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Analisi in frequenza

Articolo n° 2 su 13 del corso "Elaborazione numerica dei segnali". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. Analisi di Fourier
  2. Spettri di frequenza
  3. Spettri di impulsi rettangolari

Analisi di Fourier (3)

Qualsiasi segnale periodico (cioè che si ripete identicamente nel tempo ad ogni periodo P ), è scomponibile in una serie di sinusoidi e cosinusoidi di frequenze multiple di 1/P. Per illustrare il procedimento di scomposizione, si consideri il caso di una forma d'onda definita in N=8 punti equidistanti nel suo periodo. Ponendo tale periodo P=2p[1],l'intervallo di campionamento risulta DT=P/N=p/4.

Supponendo che la forma d'onda considerata (vedi Fig. 3.1) possa essere espressa come somma di 2 sinusoidi (una di ampiezza A1e di periodo 2p [2] , l'altra di ampiezza A2e di periodo p), di 2 cosinusoidi (una di ampiezza B1e di periodo 2p, l'altra di ampiezza B2e di periodo p ), ed infine di una componente continua C, si può scrivere il seguente sistema di equazioni (dove ynè il valore del segnale al tempo n· DT e l'argomento delle sinusoidi e cosinusoidi è w·n· DT) :

Si hanno quindi 8 equazioni e 5 incognite, cioè i coefficienti A1 A2 B1 B2 e C che definiscono le ampiezze delle singole armoniche. Per risolvere tale sistema si osserva che la somma dei valori di seno e coseno per ciascuna colonna dà valore zero ( la media di una sinusoide o di una cosinusoide sul periodo o suoi multipli è infatti sempre zero). Risulta quindi che la somma degli ynè uguale a8 volte C, ed in generalese N è il numero di campionamenti nel periodo si avrà :

Per ricavare gli altri coefficienti si ricorre all'artificio di moltiplicare ogni riga per il termine moltiplicatore del coefficiente. Ad esempio per ricavare A1 si moltiplicano i termini della prima equazione per sen(p /4), quelli della seconda per sen(2p /4), e così via. Sommando ancora per colonne si ottiene che tutte le colonne , eccetto quella delle y e quella degli A1 , risultano uguali a zero. Nella colonna degli A1 la somma dei sen2 dà come risultato 4, ed in generale N/2. Quindi :

Similmente

Lo stesso vale per i coseni, cioè per i coefficienti B, ed in generale si avrà quindi:

e

Il calcolo di questi coefficienti è noto nella letteratura tecnica come DFT (DiscreteFourier Transform) e costituisce appunto l'analisi delle forme d'onda periodiche campionate in N punti, detta anche analisi di Fourier. In questa analisi si evidenziano alcune caratteristiche: innanzitutto il numero di campionamenti N deve essere pari ed il massimo numero di armoniche considerate(qui rappresentate con k ) è K = N/2 -1. Si osserva poi che la componente continua della forma d'onda , cioè il coefficiente C, è uguale a zero se esiste una simmetria fra la parte positiva e quella negativa della forma d'onda stessa ed inoltre che i coefficienti B dei coseni sono nulli se esiste un'antisimmetria (cioè una simmetria con segno opposto) fra parte destra e parte sinistra della forma d'onda rispetto alla mezzeria verticale, cioè alla metà del periodo. Per questi motivi l'esempio dato in Fig. 1.3 risulta composto da sole sinusoidi.Se invece la forma d'onda presenta una simmetria speculare, sempre rispetto alla mezzeria verticale, risultano nulli i coefficienti A dei seni.L'esempio in Fig. 3.1 rappresenta una forma d'onda composta da una costante (C), da due sinusoidi (fondamentale e seconda armonica di ampiezza rispettivamente A1 e A2) e da due cosinusoidi (di ampiezza rispettivamente B1 e B2).

Fig. 3.1-Esempio di scomposizione di una forma d'onda periodica in somma di sinusoidi e cosinusoidi.

Nella figura sono anche rappresentati gli andamenti delle singole componenti in funzione del tempo.Una rappresentazione vettoriale di questa forma d'onda è data dalla Fig. 3.2.Il segnale al tempo t = 0 è la proiezione verticale della somma dei vettori (quindi C + B1 + B2). Il vettore C è costante, mentre i vettori A1 e B1 (e quindi la loro risultante) ruotano in senso antiorario alla velocità w, formando angoli wt rispetto alla condizione iniziale in figura. Così i vettori A2 e B2 e la loro risultante ruotano, sempre in senso antiorario, alla velocità 2w. In definitiva, il segnale al tempo tèsempre la proiezione verticale delle risultanti dalla somma dei vettori ruotanti a velocitàmultiple di w.

Fig.3.2-Interpretazione vettoriale del segnale di Fig. 3.1 al tempo t = 0.

Chiarito il significato dei coefficienti, appare evidente che aumentando il numero delle armoniche considerate (quindi il numero dei coefficienti, cioè K), migliora sempre più la possibilità di ricostruzione del segnale originario. Questo è infatti il risultato delle sommatorie dei coefficienti per le rispettive funzioni di seno e coseno alle varie armoniche, cioè:

Bisogna tuttavia aver presente che K a sua volta è limitato dal numero di campionamenti effettuati sul segnale (problema questo che verrà esaminato in dettaglio più avanti), quindi vi è da rimarcare che per un segnale qualsiasi (non somma di sole alcune armoniche considerate, come si è visto finora) la possibilità di ricostruzione del segnale originario è sempre approssimata. Come esempio di analisi e ricostruzione di un segnale periodico qualsiasi, si può considerare il caso illustrato nellaFig. 3.3 , elaborato in Mathcadâ. Si tratta di un segnale triangolare, con periodo di1 sec, calcolato dal programma in N=256 punti, quindi un valore di yndefinito in ogni istante tn. Il programma calcola poi i coefficienti della serie di Fourier, in particolare la componente continua C , ed i valori di Ak e Bk , cioè le ampiezze delle K armoniche considerate. Come si vede nella figura, sono stati presi in esame due casi di ricostruzione del segnale, il primo con solo due armoniche, il secondo con 16 armoniche. Ovviamente è visibile la differenza di approssimazione nei due casi.

Un ulteriore esempio è dato in Fig. 3.4, dove viene esaminato una semionda di sinusoide parzializzata (tipico caso di un raddrizzatore a diodi controllati).

fig33

Fig.3.3 Esempio di analisi e ricostruzione di una forma d'onda periodica (programma in Mathcad con [commento audio])

Fig.3.4-Programma come nella figura precedente, ma con un segnale asemionda parzializzata


[1]Ciò equivale a porre la velocità angolare w = 1, cioè a svincolarsi dal tempo effettivo ed a considerare quindi gli intervalli di tempo equivalenti a misure angolari(radianti). Ricordando la nota1) del Capitolo 2, si ha infatti cheP=2p/w per cui l'w effettivo è =2p/P, e la scala dei tempi dovrà poi tener conto di questo valore.

[2]Per quanto detto nella nota 1) la w di questa èuguale ad 1 e la sinusoide si definisce fondamentale avendo il periodo uguale a quello del segnale. La successiva haun periodo dimezzato, quindi w=2, e si definisce seconda armonica.

Spettri di frequenza (4)

Il calcolo della serie di Fourier permette come visto in precedenza, di trasformare una tabella di dati, che rappresentano l’informazione del segnale campionato nel tempo, in una diversa tabella di dati che rappresentano il contenuto armonico del segnale. Quest'ultima tabella è rappresentabile in forme grafiche che prendono il nome di spettri di frequenza. Data la possibilità di esprimere in modi diversi l’informazione sul contenuto armonico, nella letteratura tecnica non vi è purtroppo una rappresentazione uniforme e universalmente accettata di tali grafici, per cui può esserne difficile l’interpretazione. Si possono comunque ridurre a tre i principali tipi di rappresentazione degli spettri di frequenza relativi ad un segnale periodico.

-spettro delle componenti immaginarie e spettro delle componenti reali.

In questo caso nel primo grafico vengono riportate sull’asse orizzontale la frequenza delle armoniche considerate (posto a 1 la fondamentale) e sull’asse verticalei coefficienti Ak , cioè l’ampiezza dei seni delle singole armoniche. Poichè nella rappresentazione complessa queste costituiscono la parte immaginaria, questo spettro è indicato come immaginario. Un secondo grafico dello stesso tipo riporta invece la parte reale, cioè i coefficienti Bk del coseno, più il coefficiente C per k=0.

- spettro del modulo relativo a ciascuna armonica e spettro delle fasi iniziali.

Il modulo del vettore corrispondente a ciascuna armonica è

mentre l’angolo di fase è dato da qk = atan (Bk / Ak ).

-Spettro componenti vettoriali rotanti in senso opposto e spettro delle fasi.

Come già accennato alla fine del capitolo 2, ogni armonica può essere vista come la proiezione della somma di due vettori ruotanti sincronicamente in senso opposto, ognuno di ampiezza Mk/2. In questo caso il diagramma completo dovrebbe comprendere anche la parte delle armoniche negative (nel senso di frequenze derivanti dalla rotazione oraria del vettore), ma questa può essere omessa essendo ovviamente simmetrica alla parte positiva, rispetto alla frequenza ‘zero’. La  Fig. 4.1  riporta  gli spettri di frequenza  del  primo tipo, relativi ai segnali delle Fig.  3.3  e 3.4, mentre la Fig. 4.2 riporta gli spettri degli stessi segnali con rappresentazione del secondo tipo. Quest’ultima vale anche per il terzo tipo, con opportuno cambiamento di scala.

fig41

Fig. 4.1- Esempi di corrispondenza fra rappresentazioni di segnali nel tempo e con spettri di frequenza immaginario e reale

fig42

Fig.4.2 -Esempi di corrispondenza fra rappresentazioni di segnali nel tempo e con spettri di frequenza a modulo e fase.

Dal punto di vista strettamente matematico, la trasformazione di Fourier di una forma d'onda y(t) di periodo P in una serie di armoniche può essere vista come la soluzione dell'equazione:

y(t) = m 0 + S (m n · e j n w t + m -n · e -j n w t)

dove w=2· p / P , quindi una costante che rappresenta la pulsazione (rad/sec) dell’armonica fondamentale, e mn è il modulo di un vettore nel piano complesso ruotante alla velocità w,mentre m-n è il vettore coniugato ruotante alla velocità -n·w , cioè in senso opposto. Per la simmetria dei due vettori, l’espressione precedente può essere anche scritta

Il problema consiste quindi nel ricavare la serie mn( con n compreso fra-¥ e+¥) che soddisfa questa uguaglianza .L’artificio matematico che consente la soluzione è di moltiplicare entrambi i membri per e- j·k· w·t e di integrarli nel tempo per il periodo P. Per motivi di simmetria si pone anche lo zero dei tempi a metà periodo, quindi l’integrale risulta fra-P/2 e+P/2.

Si osserva che l’integrale al secondo membro è uguale a P per n = k e uguale a zero per n ¹ k (le aree di sinusoidi e cosinusoidi delle armoniche n·w sono nulle nel periodo P), quindi per ogni n vale:

Questa forma, anche se di scarsa utilità pratica per la difficoltà di risolvere l’integrale per qualsiasi forma d’onda y(t), ha una grande importanza concettuale in quanto consente di generalizzare la soluzione anche per segnali non periodici. Si può infatti osservare che se P tende all’infinito, w tende a zero e le linee che rappresentano le ampiezze del modulo alle frequenze n·w si addensano sino a diventare una superficie continua. Così n perde di significato ed è possibile sostituirew con w nell’equazione iniziale:

e 1/P con Dw/ 2p nell’equazione dei moduli:

Per sostituzione si ottiene:

Ma seP tende all’infinito, allora Dw diventa dw e la sommatoria diventa un integrale:

L’integrale fra parentesi quadra è lo spettro continuo di frequenza ed è generalmente indicato con G(jw).

In definitiva ciò rende possibile la trasformazione di un segnale dal dominio del tempo aldominio delle frequenze (trasformazione diretta) con:

e viceversa dal dominio delle frequenze al dominio del tempo (trasformazione inversa) con:

Quest’ultima forma è anche nota come integrale di Fourier. Ricordando che w=2pf , le trasformazioni si possono anche esprimere in funzione di f .
Nel seguito verranno usate indifferentemente le due forme.

Spettri di impulsi rettangolari (5)

Fra le forme d’onda trasformabili in spettri di frequenza rivestono particolare importanza gli impulsi rettangolari. Questi permettono anche di comprendere meglio il significato fisico del contenuto armonico. Se infatti è ovvio che un segnale perfettamente sinusoidale ha come spettro un solo segmento (l’ampiezza del segnale stesso in corrispondenza della fondamentale), è intuibile che un segnale perfettamente rettangolare abbia una serie infinita di armoniche. La suddivisione del periodo in N intervalli di campionamento influisce però sulla forma dell’impulso e ne limita anche il contenuto armonico. Nell’esempio dellaFig. 5.1 , in cui N=128 , l’impulso ha una forma trapezia, con tempi di salita e di discesa di 1/128 del periodo.Dall’analisi di Fourier si è visto (pag. 10) che il numero K di armoniche ricavabili è ugualea N/2 - 1 , quindi in questo caso oltre alla componente continua si possono calcolare al massimo 63 armoniche. Aumentando N si ha una sempre maggiore approssimazione all’impulso rettangolare, con un conseguente incremento del numero di armoniche. L’ampiezza, o modulo, di ciascuna armonica è rappresentabile nello spettro di frequenza, riportato nel secondo grafico della stessa Fig. 5.1.E’ interessante notare come varia la forma di questo spettro al variare della durata dell’impulso rispetto al periodo. La Fig. 5.2 rappresenta il caso di un impulso di durata doppia e la Fig. 5.3 di durata quadrupla di quello dellaFig. 5.1. Si nota che lo spettro tende a concentrarsi verso lo zero, aumentando i moduli delle frequenze più basse e diminuendo quelli delle frequenze più alte (attenzione alla variazione delle scale verticali). Per approfondire questo argomento si può utilizzare un impulso di area unitaria cioè di durataTe di ampiezza1/T . Supponendo inoltre che il periodo sia infinito (considerando così un solo impulso anzichè una serie di impulsi), si può applicare il metodo d’integrazione di pag. 19, osservando che il segnale y(t) in questo caso ha ampiezza zero fra - ¥ e - T/2, ampiezza 1/T fra - T/2 e + T/2, e ancora ampiezza zero fra+T/2 e + ¥.

Si ha perciò:

fig51

Fig.5.1-Spettro di frequenza (solo modulo) di un impulso di durata2·DT.

fig52

Fig.5.2-Spettro di frequenzanel caso di impulso di durata4·DT.

fig53

Fig. 5.3-Spettro di frequenza nel caso di impulso di durata8·DT.

Ricorrendo alla formula di Eulero( nota 1del capitolo 2 ), il risultato può essere espresso in forma trigonometrica anzichè esponenziale:

   
sen (w·T/2)
G(jw) = ------------
   
w·T/2

La Fig. 5.4 rappresenta appunto la variazione degli spettri continui G(jw) al variare della durata T dell’impulso di area unitaria. Gli spettri sono stati limitati nei grafici fra-1.6 Hza+1.6 Hz , ma la loro estensione va da - ¥ a+ ¥. Estrapolando i risultati dellaFig. 5.4 si possono ricavare due importanti osservazioni. Se la durata dell’impulso tende all’infinito (e quind ila sua ampiezza tende a zero) si ha uno spettro costituito da un solo segmento, di ampiezza 1, in corrispondenza della frequenza ‘zero’. Infatti il segnale è in questo caso ‘continuo’, senza alcuna armonica. Se viceversa la durata dell’impulso tende a zero (e la sua ampiezza all’infinito), si ha uno spettro uniforme, di ampiezza 1, per qualsiasi armonica da- ¥ a+ ¥. Quest’ultimo caso rappresenta la funzione d o di Dirac ( perchè utilizzata da Dirac nella meccanica quantistica), la cui definizione matematica è

e con lo spettro G(jw) = 1

fig54

Fig.5.4-Esempi di spettri continui di impulsi unitari di varia durata.

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