Premessa

E' periodo di esami. Arrivano richieste per la soluzione di esercizi. La nostra redazione non è in grado di far fronte a tutte. Oltre alla dimestichezza con questi tipici problemi scolastici, utili come ginnastica mentale e per questo stimolanti, ma che, in genere, non si presentano esattamente nella forma di quelli con cui ha a che fare quotidianamente un progettista od un installatore elettrico, occorre parecchio tempo per svolgerli. Cerchiamo di fare il possibile. Qualcuno lo svolgiamo con più completezza, se ritenuto interessante, come questo, arrivato proprio mentre si è decisa una raccolta di esercizi sul teorema del generatore equivalente.

L'esercizio

Nel circuito di figura determinare la corrente I sulla resistenza R₂

Immaginiamo di togliere la resistenza R₂ e calcoliamo il generatore equivalente di tensione visto tra M ed N.

Calcolo dell'impedenza Z_Th

Dopo aver annullato l'azione dei generatori il circuito diventa

A prima vista il calcolo sembra laborioso, in quanto non individuiamo immediatamente serie o paralleli e l'eventuale trasformazione della stella di resistenze R₀ in triangolo non ci aiuta granché. Ma se riflettiamo un po' di più, ci accorgiamo che le resistenze R₀ sono escluse dal calcolo. Infatti la resistenza equivalente è data dal rapporto tra una tensione arbitraria applicata tra M ed N e la corrente assorbita. Le tre resistenze R₀ , con questa alimentazione, non possono essere percorse da corrente: i punti A,B,C sono infatti equipotenziali. Diciamo per ragioni di simmetria, che  possiamo capire meglio, se immaginiamo di staccare le tre resistenze R₀ e di applicare una tensione E tra M ed N

Il generatore E alimenta tre serie identiche costituite dall'impedenza Z e dalla resistenza R₁. In ognuna di tale serie c'è dunque la medesima corrente I e le tensioni ai capi delle tre R₁ sono identiche, cioè i punti A, B, C sono allo stesso potenziale. Se ora inseriamo la stella di resistenze esclusa il regime delle correnti non cambia perché si applica un potenziale unico ai tre capi liberi delle R₀, ma non c'è alcuna chiusura perché possa circolare in esse una corrente. Riepilogando avremo

L'impedenza di Thevenin è dunque il parallelo delle tre serie Z+R₁.

Calcolo di Eth

Applichiamo la sovrapposizione degli effetti. Dapprima facciamo agire i soli generatori di tensione.Il circuito da considerare è

La tensione tra M ed N è nulla, essendo M ed N i centri stella di due terne equilibrate alimentate da un sistema trifase di tensioni simmetrico. Tutte le stelle equilibrate di un sistema simmetrico hanno il potenziale del centro stella uguale a quello del centro stella ideale del sistema (il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate)

Facciamo ora agire il solo generatore di corrente.Il circuito da considerare è il seguente

Per le stesse ragioni viste in precedenza nel calcolo della Z_Th , le tre impedenze Z è come non ci fossero in quanto non possono essere percorse da alcuna corrente risultando equipotenziali i tre punti A,B,C. Non essendo percorse da corrente il punto M è pure equipotenziale con A,B, C per cui la tensione tra M ed N prodotta dal generatore di corrente è data dalla tensione ai capi di una qualsiasi delle R₁ che è percorsa da un terzo della corrente del generatore. Nota: nel caso questo metodo così sbrigativo non convincesse si può ricorrere alla soluzione dei sistemi che basati sui principi di Kirchhoff. Vedere in Appendice

In definitiva la corrente I richiesta si calcola con il seguente circuito

Appendice

Proponiamo il calcolo della E_th con il metodo delle correnti di magia e dei potenziali di nodo. I sistemi che ne derivano sono numericamente risolti con uno script Scilab.

Alla corrente I_g si assegna il percorso attraverso le resistenze R₀ inferiore ed R₁ sinistra. L'effetto è quello di far comparire in quei rami i generatori di tensione R₀*I_g ed R₁*I_g

Si scrive quindi il secondo principio di Kirchhoff per ciascuna maglia, ottenendo il sistema rappresentato nella notazione matriciale seguente

Ed ecco uno script Scilab (copiare ed incollare nella finestra di Scilab, oppure sull'editor per eventualmente elaborarlo) per risolvere il sistema usando il metodo di Cramer

Oppure, eccono un altro script, molto più breve poiché si usan l'istruzione apposita linsolve

Ecco i risultati di questo secondo script 

Con il metodo dei potenziali di nodo

Ci sono 6 nodi nella rete. Un potenziale di nodo lo si fissa arbitrariamente a zero. Nel nostro caso V_M=0. Il potenziale di V_N, cambiato di segno, sarà allora la Eth cercata. Per ognuno degli altri nodi si scrive, come noto, il primo principio di Kirchhoff. Di seguito è mostrato più in dettaglio il procedimento matematico seguito per la risoluzione del sistema con Cramer.

Ed ecco lo script  Scilab corrispondente

Questi i risultati

E lo stesso programma usando l'istruzione apposita linsolve

Ecco i risultati prodotti