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Marco Martini
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Un po' di storia

Articolo n° 1 su 6 del corso "Le coniche". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. Storia e ruolo delle coniche nelle applicazioni
  2. Antenne paraboliche
  3. Fari
  4. Volta ellittica

Storia e ruolo delle coniche nelle applicazioni

Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad occuparsi  delle sezioni coniche sia stato Menecmo (375-325 a.C), un matematico greco discepolo di Platone e di Eudosso e maestro di  Alessandro Magno. Esse furono scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi di trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio. Inizialmente una sezione conica era definita come l’intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del cono: si ottiene infatti una parabola se l’angolo al vertice è retto, un’ellisse se è acuto, un’iperbole se è ottuso.

La sistemazione razionale della trattazione delle coniche avvenne circa 150 anni più tardi grazie ad Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, il quale consolidò ed approfondì i precedenti risultati nell’opera Le Coniche, la cui importanza, paragonabile agli Elementi di Euclide per la geometria sintetica, non favorì ulteriori sviluppi nei secoli a seguire, almeno dal punto di vista puramente geometrico. Degli otto libri che componevano l’opera, solo tre sono giunti fino a noi nella versione originale, di altri quattro ci sono pervenute le traduzioni dall’arabo e uno è andato perduto. Apollonio fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole alle coniche. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire “mancanza”, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto". A differenza di quanto si riteneva in precedenza, Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento del cono, e che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del piano di intersezione. Ciò rappresentava un notevole passo in avanti verso la visione unitaria dei tre tipi di curve. Una seconda importante generalizzazione si ebbe quando Apollonio dimostrò che non era necessario che il cono fosse retto (ossia, avente l’asse perpendicolare alla base), ma che poteva benissimo essere anche un cono obliquo. Infine, Apollonio dimostrò che, sostituendo il cono a una falda con il cono a doppia falda, si potevano ottenere tutti i tipi di sezioni coniche da un unico cono, al variare dell’inclinazione del piano intersecante il cono.

Apollonio inoltre fornì un grande contributo all’astronomia greca, applicando modelli geometrici al moto dei pianeti. Pur risultando interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche per i Greci aveva scarsi interessi pratici e venne abbandonato per un lunghissimo periodo.

Un campo in cui le coniche rivestirono una notevole importanza fu l’arte, principalmente durante il Rinascimento e il Barocco. Nel Rinascimento le coniche (diverse dalla circonferenza) non sono più pure forme geometriche, ma si ritrovano nelle forme prospettiche di pittori e architetti. Quindi durante il  Barocco la forma di ellisse compare negli archi e in alcune costruzioni. Infatti una caratteristica dell’aarte di questo periodo è l’uso privilegiato che si fece della linea curva: in questo periodo tutto deve prendere andamenti sinuosi, persino le gambe di una sedia o di un tavolo devono essere curvi. Le curve che un artista barocco usa non sono mai semplici, quali un cerchio, ma sono sempre più complesse, come le ellissi. Ne sono un esempio le chiese a pianta ellittica risalenti a questo periodo.

Le coniche si ritrovano anche in molti settori della matematica e della fisica.

Nel XV secolo lo studio delle Coniche di Apollonio sarà anche di guida a Keplero (1571- 1630) per la formulazione delle tre leggi sul moto dei pianeti che portano il suo nome. Keplero formulò per le coniche quello che noi chiamiamo un principio di continuità, nel senso che "vide" i diversi tipi di sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti. Dalla sezione conica formata semplicemente da due rette intersecantisi, nella quale i due fuochi coincidono con il punto di intersezione, si passa attraverso un numero infinito di iperboli via via che un fuoco si allontana sempre più dall'altro senza soluzione di continuità. Quando poi un fuoco è infinitamente lontano, non si ha più l'iperbole a due rami, ma la parabola. Quando il fuoco, continuando a muoversi, "oltrepassa l'infinito" e torna ad avvicinarsi dall'altra parte, si passa attraverso un numero infinito di ellissi fino a che, quando i fuochi tornano a coincidere, si ottiene la circonferenza. Forse possono sembrare concetti un po’ astratti, ma oggi possiamo comprendere meglio l’idea di Keplero grazie all’uso delle teconologie informatiche (ad esempio Cabri Géomètre)
L'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio, cioè all'infinito, è dovuta a Keplero, così come il termine fuoco (dal latino focus, focolare, derivante dalla proprietà fisica già nota ad Archimede, che, sembra, la utilizzò contro le navi romane che assediavano Siracusa, per cui uno specchio parabolico concentra i raggi paralleli provenienti dal sole in un punto che è il fuoco geometrico).

Un'altra importante applicazione è dovuta a Galileo (1564- 1642), il quale dimostrò che il moto di un proiettile ha come traiettoria una parabola. Inoltre le coniche trovarono importanti applicazioni nel campo dei fenomeni ondulatori. Per la legge della riflessione della luce, un paraboloide rotondo, cioè una superficie ottenibile facendo ruotare di un giro completo una parabola attorno al proprio asse presenta particolari proprietà che gli permettono di essere utilizzato come potente telescopio, come riflettore, come antenna per le comunicazioni spaziali, come radio telescopi.

L’interesse per le coniche in campo non strettamente matematico ha sollecitato i matematici del XVII a riprenderne lo studio. Si è sviluppata allora la visione unitaria delle coniche come proiezione del cerchio su di un altro piano (Desargues 1593-1662). Sarà questo il primo

passo verso quello studio organico della geometria proiettiva intrapreso poi da Poncelet

(1822).

I risultati ottenuti da Apollonio per via sintetica, relativi alle proprietà delle coniche verranno

poi raggiunti, circa 1800 anni più tardi grazie all'introduzione di nuovi metodi algebrici basati sulle coordinate cartesiane, ad opera di Cartesio e Fermat, che permisero di risolvere problemi e verificare proprietà in modo più semplice, anche se forse meno affascinante.

Nell’opera Géométrie, dalla risoluzione del problema di Pappo, Cartesio derivò l’equazione generica di una conica passante per l’origine, che rappresentava il punto di vista più unitario che fosse mai stato applicato all’analisi delle sezioni coniche. Cartesio specificò le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché la conica fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole: tale analisi equivaleva, in un certo senso, all’analisi della caratteristica dell’equazione di una conica. In seguito, grazie all’opera di Fermat, si dimostrò che l’equazione di una conica generica è un’equazione algebrica di secondo grado in x e y.

Nello stesso secolo Blaise Pascal (1623-1662) a 16 anni scrisse il “Saggio sulle sezioni coniche”, in cui formulò uno dei fondamentali teoremi di geometria proiettiva, noto come Teorema di Pascal: i sei vertici di un esagramma giacciono su una conica se e solo se i punti di intersezione delle tre coppie di lati opposti giacciono su una stessa retta (vedi figura seguente).

Le sezioni coniche sono uno dei più ampi e classici argomenti della matematica ed uno di quelli che ha stimolato i maggiori progressi in questa scienza. Tuttavia esse non rimangono confinate nell’ambito puramente matematico, ma nella storia hanno trovato innumerevoli applicazioni anche in altri campi, che hanno permesso di  comprenderne l’importanza anche ai

non-matematici. Altre applicazioni, derivanti da proprietà geometriche, verranno date nel corso della trattazione dei contenuti.

Antenne paraboliche

La parabola fornisce un eccellente modo per amplificare i suoni provenienti da una particolare posizione e allo stesso tempo attenuare tutti gli altri suoni. Nella parabola, tutte le onde sonore parallele al suo asse vengono riflesse in un unico punto detto fuoco.  Ponendo un picccolo microfono proprio in questo punto si riceverà tutta l'energia che colpisce il piatto della parabola.  Notare che da solo, questo microfono riceve solo una piccola parte dell'energia emanata dalla sorgente sonora, e ciò che è peggio, riceve anche anche altri suoni indesiderati provenienti da altre direzioni rendendo quasi impossibile isolare ed udire il suono o la conversazione desiderati. Se si pone un microfono nel fuoco di una parabola con  piatto di circa 50 cm di diametro la situazione è ben diversa. La superficie che riceve le onde sonore è infatti circa 5000 volte maggiore di quella che offre il microfono da solo. In tal modo, anche la quantità di energia sonora che colpisce il microfono viene incrementata di 5000 volte, e cosa ancora più apprezzabile, saranno ricevuti solo i suoni desiderati. Sullo stesso principio ovviamente si basano le parabole satellitari poste sui tetti delle nostre case: non si tratta più di onde sonore, ma magnetiche; non c'e più il microfono ma un apposito convertitore.

I fari

Gli specchi ustori ed i riflettori dei fari utilizzano lo stesso  principio in modo opposto e quindi è presumibile siano stati scoperti nello stesso periodo. Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Alessandria, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Il suo nome deriva dall’isola di Pharos, che si trovava di fronte al porto cittadino. Si dice che fosse alto 85 metri e che potesse esser visto a circa 50 km di distanza. Fu costruito nel 280 a. C., cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo. Soltanto nel XVII secolo con la ripresa dello studio delle coniche venne recuperata anche questa arte.
Ai nostri giorni anche i fari delle automobili ed i proiettori in genere utilizzano lo stesso principio.

La camera a volta ellittica

Una proprietà dei fuochi di un'ellisse consiste nel fatto che la perpendicolare all’ellisse in un suo punto qualsiasi divide per metà l’angolo formato dai segmenti che uniscono questo punto con i due fuochi. Di conseguenza un raggio di luce che parte da uno dei fuochi e si riflette sull’ellisse, passa per l’altro fuoco. Lo stesso vale per le onde sonore: se si parla, o addirittura si bisbiglia, in un fuoco di una camera a volta ellittica, le onde sonore si rifletteranno sulla volta e andranno a concentrarsi di nuovo nell’altro fuoco, dove possono essere udite da una persona che occupa quella postazione.

 

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Commenti e note

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di Antonio Alessi,

Trovo l'articolo molto istruttivo per come introduce l'argomento ed i suoi potenziali contenuti. A tale proposito, ho aggiunto un link presso il mio sito: http://eye-of-revelation.org/, che tratta una tra le più ardue sfide geometriche conosciute - ed approda all'ipotesi finale di una conica - in fondo alla pagina conclusiva delle analisi che presento (Cap. 8). Sono certo che lo studio delle coniche debba condurre molto "più in là" di quanto si immagini allo stato attuale. Antonio Alessi

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