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Osservazione del segnale

Articolo n° 5 su 13 del corso "Elaborazione numerica dei segnali". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. Intervalli di osservazione
  2. Osservazioni di segnali mediante finestre

Intervalli di osservazione

Per l'analisi di Fourier si è finora considerato come intervallo temporale entro cui prelevare gli  N  valori del segnale distanziati fra loro  DT ,  il periodo  P  del segnale da convertire,  essendo   P =  N · DT.

Tale periodo coincide con quello dell'armonica fondamentale, dunque il suo inverso rappresenta la frequenza di base (fondamentale) della serie di Fourier e di conseguenza tutte le altre  armoniche sono multipli interi di questa.

Il fatto, più volte sottolineato, che per l'analisi di Fourier  il segnale debba essere rigorosamente periodico, estende però di fatto tale analisi a tutto il possibile campo temporale.

Ciò si esprime matematicamente dicendo che il tempo t  varia da  -¥  a  +¥, suddiviso in un numero infinito di periodi  P, in cui il segnale si ripete identicamente e la cui conversione in frequenza dà luogo ad uno spettro discreto  di  N/2  armoniche.

Si è poi visto che se  DT  tende a zero, N  tende all'infinito e quindi lo spettro tende a diventare continuo, ma si è visto anche che se al contrario la frequenza di campionamento  fc  diventa troppo bassa rispetto a quella del segnale,  le repliche dello spettro, distanziate fra loro di  fc , possono introdurre  nello spettro stesso delle frequenze estranee, cioè aliasing.

La conoscenza del periodo del segnale ed il sincronismo dei campionamenti con tale periodo assunti finora, sono condizioni molto restrittive per l'effettiva applicazione alla conversione di un segnale qualsiasi, generalmente sconosciuto a priori .

Ci si deve quindi porre  il problema della osservazione di un segnale in un intervallo di tempo  T  non necessariamente coincidente sia come durata che come posizione con il periodo  P  del segnale stesso.

La  Fig. 10.1  mostra un segnale sinusoidale  x(t)  di ampiezza unitaria e di frequenza 1.8 Hz  esaminato in un intervallo di  2 sec, con una frequenza di scansione così elevata da poter considerare gli spettri risultanti praticamente continui.

L'intervallo di tempo di osservazione può essere visto come un impulso rettangolare  di ampiezza unitaria g(t) , di cui è già nota la forma dello spettro (vedi il capitolo 5), che ‘modula' in ampiezza il segnale x(t), generando il segnale y(t).   In termini  matematici : 

y(t)  = x(t) · g(t).

I contenuti armonici, cioè gli equivalenti in frequenza, sono   X(f)  ( praticamente una sola armonica a 1.8 Hz ) e  G(f), rappresentata dalla funzione   sen(p·f·T)/p·f·T , con zeri corrispondenti a multipli di  1/T.

Si noti che per necessità grafiche  l'asse dei tempi è stato limitato  a  4 sec (da -2 a +2), ma deve intendersi esteso fra  -¥ 

e  +¥, e l'asse delle frequenze è stato limitato fra 0 a 4 Hz, ma dovrebbe  essere completato con la regione simmetrica  da 0 a  -4 Hz , e dovrebbe essere esteso almeno fra  -fc   e   +fc.

 

Fig. 10.1   -   Intervallo di osservazione di un segnale.

La  Fig.10.1  mostra  chiaramente  che un prodotto di funzioni nel tempo corrisponde ad un prodotto di convoluzione nelle frequenze.

Si osserva infatti che lo spettro del segnale y(t) risultante dalla combinazione  di  x(t)  con  g(t),  è    Y(f) =  X(f) * G(f)  e poichè   X(f)  si può considerare costituito  da una sola frequenza (1.8 Hz),  Y(f)  risulta praticamente una duplicazione  di  G(f)  spostata di 1.8 Hz.

Si osserva ancora che la larghezza della cuspide centrale dello spettro corrisponde a  2/T,  ciò significa che più largo è l'intervallo di osservazione T  più stretta è la banda che definisce la frequenza del segnale.

Viceversa più stretto è T , più incerta è la stima della frequenza. [1]

La  Fig. 10.2  illustra più dettagliatamente questa dipendenza,  mostrando come varia lo spettro di una frequenza di 4 Hz al variare del tempo di osservazione da  2  a  1  e  a   0.5 sec.

 Fig. 10.2   -   Influenza della durata dell'intervallo di osservazione sullo spettro del segnale.

I casi esaminati nelle  Fig. 10.1  e  10.2  hanno in  comune un'elevata frequenza di campionamento (DT @ 1 msec, quindi  fc  @ 1 kHz) che rende praticamente continuo l'andamento nel tempo dei segnali considerati.

Considerando poi per il calcolo degli spettri di frequenza un'estensione del  tempo di osservazione da  -4 a +4 sec (il doppio rispetto a ciò che è rappresentato nei grafici, ma che dovrebbe essere teoricamente fra  -¥  e  +¥,), si  ottengono andamenti praticamente continui anche degli spettri di frequenza.

Vi è infine da sottolineare che un rapporto dell'ordine delle centinaia fra la frequenza fc di campionamento  e la frequenza  f  dei segnali elimina in pratica qualsiasi effetto di aliasing.

Si ritiene però opportuno esaminare il caso più realistico di piccoli rapporti, quindi di spettri decisamente discreti.

La  Fig. 10.3  mostra il caso di una frequenza   f = 1.5 Hz  campionata  in  N = 20 punti per un tempo  T = 2.5 sec.

Fig. 10.3   -   Esempio di campionamento a bassa frequenza.

La frequenza di campionamento risulta   fc = N/T = 8 Hz   (  DT=125 msec ), quindi la frequenza di Nyquist è fc/2 = 4 Hz e questa è la banda che si ripete specularmente a destra e a sinistra per tutta la gamma che si prende in considerazione.

Ciascuna frequenza è distanziata di  Df = 1/T = 0.4 Hz ( la banda è composta da  N/2 = 10  frequenze).

Per il campionamento a frequenze relativamente basse, si possono in definitiva trarre le seguenti conclusioni:

  • anzichè stabilire la frequenza di campionamento  fc  è opportuno stabilire  l'intervallo di osservazione  T  ed il numero  di campionamenti   N  (che ovviamente deve essere intero).  Da  questi  si  ricava    f =  N/T
  • ogni campionamento del segnale nel tempo risulta distanziato dal precedente di  DT = T/N  (=1/fc).  Ciò  determina  la  ‘densità'  dei rilievi, quindi l'accuratezza con cui il segnale viene acquisito.
  • la scelta di  T  influenza  la  ‘densità'  dello spettro. Infatti ciascun  valore di  frequenza risulta distanziato  di   Df  =  1/T.  Un intervallo di osservazione troppo breve distanzia le varie armoniche, rendendo meno significativi i singoli valori.
  • la scelta di  N  influenza il numero di armoniche  della  banda di base, che si estende da  0  a   fc /2  (frequenza di Nyquist).  Il loro numero è infatti   N/2. Al di là di tale banda (sia in positivo che in negativo)  lo spettro base si replica specularmente, non aggiungendo alcuna informazione, ma anzi distorcendo un eventuale segnale ricostrito, in cui venissero prese in considerazione anche queste  frequenze. 
  • il valore di  fc   determina il passo di ripetizione dello spettro, con pericoli di sovrapposizione (cioè di aliasing) dello spettro base con quelli replicati.

[1] Questo fatto è alla base del  principio  di  indeterminazione  di Heisenberg, che nella fisica delle particelle considera la natura ondulatoria della materia. Se si cerca di determinare più accuratamente la posizione di una particella, l'informazione sulla sua velocità diminuisce.

Osservazione  dei  segnali  mediante  ‘finestre’

Si è visto che lo spettro di frequenza risultante da un segnale dipende anche dal tempo di osservazione  T.

La  Fig. 10.3  può essere scelta come punto di partenza per un’indagine più approfondita  sulla distorsione, in funzione di  T, del segnale ricostruito.

In tale figura è rappresentato lo spettro di un segnale  sinusoidale  f = 1.5 Hz, convertito per un intervallo  T = 2.5 sec. Poichè il numero di campionamenti scelto è  N = 20, si ha  fc = N/T = 8 Hz, quindi la banda base dello spettro è  compresa fra  0  e  4 Hz, con   N/2 = 10  frequenze discrete, distanziate fra loro di  0.4 Hz.

Il segnale ricostruibile  con tale spettro è quindi  la somma di  10 armoniche, di cui quella più significativa è  di  1.6 Hz.

Se il tempo  T  fosse stato esattamente uguale a  1/f  (o a un suo multiplo), lo spettro base sarebbe costituito dalla sola frequenza  f . Questo è infatti il caso particolare per cui  l’intervallo di osservazione  T uguaglia il periodo  P del segnale (indipendentemente dal fatto che i due coincidano o siano ‘sfasati’).

In tutti gli altri casi  dobbiamo considerare  che il segnale ricostruito tenderà a riprodurre solo la parte del segnale originario campionata nell’intervallo  T.

Se per esempio si assume  T = 1 sec, come in Fig. 11.1, si osserva solo un periodo e mezzo del segnale sinusoidale di  1.5 Hz.

La ricostruzione  mostra  ovviamente notevoli discontinuità agli estremi.

Assumendo  T = 3 sec (vedi ancora la  Fig. 11.1) si ha ancora discontinuità, ma questa è attenuata per l’effetto di un’osservazione più prolungata.

Si noti che per mantenere costante il campionamento  fc si è opportunamente adeguato in ciascun caso il numero   N  di campionamenti  ( rispettivamente 8 per 1 sec e  24 per 3 sec).

Il fatto che  lo spettro di un segnale sinusoidale campionato in un tempo discreto e non uguale al periodo del segnale, risulti  composto da più armoniche deriva, come visto nel capitolo precedente, dal prodotto di convoluzione delle frequenza del segnale per lo spettro dell’impulso rettangolare di ampiezza unitaria corrispondente all’intervallo di osservazione.

Questa  dispersione spettrale (nota nella letteratura tecnica come spectral  leakage) è quindi causata  dalla  finestra’ (window) con cui si osserva il segnale.

Fig. 11.1   -     Esempi di distorsione nelle ricostruzione del segnale in funzione del tempo di osservazione.

Per ridurre la  discontinuità del segnale agli estremi  dell’intervallo di osservazione è pensabile di ricorrere ad altre forme di finestre, diverse da quella rettangolare.

La  Fig. 11.2  mostra  l’ultimo caso trattato, con la semplice sostituzione della forma della finestra da rettangolare a triangolare.

            Fig. 11.2   -     Utilizzo di una finestra triangolare anzichè rettangolare.

Come si vede,  lo spettro risulta in pratica ridotto a due sole armoniche della stessa ampiezza, una a 1.333 Hz  e  l’altra  a  1.666 Hz  (valori  multipli di  1/T, essendo  T=3 sec), mentre le altre sono trascurabili.

 La forma d’onda ricostruita nel tempo è una sinusoide a 1.5 Hz (come l’originale), ma modulata in ampiezza  con un periodo che è funzione della differenza fra le due componenti [1]  

  Fig. 11.3   -   Ricostruzione  del  segnale della  Fig. 11.2.

L’esempio di ricostruzione in  Fig. 11.3 , con la compensazione della finestra utilizzata, è puramente indicativo per mostrare le possibilità di calcolo, ma l’utilizzazione di finestre non ha certamente lo scopo di  migliorare il segnale ricostruito, quanto quello di permettere una più significativa interpretazione dello spettro.

La tecnica delle finestre di osservazione (windowing), consente infatti di far risaltare le frequenze significative del segnale, attenuando invece quelle derivanti dalla limitazione del tempo di campionamento.

Numerosi autori hanno proposto forme diverse di finestre d’osservazione, per cui la letteratura tecnica è ricca di alternative.

La  Fig. 11.4  mostra le forme che risultano generalmente le più adottate in pratica.

Eccetto la triangolare, tutte le altre finestre hanno una forma a campana con un effetto più o meno accentuato sulla riduzione delle armoniche laterali.

La finestra di Kaiser, basata sul rapporto fra funzioni di Bessel e quindi di più difficile calcolo, ha un coefficiente (qui indicato con  a) che permette di allargare o restringere la forma a campana. Ciò permette una maggior flessibilità  d’utilizzazione, quindi una possibilità di ottimizzare la forma dello spettro risultante

Fig. 11.4   -     Tabella delle più comuni finestre di osservazione

A titolo d’esempio applicativo si riporta in  Fig. 11.5 il caso di un segnale composto da due frequenze, rispettivamente 12 e 18 Hz, in cui le ampiezze sono di  1 e  0.05.

Data la grande diversità di ampiezza è opportuno ricorrere ad una scala logaritmica, quindi esprimere le ampiezze in decibel (dB), come già visto a pag. 34.

Gli spettri della figura sono riferiti  ad un livello di -40 dB, cioè ad 1/100. In tale scala l’ampiezza dell’armonica a 18 Hz risulta di   20·log(0.05)= -26 dB, mentre ovviamente quella a 12 Hz  è  20·log(1)=  0 dB. 

Fig. 11.5   -     Esempio di utilizzazione della finestra di Kaiser .

Con una finestra rettangolare di 1 sec (cioè considerando direttamente i valori  rilevati dal campionamento della durata di 1 sec ), si ha uno spettro esatto.

Infatti  T=1 sec corrisponde ad una scale di frequenze multiple di  1 Hz, quindi le due frequenze  originali sono perfettamente identificate.

Ciò è evidentemente un caso, ma in generale sarà più probabile avere uno spettro con dispersione (leakage). Se per esempio la frequenza f1 fosse 12.5 Hz, anzichè esattamente 12,  si avrebbe il secondo spettro di  Fig. 11.5.

Per evitare la dispersione sarebbe in questo caso necessaria una finestra rettangolare di  T=2 sec oppure, almeno per ridurla, ricorrere  ad una finestra  sempre di 1 sec ma di tipo  a  campana.

Utilizzando una finestra di tipo Kaiser, cioè moltiplicando ciascuno dei 128 valori del segnale rilevati  in 1 sec di osservazione per il  corrispondente valore  wn  di detta  finestra, si ottiene il terzo spettro della  Fig.11.5 in cui, malgrado le notevoli attenuazioni introdotte, si possono individuare chiaramente le frequenze originali. 


[1] Se  f1  e  f2  sono due frequenze di ampiezza unitaria, la loro somma  produce una frequenza di valore uguale alla loro media, modulata in ampiezza con una frequenza che è la metà della loro differenza.  Infatti con    a=2·p·f1·t   e  b= 2·p·f2·t  , vale l’identità trigonometrica:

sen (a) + sen (b) =  2 · sen[(a+b)/2] · cos[(a-b)/2]

Nel caso considerato la frequenza di modulazione è  (1.666-1.333)/2=0.166 Hz , quindi il periodo è  6 sec (anche se in realtà la forma d’onda si ripete identicamente ogni 3 sec)

 

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