Segnali analogici segnali numerici (1)

Si definisce  segnale una funzione del tempo che contiene informazioni sull'andamento di una certa grandezza fisica.

La variabile tempo può essere continua o discreta (cioè ad intervalli finiti), così pure il segnale può essere espresso in modo continuo oppure mediante valori discreti. (cioè in numeri reali e finiti).

Si chiamano segnali analogici quelli per cui sia il tempo che l'ampiezza del segnale sono continui, si chiamano invece segnali numerici (o digitali, dall'inglese  digit, cifra) quelli per cui sia il tempo che i valori d'ampiezza istante per istante sono espressi da valori discreti.

Fig.1.1

a)  Segnale analogico  y=f(t)

b) Segnale numerico y_n  definito negli istanti  n×Dt

I segnali numerici sono così costituiti da sequenze di numeri che definiscono l'ampiezza y_n  in ciascun istante   n·Dt ,  dove  n  è  un numero intero   e  Dt   l'intervallo di campionamento. Il valore y_n viene chiamato  campione n.esimo  della sequenza. L'elaborazione numerica dei segnali è una manipolazione matematica delle sequenze così definite per estrarre o modificare le informazioni contenute nel segnale originario. Alcune di queste elaborazioni riproducono il comportamento dei tradizionali circuiti di tipo analogico, ma fra i principali vantaggi di questa tecnica vi è la possibilità di eseguire sui segnali  numerici operazioni che non hanno l'equivalente nella tecnica analogica, ampliandone così le possibilità applicative.

Un semplicissimo esempio di elaborazione di un segnale è il filtraggio, cioè l'effetto dell'applicazione del segnale all'ingresso di un circuito (filtro)  che lascia passare solo frequenze minori di un certo valore  (P.B. =  passa-basso) oppure frequenze superiori ad un certo valore  (P.A. =  passa-alto). La  fig. 1.2  mostra un segnale costituito da una sinusoide a  50 Hz  (fondamentale) a cui è sommata una sinusoide a  150 Hz (terza armonica) di ampiezza ridotta (60% rispetto alla fondamentale) :   applicando questo segnale ad un filtro ideale passa basso <100 Hz e ad un filtro  ideale passa alto >100 Hz si ottiene la scomposizione del segnale  nelle due sinusoidi componenti.

Fig. 1.2   - Scomposizione di un segnale mediante filtraggio

Un procedimento alternativo, di tipo numerico, è l'applicazione dell'analisi armonica di Fourier :  mediante questa è possibile ricavare i valori delle sinusoidi componenti la forma d'onda originale  campionando  quest'ultima in  N  istanti, cioè ottenendo un valore  numerico associato ad ogni istante, ed utilizzando gli  N  valori d'ampiezza così ricavati nell'espressione:

dove A_k  è l'ampiezza della k.esima armonica.

Per applicare questo metodo all'esempio precedente possiamo scrivere un semplice programma in  Mathcad^®  che  svolga  i  calcoli  relativi alla generazione della forma d'onda composta, che campioni poi tale funzione in N istanti e che  ricavi infine le ampiezze delle varie armoniche componenti  utilizzando la formula data.

  Fig. 1.3   -   Programma in Mathcad^â  con commento audio per esemplificare il rilievo delle componenti sinusoidali in un segnale (simmetrico).

Come si vede nell'esempio della Fig. 1.3,  l'ampiezza della fondamentale A₁ risulta uguale ad 1, mentre quella della seconda armonica  A₂  è  0 e quella della terza  A₃  risulta   0.6, esattamente corrispondenti a quanto impostato  nella prima riga della figura stessa, cioè alla forma d'onda originale. Questo esempio, molto semplice, ha il solo scopo di introdurre nelle procedure di elaborazione numerica dei segnali ed in primo luogo all'analisi armonica di questi.

Sinusoidi  e  vettori  rotanti (2)

Una oscillazione armonica sinusoidale può essere vista come la proiezione di un vettore di modulo  A    ruotante nel piano, a velocità angolare costante  w [1] ⁾  (vedi  Fig. 2.1). Partendo dal tempo zero con il vettore orizzontale, ad ogni istante t  il vettore avrà percorso un angolo   wt  e la sua proiezione  sull’asse verticale sarà quindi una sinusoide di ampiezza A, cioè la funzione  A·sen(wt). Se la posizione iniziale del vettore forma un angolo j con l’asse orizzontale, si ha ancora lo stesso andamento della proiezione, ma la sinusoide risulterà spostata di un tempo  j/w ,  cioè risulterà la funzione  A·sen(wt+j). Uno spostamento iniziale di  90° , in radianti p/4 e cioè vettore in posizione verticale, forma una cosinusoide, infatti : A·sen(wt+p/4) =  A·cos(wt)

Fig. 2.1   - Sinusoide  come proiezione di un vettore ruotante a velocità angolare w.

Qualsiasi posizione intermedia  può allora essere vista come una composizione di una sinusoide di determinata ampiezza e di una cosinusoide generalmente di altra ampiezza A·sen(wt+j) = A·cos(j)·sen(wt) + A·sen(j)·cos(wt)

Fig. 2.2  -  La proiezione del vettore A, con fase iniziale j,  come somma   di  una sinusoide  di ampiezza A·cos(j) e di una cosinusoide di  ampiezza  A·sen(j).

Qualunque andamento sinusoidale è quindi rappresentabile  mediante le componenti orizzontale e verticale del suo vettore iniziale di fase j, e mediante la velocità angolare  w  di questo. Per comodità di notazione matematica si può poi considerare tale vettore rappresentato nel piano complesso con l’asse orizzontale reale e l’asse verticale immaginario, quindi far coincidere l’ampiezza della componente cosinusoidale  con l’asse reale e quella sinusoidale con l’asse immaginario.

                      A·cos( j) + j·A·sen(j ) =   A·e ^{j j}

Fig. 2.3   -   Rappresentazione  di un vettore nel piano complesso.

Poiché il vettore ruota a velocità angolare w, ad ogni istante  t  si avrà:

          A·e^jj·(cos( wt) + j·sen(wt)) = A·e^jj·e^jwt = A·e^j·(wt+j)

La rappresentazione in forma esponenziale complessa facilita in qualche caso l’elaborazione matematica, come si vedrà più avanti. Un’ulteriore forma di rappresentazione definisce l’oscillazione armonica  di modulo  A come risultante di due vettori complessi coniugati [3] ⁾  di modulo  A/2  che ruotano alla velocità angolare w, ma in senso contrario uno all’altro.

Fig. 2.4  -  Rappresentazione di un’oscillazione armonica come risultante di due vettori ruotanti in senso opposto. 

In tal caso si chiama  frequenza negativa la rotazione in senso orario del secondo vettore (nome che evidentemente non ha alcun significato fisico), e si ha perciò una simmetria di frequenze positive e negative rispetto alla  frequenza zero.  Si noti che nella Fig. 2.4 l’asse reale è quella verticale e che, data la simmetria, le componenti orizzontali  (immaginarie) si annullano reciprocamente, dando luogo quindi sempre ad un risultato reale. 

Si può cioè scrivere: 

                     A·cos(w·t+j) = (A/2)·e^j·(w·t+j) +  (A/2)·e^-j·(w·t+j)   

Se ne vedrà più avanti l’utilizzazione nei cosiddetti  spettri di frequenza.