L'introduzione del concetto di spettri continui ci ha permesso di risolvere matematicamente  il  problema  dell'ottenimento della risposta nel tempo, dato un certo segnale d'ingresso, ma solo con determinate funzioni.

Il metodo che utilizza gli spettri discreti, pur approssimato, consente invece di ottenere la risposta per qualsiasi forma del segnale, purchè periodico.

Come si è visto, l'analisi di Fourier che determina il contenuto armonico del segnale consente approssimazioni sempre più spinte più punti di campionamento vengono presi in considerazione.

In altri termini si ha maggior precisione  più è piccolo il tempo fra un campionamento e il successivo, e di conseguenza più si allarga la banda delle frequenze calcolate.

A parte la limitazione pratica dell'aumento del tempo di calcolo richiesto per ottenere una certa precisione, non vi sono problemi nell'aumento delle frequenze di campionamento.

Sorgono invece problemi quando la frequenza di campionamento è troppo piccola, cioè dello stesso ordine di grandezza delle componenti armoniche del segnale considerato.

Limiti in questo senso derivano dalla considerazione che il campionamento a frequenza  f_c (= 1/DT)  di un'armonica di frequenza  f  non può essere distinta  dal campionamento di armoniche  con frequenze multiple  f + n· f_c  , dove  n  può essere qualsiasi numero intero, sia positivo che negativo.

La  Fig. 8.1  illustra  questa asserzione, mostrando una frequenza di 1 Hz  campionata a  6 Hz  (quindi in 6 intervalli  DT  = 1/6  sec), paragonata ad una frequenza  di  7 Hz  sempre con il medesimo campionamento.

Fig. 8.1 - Ambiguità nel  campionamento

Come si vede  i  campionamenti  coincidono, quindi vi è un'ambiguità intrinseca nella valutazione della frequenza e si constata che gli stessi campionamenti possono rappresentare indifferentemente 1, 7, 13 .... Hz  (come pure  -5, -11, ecc).

Visto nella rappresentazione spettrale questo equivale  a  ‘repliche' dello spettro originale, distanziate fra loro di  f_c , come nella Fig. 8.2

Fig. 8.2   -   Un'armonica  f  viene replicata nello spettro a multipli di f_c

Ciò può portare a gravi conseguenze perchè se lo spettro del segnale originale è più largo di   f_c/2  si può avere l'introduzione nello spettro stesso di frequenze estranee, dovuta alla sovrapposizione degli spettri replicati adiacenti.

Questo fenomeno è noto come  aliasing  (da alias, altre, sottointendendo frequenze), ed è la base del  teorema del campionamento  (sampling  theorem o criterio di Nyquist).

Questo stabilisce che la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza della più alta armonica nello spettro del segnale, di cui non sia trascurabile l'ampiezza.

Se   f_max   è questa frequenza ed  f_c  quella di campionamento, si genera una ‘frequenza di battiamento'     f_b  = f_c - f_max  .

Perchè  questa  non  entri  entri   nello spettro  originale del  segnale   deve   essere      

 f_b  ³  2 f_c  , quindi      f_c - f_l  ³  f_max  ,   da cui     f_c ³  2 f_max.

La Fig. 8.3  mostra  casi   a diverse frequenze di campionamento, supponendo di forma triangolare lo spettro del segnale convertito.

Fig. 8.3   -   La replica degli spettri e possibile sovrapposizione (aliasing)

Per evitare l'effetto di aliasing si ricorre ad un filtro (detto appunto anti-aliasing) che, prima della conversione Analogico/Digitale del segnale, tagli sicuramente le frequenze dello spettro originario superiori a  f_c/2 (detta frequenza di Nyquist).

Fig. 8.4    -    Effetti della frequenza di campionamento  sullo spettro del  segnale

Un esempio più concreto è dato dalla Fig. 8.4, che mostra il caso di un segnale ad andamento triangolare, di frequenza 1 Hz, convertito a varie frequenze di campionamento.

In ciascuno dei casi esaminati si ha una serie di valori   y_n  (con  n = 1...N, dove N è il numero di campionamenti nel periodo [1] ) che vengono utilizzati nell'analisi di Fourier per ricavare i coefficienti  visti nel capitolo  3:

dove  k è il numero dell'armonica presa in considerazione e nel caso della Fig. 8.1  varia  da 1 a  20.

Dal primo spettro, con  N  corrispondente a  40, è evidente che  le armoniche significative sono le prime quattro e che la ricostruzione con le prime 16 armoniche darebbe un risultato quasi perfetto (la Fig. 3.3 rappresenta  questa ricostruzione).

Per comodità si ricorda che la ricostruzione del segnale nel tempo dati i coefficienti  di  K  armoniche (vedi capitolo 3) è:

Nel secondo caso, con  N = 20 e indicato con yr2 nella Fig. 8.5, si incomincia a vedere l'effetto di aliasing che, interessando solo le armoniche oltre la sesta (quindi quelle di minore ampiezza), non influiscono significativamente sulla ricostruzione del segnale.

Il terzo caso (yr3), con  N = 10,  mostra una distorsione anche nella terza e quarta armonica, distorsione ancor più evidente nell'ultimo caso (yr4) con  N = 5.

Applicando il criterio di Nyquist prima illustrato,  se  nel caso considerato sono significative le prime quattro armoniche, dovrebbe essere utilizzata come minima frequenza di campionamento il doppio della quarta armonica, cioè  8 Hz  (DT=0.125 sec).

La Fig. 8.5 mostra quindi l'effetto di distorsione del segnale ricostruito, dovuto all'aliasing, cioè alla sovrapposizione dello spettro ‘replicato' sullo spettro originale,

Si noti che il numero di punti  N  del segnale   yr_n  ricostruito può essere diverso da quello del segnale originario  y_n  , e nella Fig. 8.5  è  N = 20  (sempre con  n=1...N).

Fig. 8.5   -   Effetto di distorsione per aliasing nelle ricostruzione del segnale

Nei tre casi di ricostruzione della Fig. 8.5 varia soltanto il parametro K, cioè il numero di armoniche effettivamente considerato  nella ricostruzione.

Con  K = 2  si prendono in considerazione solo la prima e la seconda armonica, il che è il massimo permesso dal criterio di Nyquist essendo la frequenza di campionamento di 5 Hz.

Per evitare che anche queste siano distorte occorre però  porre un filtro anti-aliasing che elimini, prima della conversione in valori digitali, tutte le frequenze superiori ai  2 Hz

I casi di   K = 3  e   K = 4   mostrano cosa accadrebbe se non si tenesse conto del criterio di Nyquist.

A conclusione di questo esempio si può dunque dire che la forma d'onda triangolare considerata può essere convertita con una buona approssimazione da una frequenza di campionamento minima di  10 Hz  (8 Hz è il minimo teorico), purchè si provveda un filtro anti-aliasing che tagli le frequenze del segnale d'ingresso superiori a  4 Hz.

In generale però si deve concludere che non vi è una regola fissa per determinare  ‘a  priori'  la frequenza minima  di campionamento, se non si  conosce già il contenuto armonico (ovviamente ottenuto con una frequenza di campionamento  sicuramente alta rispetto a quella del segnale).

Inoltre gli effetti di aliasing non sono  le uniche cause d'errore nella conversione di un segnale reale, cioè fisicamente rappresentato da un andamento continuo (analogico) nel tempo e non da una funzione matematicamente nota, come visto finora.

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[1]In questo esempio, dato che il periodo è 1 sec, il numero di campionamenti N  coincide con la frequenza di campionamento.

Campionamenti asincroni

La conversione di un segnale fisico dalla forma analogica alla forma digitale richiede un sistema come in Fig. 9.1.

Il filtro anti-aliasing è opzionale, mentre il  convertitore A/D (Analogico/Digitale), che normalmente è costituito da una scheda elettronica, è necessario alla trasformazione dei valori analogici istantanei  y(t) (normalmente una tensione elettrica) in una serie di valori numerici   y_n  opportunamente codificati per essere acquisiti  da un apparato elettronico digitale, quale ad esempio un calcolatore.

 

Fig. 9.1   -   Configurazione di conversione analogico/digitale di un segnale

Il convertitore ha un suo ciclo di conversione, ha quindi una frequenza di campionamento che è asincrona  rispetto al periodo del segnale in ingresso (sempre supposto periodico).

Pur continuando a supporre, per il momento, di conoscere il periodo P di  y(t)  e di poter predisporre la frequenza di campionamento  f_c  del convertitore ad un esatto multiplo della frequenza fondamentale  f (=1/P) , non  è possibile garantire che il primo campionamento coincida con l’inizio del periodo del segnale, come supposto sinora.

Il possibile sfasamento degli intervalli di campionamento rispetto al periodo del segnale è una nuova causa di errore nella conversione.

Se si considera infatti l’armonica  f_max  (precedentemente definita come la più alta armonica significativa dello spettro) campionata alla frequenza  f_c = 2·f_max  è semplice riscontrare che l’ampiezza rilevata dipende non soltanto dall’ampiezza effettiva dell’armonica, ma dipende in modo prevalente dallo sfasamento  di  f_c  rispetto  f_max  .

Per esaminare un caso concreto, ci si può riferire  all’esempio di onda triangolare della  Fig. 8.4, che è la stessa analizzata nella  Fig 3.3.

Si è visto in questo caso che l’armonica  f_max  è la  quarta  ( k=4 ), e ricavando dalla tabella della Fig.3.3 i coefficienti  A_k  (=0.0188)  e  B_k  (=-0.0137), si può rappresentare questa armonica come in Fig. 9.2.

 L’ampiezza effettiva dell’armonica  corrisponde al modulo

e la sua fase iniziale (rispetto all’inizio del periodo)  è q_k  =  atan (A_k / B_k).

La  frequenza è f_max = 4 Hz, e quella di campionamento è   f_c = 8 Hz. 

La Fig. 9.2 mostra poi tre casi di campionamento  a diverso sfasamento  j  fra le due frequenze.

Fig. 9.2  -  Effetto dello sfasamento fra armonica e campionamento nella determinazione dell’ampiezza dell’armonica stessa.

Il primo caso si riferisce al campionamento senza sfasamento,  cioè con il primo rilevamento corrispondente all’inizio del periodo effettivo (la fase iniziale della quarta armonica risulta   q ₄ =.994 rad @ 37 msec) e ripetizione a multipli di 250 msec.

Questa scansione darebbe un’ampiezza di  .0188 (anzichè l’effettiva  che è .0233).

Se però  si anticipano i  cicli di scansione, introducendo un certo sfasamento fra periodo e campionamento, si vede che è possibile ottenere qualsiasi ampiezza compresa fra zero ed il massimo, pur mantenendo sempre  la stessa frequenza  di campionamento.

In particolare  si può constatare che con  j = p/2  -  q ₄  si ottengono campionamenti in corrispondenza dei massimi (secondo caso), e con   j =  -  q ₄  si ottengono campionamenti in corrispondenza degli  zeri (terzo caso)..

Ciò significa che, variando l’inizio del campionamento, si ha un errore nella valutazione dell’ampiezza che varia da 0 al 100%.

Trattandosi dell’ultima armonica significativa dello spettro, questo può sembrare non così importante, ma in effetti tutte le armoniche sono affette, anche se in modo minore, dall’errore d’ampiezza.

Ma, oltre all’errore d’ampiezza,  tutte le armoniche del segnale convertito sono soggette anche ad un errore di fase, sempre dovuto all’intervallo DT di campionamento.

La  Fig. 9.3  mostra  l’effetto di  sfasamento di un’armonica ad 1 Hz  campionata ogni  100 msec, cioè a 10 Hz.

Lo sfasamento è in questo caso di 36°  (360° / 10).

Fig. 9.3   -   Effetto di sfasamemto di un’armonica dovuto all’intervallo di campionamento    

Ma ancora peggiore è l’effetto di una frequenza di campionamento non multipla  della frequenza del segnale. 

La Fig. 9.4 rappresenta il caso di un segnale sinusoidale a  7 Hz campionato ogni 25 msec, cioè a  40 Hz. 

Fig. 9.4   -   Effetto di un campionamento con  frequenza non multipla di quella  del  segnale.

Estendendo il campionamento a più cicli (7 nel caso considerato), si nota che  ogni ciclo ha una diversa scansione, ciò significa che se si limitasse l’esame ad un ciclo si avrebbero campionature diverse per ognuno dei cicli.

Persino la misura del periodo (quindi della frequenza) risulterebbe diversa a seconda di quale periodo si prendesse in considerazione.

Tutte queste considerazioni pongono in risalto che  la semplice osservanza del criterio di Nyquist  non garantisce affatto una precisa definizione  nella conversione di un segnale.

In realtà il teorema del campionamento dice solo che con la frequenza di Nyquist si possono evitare gli effetti di aliasing, ma non dice quali siano gli effetti sull’ampiezza, fase e frequenza del segnale convertito, rispetto all’originale.

Anche se spesso non evidenziati nei trattati teorici, tali errori possono però in pratica compromettere il risultato di un’applicazione concreta, ove questi non vengano correttamente valutati.

Soprattutto l’ultimo caso esaminato pone problemi sul  periodo di campionamento, cioè su quanto estesa debba essere l’osservazione, oltrechè quanto fitta  questa debba essere.