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Marco Martini
22
voti

La circonferenza

Articolo n° 2 su 6 del corso "Le coniche". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. L'equazione della circonferenza
  2. Posizioni reciproche tra retta e circonferenza
  3. Rette tangenti ad una circonferenza
  4. Condizioni per determinare l'equazione di una circonferenza
  5. Fasci di circonferenze
  6. Al computer

L’equazione della circonferenza

O se del mezzo cerchi far si puote

Triangol sì, ch’un retto non avesse”

                                           DANTE

Scelti un punto C del piano ed un numero reale positivo r, si definisce circonferenza di centro C e raggio r il luogo geometrico dei punti del piano aventi distanza da C uguale a r

Fig. 1 Circonferenza di centro C e raggio r

Richiamiamo agli studenti la nozione di luogo geometrico: esso è un insieme formato da tutti e soli i punti del piano che soddisfano una data proprietà

Prima di ricavare l’equazione della circonferenza nel piano cartesiano, ne elenchiamo alcune proprietà geometriche, che spesso vengono trascurate nella trattazione analitica.

La circonferenza è una curva chiusa, simmetrica rispetto al centro C e simmetrica rispetto ad ognuna delle infinite rette che passano per C. Essa divide i punti del piano non appartenenti a essa in due insiemi disgiunti: quello dei  punti interni (ossia che hanno distanza da C minore di r) e quello dei punti esterni (ossia che hanno distanza da C maggiore di r). E’ bene anche richiamare subito la differenza tra circonferenza e cerchio: il cerchio è la figura piana racchiusa dalla circonferenza: è il luogo dei punti che hanno distanza da C minore o uguale a r.

Dalla definizione è chiaro che per ricavare l’equazione di una circonferenza nel piano cartesiano è necessario e sufficiente fissare un punto (centro) e un numero reale positivo (raggio).

Vediamo ora come ricavare l’equazione della circonferenza g di centro  e raggio r in un riferimento cartesiano ortonormale monometrico.

Sia P(x , y) un generico punto di g. Allora, dalla definizione di circonferenza come luogo geometrico, si ha:

d(P,C) = r

da cui, svolgendo i calcoli, otteniamo:

.

Questa è l’equazione della circonferenza di centro  e raggio r.

Fig.3 Circonf. centro C (x0;y0) e raggio r

Possiamo chiarire meglio il concetto agli allievi fornendo il seguente esempio:

scrivere l’equazione della circonferenza di centro  e raggio r =3.

Dalla definizione otteniamo:

da cui, semplificando:

Più in generale, sviluppando i calcoli nell’equazione otteniamo:

Ora, ponendo ,  ,  si ottiene l’equazione di una circonferenza nella sua forma più generale:

               (1)

L’equazione trovata è algebrica di secondo grado nelle incognite x e y. Osserviamo che manca il termine con il prodotto xy e che i coefficienti di e sono entrambi uguali a 1.

 Il centro e il raggio sono quindi dati da:

q       , dove :        ,   

q       r = =

A questo punto chiediamo agli studenti se l’equazione  rappresenta l’equazione di una circonferenza per ogni valore dei coefficienti a, b e c.

Addizionando e sottraendo i termini  e   otteniamo la seguente equazione di secondo grado in x e y:

Il primo membro dell’equazione rappresenta il quadrato della distanza di un generico punto P(x,y) del piano dal punto , quindi è non negativa.

Distinguiamo adesso tre casi:

 

 l’equazione è quella della circonferenza di centro C e raggio r uguale a
l’equazione è verificata solo dalle coordinate di C. Si parla in tal caso di circonferenza “degenere”, cioè una circonferenza di raggio nullo ridotta ad un solo punto (il centro).
l’equazione non è verificata dalle coordinate di alcun punto (chiediamo agli studenti il perché); il luogo definito è in questo caso l’insieme vuoto.

 

Possiamo notare che, più in generale, ogni equazione della forma

è riconducibile alla forma (1) dividendo per k e rappresenta quindi anch’essa l’equazione di una circonferenza (oppure una circonferenza degenere o l’insieme vuoto, a seconda dei casi)

E’ importante sottolineare che la circonferenza rappresenta un luogo geometrico, ma non è il grafico di alcuna funzione.

Posizioni reciproche di retta e circonferenza

Analizziamo ora le posizioni reciproche di una retta e una circonferenza nel piano. Si possono presentare tre casi :

  • la retta e la circonferenza hanno due punti in comune: la retta si dice secante la circonferenza
  • la retta e la circonferenza hanno un solo punto in comune: la retta si dice tangente la circonferenza
  • la retta e la circonferenza non hanno alcun punto in comune: la retta si dice esterna alla circonferenza

Dal punto di vista analitico, le intersezioni tra una circonferenza e una retta si trovano risolvendo il sistema costituito dalle rispettive equazioni:

    

Si tratta di un sistema di secondo grado che mediante sostituzione porta ad un’equazione di secondo grado (o in x o in y)

A seconda del segno del discriminante si possono presentare 3 situazioni, e ognuna corrisponderà a una posizione:

  • : l’equazione ha due soluzioni reali distinte, quindi la retta è secante la circonferenza;
  • : l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti, quindi la retta è tangente la  circonferenza;
  • : l’equazione non ammette soluzioni reali, quindi la retta è esterna alla circonferenza.

                                                                                                                                 

                                                                 

Esempio:

Determinare i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione  e le rette r:  e s: .

Risolviamo il sistema  seguente per determinare gli eventuali punti di intersezione della circonferenza con la retta r

                 

da cui si ottiene l’equazione di secondo grado

            

Il discriminante di questa equazione risulta negativo, pertanto la retta r è esterna alla circonferenza.

Consideriamo ora il sistema seguente per determinare gli eventuali punti di intersezione della circonferenza con la retta s:

                                  

da cui si ottiene l’equazione di secondo grado:

                                 

le cui radici sono x = 0 e x = -12/5 . Ricaviamo ora le coordinate dei punti di intersezione A e B sostituendo i valori trovati nell’equazione della retta s: A(0,5) , B(-12/5, 1/5)

Pertanto s è secante la circonferenza nei punti A e B.

Rette tangenti ad una circonferenza

Consideriamo adesso il problema di trovare le tangenti condotte da un punto ad una circonferenza. Sia g una circonferenza di equazione  e sia   un punto del piano. Consideriamo gli eventuali punti di intersezione tra le rette del fascio di centro  e la circonferenza data. Si possono presentare tre casi:

q       P0  è interno a g :ogni retta condotta per P0 è secante g

q       P0 appartiene a g: esiste una e una sola retta per P0 e tangente a g;

q       P0 è esterno a g: è possibile condurre per P0 due rette tangenti a g;

Per determinare le eventuali rette tangenti ad una circonferenza di equazione

 da un punto dato  si possono utilizzare vari metodi.

Il primo consiste nel porre uguale a zero il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:

 Tuttavia, come mostra l’esempio seguente, una delle rette tangenti potrebbe essere parallela all’asse delle ordinate, quindi non compresa nell’equazione generica di una retta del fascio di centro P

Esempio: determinare le rette tangenti alla circonferenza di equazione  condotte dal punto P(-2,3).

P è esterno alla circonferenza, pertanto esistono due rette tangenti passanti per P.

            

           

Ponendo  otteniamo soltanto  .  Poiché le tangenti sono due, l’altra sarà necessariamente la retta parallela all’asse delle x passante per P, vale a dire la retta di equazione x= -2.

Un altro metodo consiste nel porre uguale a zero la distanza del centro della circonferenza dalla retta, con la formula della distanza punto-retta.  

Se  g,  ricordando che una retta tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto dal punto di tangenza, calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente che è l’antirecicproco del coefficiente angolare di . Sostituendo tale valore nell’equazione del fascio di centro  ricaviamo la retta.

Oppure si può ottenere mediante la formula dello sdoppiamento. L’equazione della retta tangente si ottiene dall’equazione (1)  eseguendo le seguenti sostituzioni:

              ,               ,             ,     

Pertanto l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel suo punto è:

Le formule di sdoppiamento si potranno applicare anche alle altre curve di secondo grado: parabola, ellisse, iperbole. L’equazione della retta tangente in un punto alla curva si ottiene dall’equazione della curva stessa lasciando inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni:

            ,           ,          ,     ,    

Condizioni per determinare l’equazione di una circonferenza

Per determinare l’equazione di una circonferenza è necessario determinare i tre coefficienti a, b, c che compaiono nell’equazione  Pertanto occorrerà fornire tre condizioni tra loro indipendenti. I casi più comuni sono:

1.      passaggio della circonferenza per 3 punti non allineati: il passaggio per un punto equivale ad una condizione;

2.      conoscenza delle coordinate del centro e passaggio per un punto: la conoscenza del centro fornisce due condizioni;

3.      passaggio per due punti e centro su una data retta: l’appartenenza del centro a una retta corrisponde ad una condizione;

4.      conoscenza delle coordinate del centro e tangenza a una data retta: la tangenza  a una retta equivale a una condizione.

Facciamo notare che per tre punti non allineati del piano passa un’unica circonferenza.

Esempio: determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti M(0,6), N(0,-6), P(8,0).

Imponendo il passaggio per i 3 punti dati, otteniamo un sistema lineare di primo grado 3 x 3, dove le incognite sono i coefficienti a, b e  c:

           da cui, sottraendo la prima dalla seconda:   

Sostituendo con semplici calcoli troviamo

L’equazione della circonferenza è dunque

A volte però risolvere il sistema può risultare alquanto laborioso. Un altro modo per determinare l’equazione della circonferenza passante per M, N e P consiste nel determinare la circonferenza circoscritta al triangolo MNP, pertanto, per definizione di circocentro, il centro della circonferenza è il punto di intersezione degli assi. Possiamo quindi determinare le coordinate del centro C risolvendo il sistema costituito dalle equazioni di due assi, poi ricavare il raggio calcolando direttamente la distanza di C da uno dei tre punti dati (vedi figura seguente).

Fasci di circonferenze.

Siano             g 1 :            e          g 2  :

due circonferenze diverse e siano l, m due parametri reali non contemporaneamente nulli.

Consideriamo l’equazione ottenuta come combinazione lineare delle equazioni di g 1 e g:

che possiamo scrivere:

        (2)

Se , tale equazione rappresenta una circonferenza: al variare di l e m si otterrà un fascio di circonferenza di generatrici  g 1 e  g 2.  

 In particolare:

§         se  e , la (1)  rappresenta g 1

§         se  e , la (1)  rappresenta g

Supposto allora e posto , la (1) diventa:

          (3)

con  

L’equazione (3) rappresenta, al variare di k, tutte le circonferenza del fascio generato da g 1 e  g2, tranne la circonferenza g, che si otteneva per , mentre la circonferenza g 1 si ottiene per k = 0. Ciò risulta più evidente se riscriviamo la (3) nella forma seguente:

        (4)

Si possono verificare quattro diversi casi:

1° caso Siano g 1 e  g 2 due circonferenze secanti e siano A e B i punti che esse hanno in comune (vedi figura)

Poiché le coordinate di A e B soddisfano simultaneamente le equazioni di, esse soddisfano anche l’equazione del fascio. Quindi tutte le circonferenze del fascio passano per  A e B,  che prendono il nome di punti base del fascio.

Se , cioè se k = -1, le equazioni (2) e (3) rappresentano la retta passante per A e B; tale retta si chiama asse radicale e ha equazione:

Osserviamo che l’equazione:

  

ottenuta come combinazione lineare dell’asse radicale e dell’equazione di una delle circonferenze, rappresenta una circonferenza passante per A e per B e quindi, al variare di h, rappresenta tutte le circonferenze passanti per A e per B. Pertanto l’equazione del fascio di circonferenze di punti base A e B si può ottenere come combinazione lineare tra l’equazione di una qualunque circonferenza passante per A e B e l’equazione della retta AB.

2° caso Siano g 1 e  g 2 due circonferenze tangenti in A. Ciò significa che hanno in A la stessa retta tangente t.

Ragionando come nel caso precedente, il fascio generato da g 1 e  g 2 è costituito da tutte le circonferenze passanti per A e tangenti in A alla retta t. Il punto A è detto punto base del fascio. L’equazione del fascio si può ottenere o come combinazione lineare delle equazioni di g 1 e  g 2, oppure come combinazione lineare di una delle due equazioni di g 1 e  g 2 e dell’equazione della retta t tangente in A, che è la seguente:

3° caso Siano g 1 e  gdue circonferenze concentriche di equazioni:

g 1 :             e             g 2 :    

L’equazione del fascio generato da g 1 e  g 2  è:

cioè:

Per si può scrivere:

 

equazione che rappresenta ancor una circonferenza concentrica a g 1 e  g 2: quindi tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro di g 1 e  g 2

4°caso Siano g 1 e gdue circonferenze non aventi punti in comune e non concentriche. Il fascio di circonferenze generato da g 1 e  gsi ottiene come combinazione lineare delle equazioni di g 1 e  g, ed è costituito da circonferenze non aventi punti in comune e non concentriche

Al Computer

Veiamo ora i casi tratttati utilizzando il software DERIVE

Esempio: rappresentare il fascio di circonferenze di equazione , facendo variare h da –3 a 3.

Il comando da utilizzare  è : vector (x^2+y^2+hx-(h+1)y-1=0,h.-3,3)

Si ottiene il seguente grafico:

Fig.5 fascio di circonferenze secanti

Da esso notiamo che tutte le circonferenze reali del fascio passano per due punti, che si chiamano punti base del fascio.. Un’altra cosa che faremo notare agli allievi, è che i centri delle circonferenze sono allineati.

Gli altri casi verranno illustrati in modo analogo

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Commenti e note

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di Anonimo,

per risolverlo devi inserire le coordinate dei punti nell'equazione data e vedere se la soddisfano...

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di daniele,

mi aiutate a risolvere questo esercizio?? stabilire se i punti sono interni, esterni o appartengono alla circonferenza. O(0;0) A(3;2) B(1;5) C(-3;0) D(1;1) E(radice 5;4) aspetto una risposta...

Risposta automatica: 1) quale circonferenza? 2) le domande si fanno nel forum se vuoi sperare in una risposta

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di shary,

cosa è la circonferenza dovete dirlo in poche parole ma chiaro da capire

è poco chiaro quel disegno la cui titolo è AL COMPUTER vi prego di spiegarlo meglio

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di ,

Martina,
le domande si fanno nel forum.

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di martina,

Avevrei bisongo di sapere come si risolve questo problema: "Trovare l'equazione della circonferenza avente il centro sulla retta x-3y+10=0 e tangente in O alla retta y=-x/2." Grazie

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di tiffany,

aiutoooo!! martedi ho compito...e non riesco a risolvere questo esercizio: Esercizio n° 2 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy: 1. scrivere l’equazioni delle circonferenze tangenti alle due bisettrici degli assi in punti che distano dall’origine OC= 2radice di 2(u)Determinare le caratteristiche di tali circonferenze e l’area del quadrilatero individuato dai loro centri; 2. scrivere l’equazione della circonferenza A’ passante per l’origine, che stacca sulla prima bisettrice una corda di lunghezza OD=2RADICE DI2,con centro sulla retta di equazione: 2x+y-3=0. Determinare la posizione relativa delle due circonferenze A e A’; AIUTOO VI PREGOO!!....

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di rosy,

è stato uitle..ciauu,e grazie tantooo

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di andry,

utilissime queste spiegazioni, grazie tante ne terrò conto...

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di teresa,

data la circonferenza di equazione x2+y2-9x+3y+8=0 determinare i suoi punti A e B d'incontro con l'asse delle ascisse e le equazioni delle tangenti ad esse per tali punti. Calcolare l'area del triangolo ABC, essendo C il punto comune delle due tangenti vi prego aiutatemi...

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di lul�,

domani ho compito, una mia amica mi ha passato questo link, spero proprio mi sia stato d'aiuto!!!ho na paura tremenda..le cose sono spiegate molto bene e facili da comprendere ma purtroppo la mia testolina � dura a capire...uff speriamoooooo

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di Palmino,

Grazie mille, giorno prima di un compito, molto utile ;-D Dovreste fare un discorso cos� completo anche sulle parobele e fasci magari ma forse chiedo troppo ^^

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di Bonometti Diego,

Il documento a tratti è poco chiaro e molto dispersivo anche .

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di Francesca,

Anch'io ho trovato la spiegazione della circonferenza, ellisse ed iperbole molto utili e di facilissima comprensione. Ho notato anche che ci sono delle notazioni didattiche prese dall'UMI. Vi ringrazio sinceramente per il valido aiuto. Avrei bisogno di un piccolo aiuto. Dovrei svolgere l'U.D. "la circonferenza nel piano cartesiano" mi può consigliare un sito in italiano per la parte storica della circonferenza? Ho già visto alcuni siti sulle coniche ma trattano di ellisse, iperboli e parabole e piccoli accenni sulle circonferenze. GRAZIE

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di Simone,

ho trovato la spiegazione delle circonferenze molto utile, ma soprattutto di facilissima comprensione. Forse sono riuscito a trovare un valido sostituto al mio insegnante di matematica che per tutto l'anno non ha fatto altro che lasciarci in compagnia della sua assenza...

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di ,

Davide
Il libro Matematica Uno per licei scientifici è il primo citato nella Bibliografia, come puoi controllare.
Le coniche sono un argomento ampiamente trattato nei testi di matematica, un percorso classico appunto, e le definizioni e l'esposizione dei teoremi non sono da inventare ex novo.
Il lavoro è la tesi svolta da un insegnante di matematica per conseguire l'abilitazione. La tesi ha lo scopo di indicare un itinerario per gli allievi sotto la guida del professore che utilizza un come materiale fondamentale il libro di testo.
Electroportal ha ritenuto che proprio per questa finalità la tesi fosse idonea alla pubblicazione, ritenendola utile per gli allievi di un liceo.

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di Davide,

Queste lezioni sono copiate di sana pianta dal libro: Matematica Uno nuova edizione ETAS... ma è normale???

Rispondi

di ,

Jessy Prova a spedire il quesito direttamente all'autore del corso. L'email la trovi nella pagina iniziale alla fine del paragrafo iniziale.

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di jessy,

Ciao!!io vorrei avere una soluzione a questi due esercizi se è possibile per favore...perché non ci capisco niente!!

1)Calcola il perimetro e l'area del rettangolo inscritto nella circonf. di centro(1;1) e raggio radice quadra di 10,avente un lato sulla retta di equazione x-2y+6=0
2)Scrivi l'equazione della circonf. avente per tangente nell'origine la bisettrice del II e IV quadrante e tangente alla retta x=2y-5.
Se qualcuno riuscisse a risolverli mi contatti per favore all'e-mail jeggy182@tiscali.it. GRAZIE :))

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di Massimiliano,

Nel paragrafo relativo alle rette tangenti alla circonferenza con P esterno si dice: "Un altro metodo consiste nel porre uguale a zero la distanza del centro della circonferenza dalla retta, con la formula della distanza punto-retta". Ciò è evidentemente errato, se la distanza centro-retta è nulla, la retta è secante (retta diametrale).

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di maria mazza,

bisognerebbe scrivere più esempi in modo da semplificare lo studio

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