esso. Quest'ultima poi è anche misurabile, con un loopmetro ad esempio, oppure, se possibile, disconnettendo l'impianto utilizzatore dalla rete e cortocircuitando i terminali in partenza, facendo una misura di impedenza nel punto che interessa.

La seconda è di natura teorica. Il teorema consente di analizzare una rete complessa scomponendola in sottoreti più semplici. Che è ciò che si fa in qualsiasi campo dell'attività umana, tecnica ed non. Qualsiasi sistema complesso è costituito da sottosistemi più semplici che comunicano tra loro attraverso un numero controllabile di informazioni. Chi assembla i sottosistemi per arrivare a costruire il sistema più ampio, non ha la necessità di conoscere in dettaglio il funzionamento di ogni componente, ma solo come esso risponde a sollecitazioni note. Anche il software segue la stessa filosofia: la programmazione ad oggetti è quella che ha permesso l'eccezionale sviluppo informatico di cui siamo testimoni. Gli oggetti software sono programmi a sé stanti utilizzabili da altri programmatori senza che ci sia la necessità di conoscerne la struttura interna. E' "sufficiente" conoscere capire quel che fanno (che a volte è molto difficile purtroppo)

Primo esempio

Determinare il generatore equivalente di tensione visto dai punti A, B nel circuito in corrente continua di figura Th.4

Th. 4

La rete di figura deve cioè essere sostituita con il seguente bipolo di fig. Th.5

Th. 5

Di esso si devono determinare Rth ed Eth.

Calcolo di RTh

Th. 6

Th. 7

Th. 8

Secondo esempio

Determinare il valore efficace della corrente che percorrerà la resistenza R quando essa sarà inserita tra i punti A e B del circuito di figura.

Th. 9

Determiniamo il generatore equivalente di tensione visto tra A e B quando R non è inserita. Per il calcolo di ZTh si annulla l'azione dei due generatori di tensione ottenendo la rete di fitg. Th.10. L'impedenza di Thevenin è il parallelo delle impedenze serie R1+jX1 ed R2-jX2.

Th. 10

Per il calcolo di Eth si determina la corrente di circolazione quindi la tensione esistente tra i punti AB quando la resistenza R non è inserita.

Th. 11

Inserendo ora la resistenza R nel circuito di figura Th.11 otteniamo la corrente su di essa

Per evitare i calcoli manuali ecco il programma di soluzione con Scilab (basta copiare ed incollare nella finestra di Scilab)

R1=12;
X1=10;
R2=22;
X2=6.8;
R=15;
E1=230;
j=%i*1;
E2=150+j*186;
Z1=R1+j*X1;
Z2=R2-j*X2;
ZTh=Z1*Z2/(Z1+Z2)
I=(E1-E2)/(Z1+Z2)
ETh=E1-Z1*I
IRc=ETh/(ZTh+R)
IR=sqrt(real(IRc)^2+imag(IRc)^2)

Riferimenti Bibliografici

Fondamenti di Elettrotecnica -circuiti, Giuseppe Biorci, Ed. UTET 1975

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Commenti e note

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di ,

l'articolo è molto chiaro compresi gli esempi

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