Funzioni  di  trasferimento (6)

Qualsiasi  apparato che  trasformi un segnale del tempo  x(t)  in un altro segnale y(t) sempre funzione del tempo ma generalmente di altra forma, può essere espresso con una funzione che lega, istante per istante, il valore d'uscita a quello di ingresso. Chiamando  H [1] questa funzione, si  può cioè scrivere          

                                               y(t) =  H [ x(t) ]

Se la funzione fosse di tipo algebrico non ci sarebbe alcuna difficoltà a ricavare la y(t) dato qualsiasi andamento di x(t), ma quando questa funzione è di tipo differenziale, cioè comporta derivate o integrali   (come la maggior parte degli apparati reali) non è affatto agevole, salvo casi particolari, esprimere matematicamente tale legame. Fra questi casi particolari vi sono i segnali sinusoidali.  Poichè infatti la derivata e l'integrale di una sinusoide è ancora una sinusoide, se pure con differenti fasi, si può più facilmente ricavare H. Se infatti si riesce ad esprimere H  come funzione delle frequenza, è possibile conoscere quale sarà il segnale d'uscita per ciascuna frequenza  in ingresso. In generale   [2] ⁾  un segnale  x(t) sinusoidale viene trasformato in un segnale  y(t) sempre sinusoidale  ma con ampiezza e fase diverse. Questo è un importante risultato, poichè ricavando con la trasformazione diretta di Fourier il contenuto armonico X(f) di un segnale d'ingresso  x(t)  qualsiasi (purchè periodico), si può prevedere quale sarà il contenuto armonico Y(f) del segnale  y(t) in uscita. In altri termini,  lo spettro  Y(f) è ricavabile dallo spettro X(f)  moltiplicato per la funzione di trasferimento  H(f). Conoscendo il contenuto armonico  Y(f) è infine possibile ricostruire, con la trasformazione inversa di Fourier, il segnale  y(t)  nel tempo.

La  Fig. 6.1  sintetizza questo metodo di utilizzazione delle trasformate di Fourier. La funzione  di trasferimento [3] ⁾  H(f) è anche nota come  risposta in frequenza del blocco.

 Fig.  6.1   -   Schematizzazione dell'utilizzo delle trasformate di Fourier nella determinazione del segnale d'uscita  y(t) dati il segnale  x(t)  e  la funzione di trasferimento  H(f)  del sistema.

Per esemplificarne l'applicazione si può ricorrere al caso citato nel primo capitolo  (Fig. 1.2  e  1.3), in cui il segnale d'ingresso ha uno spettro X(f) composto dalla fondamentale (a 50 Hz e di ampiezza =1) e dalla, terza armonica  (a 150 Hz e di ampiezza = 0.6). Assumendo che il blocco al cui ingresso è applicato questo segnale sia un filtro passa basso ideale  a  100 Hz, la funzione di trasferimento è, per definizione,  uguale ad 1 per le frequenze comprese fra 0 e 100 Hz ed uguale a 0 per tutte le frequenze  >100 Hz. Il prodotto     X(f) = H(f) · X(f)    dà  in questo caso come  risultato  uno spettro composto dalla sola fondamentale, mentre la terza armonica  viene eliminata.La  Fig. 6.2  illustra graficamente il procedimento. Se il blocco fosse invece un filtro ideale del tipo passa alto a 100 Hz   ( H(f) =  0  per    f  < 100 Hz  e  H(f) = 1  per   f  ³ 100 Hz) lo spettro risulterebbe composto dalla sola terza armonica e sarebbe la fondamentale ad essere eliminata.

Fig.  6.2   -   Esempio di applicazione del metodo che utilizza le trasformate di Fourier e la funzione di trasferimento per ricavare l'andamento nel tempo del segnale d'uscita dato l'andamento nel tempo del segnale d'ingresso. [commento audio]

Il  procedimento ora visto consente di ricavare anche  altri importanti risultati. Se il segnale d'ingresso x(t) è costituito da un impulso di area unitaria  e di ampiezza infinita (la funzione d  definita alla fine del capitolo precedente),  si ottiene che il prodotto   Y(f) = H(f) · X(f)    si  riduce a   Y(f) = H(f)   in quanto  lo spettro  X(f) = 1. Possiamo quindi dare un significato fisico alla funzione di trasferimento (o risposta in frequenza) di un blocco, essendo questa corrispondente allo spettro del segnale d'uscita dal blocco stesso quando all'ingresso viene applicato il segnale  d. Altra  importante osservazione è che matematicamente il prodotto di due spettri equivale nel tempo ad una speciale operazione chiamata prodotto  di  convoluzione ( qui indicata con il simbolo  Ä  ), che corrisponde all'integrale nel tempo del prodotto  delle  trasformate inverse di Fourier dei due spettri. Chiamati  A(f)  e  B(f)  i due spettri  e  C(f) il loro prodotto, con a(t) , b(t) e c(t) le relative trasformate nel tempo, valgono infatti le relazioni

C(f) = A(f) · B(f) 

Tale operazione permette  quindi di risolvere direttamente nel tempo  l'equivalente di un prodotto nel dominio delle frequenze. Vale anche l'inverso, cioè il prodotto di due segnali nel tempo comporta la convoluzione nelle frequenze

c(t) = a(t) · b(t)

Se ne vedranno le applicazioni più avanti, tentando anche di dare un significato fisico a questa operazione.

[1] ⁾  Questa funzione  è considerata  normalmente invariabile nel tempo (cioè la sua struttura e i suoi  parametri sono assunti come costanti), ma possono esserci casi per cui ciò non è vero. 

[2] ⁾   Purchè valga il principio di proporzionalità, cioè che ci sia un rapporto fisso ed invariabile fra i valori che può assumere  x  al tempo  t  e i corrispondenti valori di   y. Questo non è sempre vero nella realtà in quanto sono possibili non-linearità o limiti di saturazione che invalidano le soluzioni. Occorre quindi  verificare nelle applicazioni pratiche l'esistenza di tali condizioni, altrimenti si corre il rischio di conclusioni errate.

[3] ⁾ Nella letteratura tecnica per funzione di trasferimento si intende propriamente la funzione con l'operatore s di Laplace ,  che verrà introdotto nel prossimo capitolo. Nella pratica  s  viene poi sempre sostituito da  jw,considerando cioè  la parte che si riferisce alla frequenza, e per questo qui  si accomuna la risposta in frequenza con la funzione  H(f).

Determinazione della ‘risposta’  di  un  blocco (7)

Come si è visto, per ricavare  l’andamento di un segnale y(t) in uscita da un blocco occorre conoscere, oltre al segnale x(t) d’ingresso, anche la funzione di trasferimento del blocco stesso.

Per esemplificare il metodo di determinazione di tale funzione, esamineremo il caso di uno dei più semplici ma anche dei più fondamentali tipi di blocco: il circuito costituito da una resistenza  R  e da un condensatore  C  , rappresentato in Fig. 7.1, e noto appunto come circuito RC.

Fig.  7.1   -   Circuito  RC  come esempio di  blocco di trasferimento

Dall’elettrotecnica si sa che il condensatore  C  funge da integratore della corrente   i_C  che lo attraversa, cioè che la tensione ai suoi capi è  

o, scritta in forma differenziale, 

i _C  =  C ·  dv_c / dt

Inoltre se  v  è la tensione applicata all’ingresso del circuito si ha       v = v_R + v_C   dove   v_R  e v_C sono le tensioni rispettivamente ai capi della resistenza  R e del condensatore C.  Per  la legge di Ohm  è  v_R = R · i_R ,  quindi    i_R = v_R/R   è la corrente che attraversa R. Supponendo che non vi sia prelievo di corrente in uscita, cioè che  i_C = i_R , si potrà in definitiva scrivere l’equazione che governa il circuito nella forma

Si osservi che tale equazione vale per qualsiasi istante t  considerato, quindi per qualsiasi andamento di  v  nel tempo, che può essere indicato come segnale d’ingresso x(t). Ovviamente  v_C  è il corrispondente valore nello stesso istante considerato, ed è quindi possibile indicarne l’andamento nel tempo come segnale y(t) d’uscita. Come si vede, la relazione  H  che lega  y(t)  a  x(t)  è un’equazione differenziale del primo ordine, risolvibile matematicamente solo in particolari casi di segnali  x(t). Fra i più noti metodi di soluzione sono da prendere in considerazione le trasformazioni di Laplace, che consentono di elaborare algebricamente  le equazioni fino a ricavarne forme di cui sono già note le soluzioni. Senza entrare nella teoria matematica delle trasformazioni di Laplace (che sono un’estensione di quelle di Fourier  [1] ⁾ ) è possibile operare in pratica sostituendo  all’operazione di derivazione l’operatore  complesso s  e considerare al posto di  v  e  v_C  le  trasformate  X(s)  e   Y(s)   (vedi  tabella). L’equazione del circuito RC  diventa così     (X(s)-Y(s)) /  R  =  C · Y(s) · s    da cui

Tabella di trasformazioni di Laplace    

Stabilendo  la trasformata  X(s)  corrispondente alla funzione x(t)  che si vuole considerare, è così possibile  calcolare la  Y(s)  da cui poi ricavare la relativa  y(t). Dalla tabella di conversione fra funzioni del tempo e funzioni di Laplace si può rilevare che se la  x(t)  è ad esempio un impulso di area unitaria e di ampiezza infinita (cioè la funzione d )  allora   X(s) = 1   (analogamente a. quanto visto a pag. 27).   Ciò comporta che    Y(s) = H(s)  , cioè la trasformata di Laplace del segnale d’uscita risulta uguale alla funzione di trasferimento.  La  y(t)  sarà dunque l’antitrasformata  di questa, che nel caso del circuito RC in esame è, come si è visto,   H(s) = 1 / (1+R·C·s). Dalla tabella  si ha  che l’antitrasformata di   1/ (s+a)   è    e ^{- a t} , perciò se si pone T = R·C   [2] ⁾ , con   a = 1/T  si ottiene:

                                                                                     y(t)= (1/T) · e ^{- t /T}  

Fig. 7.2   -   Risposta del circuito RC all’impulso unitario di ampiezza infinita (in realtà il grafico rappresenta un impulso finito, di ampiezza =100) .  La costante di tempo  è  T=20 

Considerando un secondo caso di  x(t)  questa volta con andamento a gradino unitario anzichè ad impulso, si  ha    X(s) =  1/s. La nuova   Y(s)   è allora     (1/s) · ( 1 / (1+T·s))   che può essere scomposta nella somma di termini    1/s  -   1 / ( s  + 1/T). Antitrasformando ciascun termine si ha       y(t) =  1 - e ^-t/T  , cioè un esponenziale che tende a 1 [3] ⁾.

Fig. 7.3- Risposta del circuito RC al gradino unitario.

Considerando infine il caso di segnale sinusoidale,  x(t) = V · sen (wt), si ha la trasformata   X(s) =V · w / (s² + w²). Quindi     Y(s) = V · w / [(s² + w²) · (1+T·s)]  . Anche in questo caso è possibile ricondurre l’espressione ad una somma di termini del tipo

K1 · s / (s² + w²)       K2 / (s² + w²)        K3 / (s+a)

Ricavando algebricamente  K1, K2 e  K3 , si può scrivere

Y(s) =   [ V / (1+ T²·w²)]·[-T·w·s/(s²+w²)+ ·w/(s²+w²)+T²·w/(1+T·s)]

da cui antitrasformando si ottiene

y(t)  = [ V / (1+ T²·w²)]·[-T·w·cos(wt) + sen(wt) + T·w·e^-t/T]

Al termine del transitorio ( teoricamente all’infinito, ma in pratica  quando  e^-t/T  diventa trascurabile) rimangono i termini in seno e coseno, esprimibili, per quanto già noto, nell’equivalente forma vettoriale:

y(t) =  M · sen (wt +q)
dove
e    q = arctan (-T·w)

Fig. 7.4   -   Risposta del circuito RC ad un segnale sinusoidale. [commento audio]

Quest’ultimo caso è particolarmente importante perchè rappresenta il modo in cui il blocco modifica i segnali sinusoidali in funzione della loro frequenza. Si è cioè determinata la funzione  H(f) necessaria per l’applicazione delle trasformazioni di Fourier al circuito RC. La funzione di trasferimento H(f)  può essere rappresentata come uno spettro (infatti come si è visto costituisce  Y(f) quando  x(t) è la funzione d), ma è più tradizionalmente rappresentata in altre forme, quali  il diagramma di Nyquist  e i diagrammi di Bode. Il diagramma di Nyquist non è altro che la rappresentazione nel piano complesso del vettore  corrispondente a ciascuna frequenza. La Fig. 7.5 riporta tale diagramma per il circuito RC (l’asse verticale è immaginario, mentre quello orizzontale è reale).