Introduzione

L' articolo esamina i componenti a due terminali, detti bipoli, caratterizzandoli in base al legame tra la tensione  e l' intensità di corrente,  esplicitando la funzione I=f(U) come si era accennato alla fine del precedente articolo (o la sua inversa U=g(I)), discutendone anche  la matrice energetica.

Si può immaginare di ricavare il legame imponendo al bipolo una tensione completamente nota in ogni istante e misurare la corrente assorbita con un amperometro ideale (o imprimere al bipolo un'intensità nota e misurare la tensione con un voltmetro ideale), elaborando successivamente la tabella di valori di tensione e di corrente.

Definiremo quindi  i bipoli assiomaticamente, cioè in base alle loro proprietà  come elementi circuitali.

Tensione e corrente  sono considerate dipendenti dal tempo ed  indicate  con i(t) ed u(t), ma ci si soffermerà sul caso, particolare ma importante, di quando sono costanti, condizione che le definisce comunemente come grandezze continue: le indicheremo allora  con le lettere maiuscole I, U.

 In articoli successivi  si vedrà  come trattare il caso, sempre  particolare ma estremamente importante, della loro variazione nel tempo secondo una legge che matematicamente assume l'espressione di una funzione sinusoidale.

Bipoli generatori

Generatori sono i bipoli che forniscono energia alle cariche elettriche prelevandola da una sorgente esterna che definisce il tipo di generatore. Sono pertanto  gli elementi di interfaccia tra il circuito elettrico e l'esterno, una porta attraverso cui l'energia fluisce trasformandosi.

In un bipolo generatore la corrente convenzionale esce dal terminale a potenziale più alto. Contrassegnare in questo modo la tensione e la corrente, significa scegliere per il bipolo la convenzione del generatore.

Una parte dell'energia entrante nel sistema elettrico ne esce immediatamente ed inevitabilmente sotto forma di calore. L'entità di questa perdita definisce il rendimento elettrico del generatore.

Bipoli utilizzatori

Utilizzatori sono i bipoli che prelevano energia dalle cariche, la estraggono cioè dal circuito elettrico, trasformandola. Come i bipoli generatori sono interfacce tra il sistema elettrico e l'esterno.

In un bipolo utilizzatore la corrente convenzionale entra dal terminale a potenziale più alto.

Contrassegnare in questo modo la tensione e la corrente significa scegliere per il bipolo la convenzione dell'utilizzatore.

Tutta l'energia elettrica entrante nel bipolo utilizzatore ne esce: una parte è inevitabilmente calore, l'altra può essere di varia natura e caratterizza l'utilizzatore (es: se meccanica è un motore elettrico). Il calore appare come una perdita di energia e la sua entità definisce il rendimento elettrico dell'utilizzatore.

Bipoli accumulatori

Sono bipoli in grado di immagazzinare energia elettrica nella forma potenziale o cinetica e non scambiano energia con componenti esterni al sistema elettrico ma solo con gli altri componenti del sistema elettrico.

Nella figura 2.1sono rappresentati graficamente e matematicamente  bipoli secondo le due possibili convenzioni.

Generatore ideale di tensione

Si definisce generatore ideale (o indipendente) di tensione un bipolo (generatore od utilizzatore) che presenta ai morsetti una tensione completamente indipendente da tutto ciò che può essere collegato ad esso, quindi dalla intensità di corrente da cui può essere attraversato. Se pertanto indichiamo con e(t) la f.e.m., il modello matematico è:

u _ab(t)=e(t) per qualsiasi i(t).

La fig.2.a rappresenta il modello simbolico-grafico. Il + indica il morsetto, A nella figura, il cui potenziale compare come minuendo nell'espressione della tensione.

Qualsiasi i(t) significa non solo in valore ma anche in verso. Il verso della i(t) può dunque essere sia uscente dal morsetto positivo, che entrante.

Se usiamo la convenzione del generatore, e la potenza p(t) = u _ab(t)* i(t) è positiva,  il bipolo è effettivamente un generatore; se la potenza è  negativa il bipolo è un utilizzatore.

.

Generatore ideale di corrente

Si definisce generatore ideale (o indipendente) di corrente un bipolo (generatore od utilizzatore) la cui intensità di corrente  è completamente indipendente da tutto ciò che può essere collegato ai morsetti, quindi dalla tensione elettrica tra essi. Indicando con i₀(t) la sua corrente il modello matematico è:

i(t)=i₀(t) per qualsiasi u_AB(t).

La fig. 2.2.b.rappresenta il modello simbolo-grafico. Per la polarità della tensione e ai suoi morsetti scegliamo la convenzione del generatore. Le conseguente inerenti il segno della p(t) sono identiche a quelle osservate per il generatore ideale di tensione.

Il resistore

E' il bipolo utilizzatore che rappresenta il consumo di energia elettrica: è un puro dissipatore. In esso le cariche perdono l'energia posseduta.  Se l'energia diventa calore, il resistore rappresenta l'effetto termico della corrente elettrica tipico dei conduttori. Il movimento delle cariche libere, per effetto dell'aumento degli urti reciproci e con gli elementi del reticolo, sviluppa calore. Il valore dell'intensità di corrente è conseguente ad un equilibrio dinamico tra l'energia ricevuta dalle cariche da parte del generatore e l'energia da esse dissipata in calore. E' ciò che succede a qualsiasi corpo che si muove in un fluido: la sua velocità è determinata dall'equilibrio tra l'energia ricevuta e quella dissipata per attrito. Si può dire che il mantenimento di un certo valore dell'energia cinetica richiede l'immediato ripristino di quella parte di essa che si trasforma in calore.

Il conduttore può essere paragonato ad un tubo in cui c'è un fluido (gli elettroni liberi) che può essere posto in movimento (corrente) da una differenza di pressione (la tensione ) tra le sue sezioni terminali (i poli)

Il verso della corrente convenzionale corrisponde alla convenzione dell'utilizzatore. Assumendo questa convenzione, (fig. 2.3.a.) , il resistore definisce, per qualsiasi istante t, la relazione nota come

Legge di Ohm:

i(t)=u_AB(t)/R             2. 1

dove R, numero positivo chiamato Resistenza, è il parametro che caratterizza completamente il bipolo. Per grandezze continue scriveremo

U_AB=R*I              2. 2

Osservazione

Potrebbe apparire banale ma l'esperienza didattica impone di osservare che mantenendo inalterato il verso della corrente ed invertendo il modo di considerare la tensione si deve scrivere,

i(t) = - u_BA(t)/R

affinché il modello matematico sia in accordo con il fenomeno fisico che il resistore rappresenta.

La fig. 2.3.b evidenzia l'osservazione.

Nel piano cartesiano u_AB(t), i(t) la legge corrisponde ad una retta passante per l'origine, nell'ipotesi di R costante, cioè indipendente dai valori di i(t) ed u_AB(t) (fig. 2.3.d)

L'inverso della resistenza è chiamato conduttanza e viene indicata con G=1/R.

L'unità di misura della resistenza è chiamata ohm, il suo simbolo è W e corrisponde a volt diviso ampere:[ W]=[V][A]^-1. L'unità di misura della conduttanza è  l'inverso dell'ohm ed è chiamata siemens: [S]=  [W]^-1.

Se calcoliamo la potenza otteniamo le espressioni della  legge di joule:

p(t)= u_AB(t)* i(t)=[u_AB(t)]²/R=R*[i(t)]²       2. 3

dalla quale si vede come la potenza elettrica, dipendendo dal quadrato della grandezza elettrica, sia sempre positiva, quindi sempre entrante nel bipolo.

Per grandezze continue si scriverà:

P=U_AB*I=(U_AB)²/R=R*I²        2. 4

Il resistore è, come detto, un puro consumatore di energia. Esso può rappresentare qualunque uscita di energia dal sistema elettrico.

Se la resistenza è relativa ad un conduttore si parla di resistenza ohmica; di resistenza fittizia negli altri casi.

Della resistenza ohmica si può esaminare la dipendenza dalle dimensioni geometriche del conduttore e dalle sue proprietà fisiche. Per un conduttore prismatico  la resistenza è proporzionale al rapporto tra la lunghezza assiale, l , del conduttore e l'area della sezione trasversale, A.

La costante di proporzionalità è detta resistività ed è indicata con r. La legge è nota come

seconda legge di Ohm:

R=r*l/A        2. 5

La resistività si misura in [W][m] (ohm per metro).

L'inverso della resistività è la conduttività g=1/r e si misura in [S][m]^-1 (siemens diviso metro).

(fig. 2.3.c.)

fig.2. 3

La resistività e di conseguenza la resistenza dipendono dalla temperatura secondo la legge

r_t= r₀*(1+ a*t)      2. 6

Dove r_t è la resistività alla temperatura t °C , r₀ la resistività alla temperatura di 0 °C ed a è il coefficiente di temperatura del materiale, che è la variazione relativa di resistività per ogni grado di temperatura: la sua unità di misura è perciò l'inverso del grado: [K]^-1

Nella tabella di tab 2.1.sono riportate le caratteristiche di alcuni materiali a 0°C.

tab 2. 1

Si noti che per i conduttori il coefficiente di temperatura è positivo (PTC), per alcuni materiali è invece negativo (NTC). In questi ultimi  si c'è una diminuzione della resistenza all'aumentare della temperatura: è tipico dei semiconduttori dove l'aumento di temperatura aumenta il numero di cariche libere, mascherando l'aumento della perdita di energia per attrito che comunque continua a persistere.

Es. 2. 1

I dati di targa di una lampada ad incandescenza sono 100 W, 220 V. Il filamento è di tungsteno, è lungo 10cm e misurando la sua resistenza a 0°C si trova un valore di 39 W. Determinare la sezione del filamento, la temperatura di funzionamento, il consumo in joule per un funzionamento di 8h, il costo relativo sapendo che 1 kWh è di 0,2 €.

La resistenza alla temperatura di funzionamento è R_t=U²/P=(220)²/100=484 W . La temperatura di funzionamento è allora t=(R_t-R₀)/(a R₀)=445/(39*4,8*10^-3)=2377 °C. Il consumo per 8 ore è W=100*8=800Wh=0,8 kWh=2,88*10⁶J.

Il costo è C=0,8*0,2=0,16 €. La sezione del filamento S=r *l/R₀=0,051*0,1/39=0,13*10^-3 mm²

Cortocircuito

Si definisce cortocircuito il bipolo ai cui capi la tensione è costantemente nulla qualunque sia l'intensità di corrente che lo attraversa.

Può essere visto come un generatore ideale di tensione la cui f.e.m. è nulla (per questo è rappresentato in fig. 2.1.c.), oppure come un conduttore di resistenza nulla.

E' anche chiamato collegamento equipotenziale (EQP)..

Circuito aperto

E' un bipolo in cui l'intensità di corrente è nulla qualunque sia la tensione ai suoi capi.

Può essere visto come un generatore ideale corrente  la cui corrente è nulla (per questo è rappresentato in fig. 2.1.d.), oppure come un perfetto isolante che potremmo definire conduttore di resistenza infinita (un ossimoro, se ci pensiamo)

Il bipolo condensatore

E' il bipolo accumulatore di energia elettrica sotto forma di energia potenziale.

E'  costituito da due conduttori, detti armature, cui fanno capo i due poli, separati da un isolante.

Quando il condensatore possiede energia elettrica le armature hanno carica uguale ed opposta il cui valore assoluto è detto carica del condensatore. Tra le armature esiste allora una tensione u_AB(t) , e

la carica del condensatore, q(t),  è proporzionale in ogni istante ad essa: la costante di proporzionalità, indicata con  C , numero positivo, è detta capacità del condensatore.

q(t)=C*u_AB(t)     2. 7

C si misura in farad [F] che è coulomb diviso volt: [F]=[C][V]^-1: la carica q(t)  corrisponde in valore e segno alla carica sull'armatura collegata al polo A.

La capacità dipende dalla geometria delle armature e dalle proprietà fisiche dell'isolante interposto. Per il condensatore piano, costituito da due armature parallele distanti d e la cui superficie ha l'area A figura si ha

C=e*A/d        2. 8

Dove e, detta costante dielettrica assoluta dell'isolante, si misura in farad diviso metro [F][m]^-1, e può essere vista come capacità specifica dell'isolante (A=1m², d=1m).

Per il vuoto (e l'aria) vale e₀=8,85*10^-12 F/m 

Quando la carica, quindi la tensione, varia, nel bipolo c'è una corrente che, come si può intuire,  ha un'intensità tanto maggiore quanto più elevata è la rapidità di variazione della carica, quindi della tensione. Il verso della corrente inoltre è positivo se la carica aumenta, negativo se la carica diminuisce. Perciò si può scrivere i(t)=C*rapidità_della_tensione che matematicamente, assumendo la convenzione dell'utilizzatore, diventa 

i(t)=C*du_AB(t)/dt     2. 9

du_AB(t)/dt, rappresenta la rapidità_della_tensione,  ed è la derivata della tensione rispetto al tempo: nella nota che seguirà è brevemente spiegato il concetto di derivata.

Quando du_AB(t)/dt=0, cioè in continua, quando la tensione non varia,  i(t)=0.

La tensione però non è nulla ed il suo valore definisce la carica che il condensatore sta conservando nel tempo:

Q=C*U_AB        2. 10 

(Q è la carica positiva sull'armatura A)

Ciò porta a dire che in corrente continua il condensatore è un circuito aperto. 

Se la carica aumenta, du_AB(t)/dt è positiva, se diminuisce du_AB(t)/dt è negativa

Se allora si calcola la potenza entrante nel bipolo  

p(t)= u_AB(t)* i(t)= u_AB(t)*C* du_AB(t)/dt     2. 11 

si può osservare che ad una u_AB(t) positiva può corrispondere una du_AB(t)/dt, quindi una i(t), sia positiva che negativa. La potenza elettrica può dunque sia entrare che uscire dal bipolo. Nel primo caso il condensatore accumula energia elettrica, nel secondo caso la restituisce. Nel primo caso si rinforza il campo elettrico (si vedrà il concetto nell'art. 9) presente nel condensatore, nel secondo si indebolisce. Il bilancio tra l'energia assorbita e quella ceduta nell'intervallo di tempo, agli estremi del quale il condensatore ha  la stessa tensione, è sempre di parità: il condensatore non consuma energia elettrica ma la scambia solamente attraverso i morsetti.

Il condensatore può essere paragonato ad una bombola che contiene gas (la carica) sotto pressione (la tensione). 

La fig. 2.4.  illustra il bipolo condensatore.

Il concetto di derivata

Se y(t) è la grandezza, D t=t_f-t_i è un intervallo di tempo, definiamo variazione la quantità D Y =y(t_f)-y(t_i) . La variazione media per unità di tempo è allora D Y/ D t . Se D t è piccolissimo si scrive con dt e la corrispondente variazione con dy. La variazione media per unità di tempo, in questo piccolissimo intervallo, è dy/dt  e coincide con la variazione per unità di tempo che caratterizza l'andamento della grandezza nell'istante interno ai vicinissimi t_i e t_f dell'intervallo piccolissimo dt: il valore così ottenuto è chiamato derivata di y(t). Nel grafico cartesiano y(t),t la derivata rappresenta la pendenza della tangente alla curva nel punto considerato: la derivata è nulla se la tangente è orizzontale, tende ad un valore elevatissimo (si dice infinito) se la tangente tende ad essere verticale. Le precedenti considerazioni ci permettono di valutare graficamente la derivata in ogni punto di una curva, considerando la pendenza della retta tangente alla curva nel punto.

Potremo allora chiamare "velocità della tensione" la sua derivata, definendo la capacità C come il rapporto tra l'intensità di corrente e la velocità della tensione.

Applicando una tensione al condensatore l'intensità di corrente è immediatamente calcolabile, senza bisogno di ulteriori informazioni; occorre solo osservare che ad un gradino di tensione (teoricamente: tensione che passa da un valore ad un altro in un tempo nullo) corrisponde un impulso di corrente (un'intensità infinita per un tempo nullo).

Se invece si applica un generatore di corrente, per calcolare la tensione è necessario conoscerne il valore nell'istante iniziale.  Il generatore di corrente quale iniettore di cariche indipendente dalla tensione, impone una variazione della carica posseduta dal condensatore nell'istante iniziale.

La carica effettiva in un determinato istante, quindi la tensione, dipende dunque, oltre che dal generatore di corrente, anche dal valore iniziale della tensione.

La tensione è la variabile di stato del condensatore e ne definisce l'energia elettrostatica immagazzinata:

Wc=(1/2)*C*[u_AB(t)]²       2. 12

Se la tensione è costante si ha ovviamente

W_c=(1/2)*C*U²_AB           2. 13

Es. 2.2

Ad un condensatore inizialmente scarico (Q_i=0), costituito da due armature di 2 m² piane e parallele separate da un isolante di spessore 0,5 mm, la cui costante dielettrica relativa è 50, è applicata, per 2 secondi, una tensione che parte da 120 V e cresce ad una velocità costante di 1500 V/s.

Calcolare il valore della corrente di carica dopo l'istante iniziale e l'energia immagazzinata dopo i 2 secondi .

La costante dielettrica relativa è il rapporto tra la costante assoluta dell'isolante e quella del vuoto: e _r = e / e ₀

La capacità del condensatore è C=e _r e ₀ *(A/d)=50*8,85*10^-12*2/(0,5*10^-3)=1,77*10^-6 F=1,77m F (microFarad)

L'intensità di corrente di carica è I=C*velocità_tensione=1,77*10^-6 1500=2,66*10^-3=2,66 mA (milliampere), costante.

Dopo due secondi la tensione ai capi del condensatore vale U=U₀+t*velocità_tensione=100+2*1500=3120 V

L'energia elettrostatica vale W_C=0,5*C*U_f²=0,5*1,77*3,12²=8,61 J.

Si noti che la carica finale sul condensatore è Q_f=C*U_f=1,77*3,6=5,52 mC (milliCoulomb) mentre la carica trasportata dalla corrente costante è Q_I=I*t=2,66*2=5,31 mC. La differenza di 21,2 mC è quella trasportata dall'impulso di corrente che si ha nell'istante iniziale, quando la tensione passa da 0 a 120 V in un tempo nullo (gradino).

Il bipolo induttore

E' il bipolo accumulatore di energia elettrica sotto forma di energia magnetica che può essere considerata l'energia cinetica elettrica.

Ogni elemento circuitale percorso da corrente è un induttore in quanto crea un campo magnetico.

La "quantità di campo magnetico" è denominata flusso magnetico (che si misura in weber = volt*secondo: [Wb]=[V][s]) concatenato con l'induttore. Discuteremo questa grandezza nell'articolo finale del corso. Per ora ci basti sapere che è proporzionale all'intensità di corrente e la costante di proporzionalità si chiama coefficiente di autoinduzione od induttanza, comunemente indicata con L.

F_c(t)=L*i(t)   2. 14

Se la corrente varia, ai  capi dell'induttore si manifesta una tensione  proporzionale alla velocità di variazione della corrente. La costante di proporzionalità è proprio il coefficiente di autoinduzione L.

L'unità di misura del coefficiente di autoinduzione si può ricavare dalla relazione impostata e si chiama henry ed equivale ad ohm moltiplicato secondo:[H]=[V][s][A]^-1=[W][s].

Assumendo la convenzione dell'utilizzatore il legame tra la tensione e l'intensità è dato dall'espressione,

u_AB(t)=L*di(t)/dt        2. 15  

E' matematicamente identica all'espressione che lega corrente e tensione nel condensatore in cui però tensione ed intensità sono scambiate di posizione.

Si può allora dire che l'induttanza L è il rapporto tra la tensione e la velocità della corrente.

Poiché l'intensità è legata alla velocità di spostamento delle cariche, si può dire anche che l'induttanza L è il rapporto tra la tensione e l'accelerazione comune delle cariche: un'osservazione che ci induce a stabilire una analogia con la massa di un corpo e che ci induce a paragonare l'induttore ad un volano, l'organo meccanico che immagazzina energia cinetica.

Tutto ciò che si è detto per la tensione sul condensatore è valido per l'intensità di corrente nell'induttore. Se l'intensità di corrente, quindi il flusso magnetico, è costante, ai capi dell'induttore non c'è alcuna tensione.

Ciò porta a dire che l'induttore in corrente continua è un cortocircuito.

Se il flusso aumenta di(t)/dt è positiva, se diminuisce di(t)/dt è negativa

Se allora si calcola la potenza entrante nel bipolo  

p(t)= i(t) * u_AB(t) = i(t)*L* di(t)/dt     2. 16

Si può allora dire che l'induttanza L è il rapporto tra la tensione e la velocità della corrente.

Poiché l'intensità è legata alla velocità di spostamento delle cariche, si può dire anche che l'induttanza L è il rapporto tra la tensione e l'accelerazione comune delle cariche: un'osservazione che ci induce a stabilire una analogia con la massa di un corpo e che ci induce a paragonare l'induttore ad un volano, l'organo meccanico che immagazzina energia cinetica.

Tutto ciò che si è detto per la tensione sul condensatore è valido per l'intensità di corrente nell'induttore. Se l'intensità di corrente, quindi il flusso magnetico, è costante, ai capi dell'induttore non c'è alcuna tensione.

Ciò porta a dire che l'induttore in corrente continua è un cortocircuito.

Se il flusso aumenta di(t)/dt è positiva, se diminuisce di(t)/dt è negativa

Se allora si calcola la potenza entrante nel bipolo

Se l'induttore è alimentato da un generatore di corrente la tensione è immediatamente calcolabile, se invece è alimentato da un generatore di tensione per calcolare l'intensità di corrente è necessario conoscere il valore che essa aveva all'istante iniziale di applicazione del generatore. L'intensità di corrente è dunque la variabile che ne definisce lo stato.

L'energia magnetica dell'induttore nel generico istante t si ricava con una espressione del tipo 

W_L=(1/2)*L*[i(t)]²     2. 17

Ed in continua

W_L=(1/2)*L*I²     2. 18

 Il coefficiente di autoinduzione (o induttanza) dipende dalle caratteristiche geometriche, dalle rotazioni complete della corrente, dalle proprietà fisiche del mezzo in cui si sviluppa il campo magnetico.

Se consideriamo un avvolgimento di N spire, di forma circolare (avvolgimento toroidale) di lunghezza media l e sezione A, l'espressione è del tipo 

L=N²*m*A/l     2. 19

Dove  m è  la permeabilità magnetica assoluta del mezzo in cui si instaura il campo magnetico.

Per il vuoto (e l'aria) vale m₀= 4 p*10^-7 H/m

Ritorneremo su queste grandezze quando affronteremo con maggiori dettagli lo studio del campo magnetico (art. 10)

La fig. 2.5.  mostra il bipolo induttore

Es. 2. 3

In un solenoide in aria di N=10000 spire di lunghezza l=2 m di sezione A=10 cm², l'intensità di corrente passa dal valore di 1 A al valore di 11 A in 10 millisecondi con un variazione costante. Calcolare la tensione ai capi del solenoide ed il valore dell'energia magnetica.

Per rispondere alle due domande è necessario calcolare il coefficiente di autoinduzione L. Poiché in pratica la permeabilità dell'aria è uguale a quella del vuoto si ha:

L=m ₀ *N²*A/l= 4p *10^-7 *10⁸ * 10^-3 /2= 2p *10^-2 H

La velocità di crescita della corrente è costante e vale

di(t)/dt=(I_finale-I_iniziale)/tempo=(11-1)/10^-2 = 1000 A/s

La tensione u_AB(t) ai capi del solenoide considerando che sia A il terminale da cui entra la corrente è costante per quell'intervallo di tempo e vale

U_AB=L*di(t)/dt=2p *10^-2 *1000 =20p =62,8 V

L'energia magnetica finale è

Wm=0,5*L*I²=0,5* 2p *10^-2 *11²=7,6 J

fig.2. 5

Conclusioni

I bipoli descritti sono sufficienti per rappresentare  tutti i fenomeni energetici di un qualsiasi circuito elettrico od elettronico comunque complesso.

L'analisi dei circuiti sarà sviluppata nei prossimi articoli; qui vogliamo riassumere  il ruolo svolto dai bipoli esaminati nei circuiti.

Generatori ed utilizzatori sono le sorgenti ed i pozzi dell'universo elettromagnetico.

Il campo elettromagnetico, come una cinghia che trasferisce energia meccanica tra due pulegge, trasferisce l'energia che entra dalle sue sorgenti ai pozzi che la richiedono, regolando il trasferimento per mezzo dei suoi accumulatori interni: il condensatore e l'induttore che esistono unicamente nell'universo elettromagnetico.

Il pozzo permanentemente presente, affamato di energia cui inesorabilmente toglie parte della capacità di trasformarsi,  è il resistenza che rappresenta il cosmico effetto termico cui, tramite il concetto di entropia, è legata la freccia del tempo (fig. 2.6).