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Marco Martini
22
voti

L'ellisse

Articolo n° 4 su 6 del corso "Le coniche". Vai all'indice del corso.

Paragrafi dell'articolo:

  1. L'ellisse come luogo geometrico
  2. Costruzione secondo il metodo del giardiniere
  3. Costruzione a partire da una circonferenza
  4. Costruzione a partire da un segmento
  5. Equazione dell'ellisse
  6. Simmetria
  7. Eccentricità
  8. Orbite planetarie
  9. Proprietà geometriche

L’ellisse come luogo geometrico

Definiamo l’ellisse come il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi  e  detti fuochi.

ellisse =

Dalla definizione seguono due semplici costruzioni dell’ellisse, una meccanica e l’altra geometrica:

§         “metodo del giardiniere” (costruzione meccanica)

§         costruzione geometrica a partire da una circonferenza

§         costruzione geometrica a partire da un segmento

Metodo del giardiniere

Questa costruzione consiste nel fissare i due capi di un filo inestensibile in due punti  e  di un foglio da disegno. Facendo scorrere la punta P di una matita lungo il filo tenuto ben teso, si traccia una linea curva chiusa formata da punti per i quali la somma delle distanze da  e  è costante, in questo caso uguale alla lunghezza del filo. Questo metodo è detto anche del giardiniere perché può essere utilizzato per tracciare sul terreno aiuole a contorno ellittico.

Possiamo simulare questa costruzione con CABRI: dato il segmento AB di misura k si considera un punto P di AB e si definiscono i segmenti AP, PB. Si considerano le due circonferenze di centri  ,  e raggi AP e PB. I punti di intersezione (due se k > ) appartengono ad un’ellisse di fuochi  e .

Fig. 1 “Metodo del giardiniere”

Costruzione geometrica a partire da una circonferenza

La seconda costruzione si effettua con riga e compasso: si disegna una circonferenza di centro un punto  e raggio a piacere ed un punto interno alla circonferenza. Preso un punto A sulla circonferenza si traccia la retta e l’asse del segmento . Il loro punto di intersezione P appartiene ad un’ellisse di fuochi  e .

 Si può dimostrare inoltre che:

 l’asse del segmento  è tangente all’ellisse.

Fig.2 Costruzione ellisse a partire da una circonferenza

Costruzione geometrica a partire da un segmento

Fissiamo sul piano un segmento AB uguale alla somma delle distanze di un ellisse dai due fuochi. In seguito, scelto ad arbitrio un punto P interno al segmento AB, si tracciano due archi di circonferenza rispettivamente di centro  e raggio PB e di centro  e raggio AP. I punti P e P’in cui gli archi si intersecano appartengono all’ellisse. Facendo variare P su AB si ottengono ,a coppie, tutti i punti della curva

Fig. 4 Costruzione geometrica dell’Ellisse

Si può svolgere parte della lezione in laboratorio di informatica, utilizzando il software didattico Cabri – Géomètre II per simulare le due costruzioni dell’ellisse. Gli studenti hanno la possibilità di riflettere sulla condizione che caratterizza il luogo geometrico e scoprirne la costruzione passo a passo.

Equazione dell’ellisse

Si determina ora l’equazione dell’ellisse: come per le coniche precedenti, essa si ricava direttamente dalla definizione.

Consideriamo un’ellisse e indichiamo con 2c la distanza tra i due fuochi; scegliamo un opportuno sistema di assi cartesiani Oxy in modo che i due fuochi dell’ellisse stiano sull’asse delle x e siano equidistanti dall’origine (ad una distanza c da essa).

Vediamo ora come determinare l’equazione dell’ellisse rispetto a tale riferimento.

 Indichiamo con 2a la somma delle distanze del generico punto P dell’ellisse dai due fuochi 

 (osserviamo che 2a > 2c, quindi a > c).

Per definizione di ellisse deve essere: , che si esprime analiticamente con l’equazione:

Dopo alcuni passaggi si ottiene l’equazione canonica dell’ellisse:

,                                     dove

Vediamo ora come si può disegnare il grafico di un’ellisse nota l’equazione canonica.

Possiamo riscrivere l’equazione canonica nella forma seguente:

                  da cui                 

Poiché ,  , sono quantità non negative, necessariamente risulta , ovvero:

Analogamente si ottiene:

Pertanto l’ellisse è contenuta nel rettangolo individuato dalle rette x = -a, x = a, y = -b , y = b

Osserviamo inoltre che dall’equazione canonica, posto x = 0, otteniamo y = b e y = -b, e posto y = 0 otteniamo x= a e x = -a.

Pertanto l’ellisse interseca l’asse x nei punti A(-a,0) A’(a,0), e l’asse y nei punti B(0,-b), B’(0,b), che vengono detti vertici dell’ellisse.

Il segmento AA’( o la sua misura 2a) è detto asse maggiore

Il segmento BB’( o la sua misura 2b) è detto asse minore

La quantità 2c è detta distanza focale

Il caso considerato è quello dove   e , ossia quello in cui i fuochi si trovano sull’asse delle x. Ma possono verificarsi anche le condizioni seguenti:

-  : i fuochi si trovano sull’asse delle y e vale ;

- : in questo caso l’ellisse si riduce ad una circonferenza con centro nell’origine e raggio a.

D’ora in avanti considereremo solo ellissi con fuochi sull’asse

Esempi con DERIVE: significato dei coefficienti a e b.

Fig. 3  Ellissi aventi diversi valori di a

Esempio: è possibile costruire l’ellisse con riga e compasso servendosi di due circonferenze aventi come centro l’origine e raggi a e

Il compasso ellittico: è uno strumento in grado di disegnare ellissi, come il tradizionale compasso consente di tracciare le circonferenze. Esso consiste in una barretta di lunghezza  a + b mobile in grado di scorrere con gli estremi A e B vincolati a due guide rette perpendicolari. Vediamo ora come disegnare un ellisse con Cabri utilizzando lo stesso metodo del compasso ellittico.

Si disegni una circonferenza c di centro O e due diametri perpendicolari. Per ogni punto M di c consideriamo le sue proiezioni ortogonali A e B sui due diametri rispettivamente. Si consideri un punto P sul segmento AB. Il luogo descritto da P al variare di M su c è un ellisse di semiassi BP = a e AP = b. Con Cabri géomètre possiamo verificare che al variare di P su AB otteniamo sempre ellissi, con la circonferenza come caso particolare se prendiamo P coincidente con il punto medio di AB

 

Fig. 5 Compasso ellittico

Simmetrie

Dall’equazione canonica segue che:

L’ellisse è simmetrica sia rispetto agli assi coordinati, sia rispetto all’origine.

Pertanto gli assi coordinati si dicono assi di simmetria dell’ellisse, l’origine O si dice centro dell’ellisse.

Eccentricità

L’eccentricità di un ellisse è il rapporto tra la semidistanza focale c e il semiasse maggiore a:

Pertanto risulta .

Se risulta e = 0, allora a = b, pertanto l’ellisse è una circonferenza di raggio a

Intersezioni di un ellisse con una retta e condizione di tangenza

Consideriamo il sistema di 2° grado formato dall’equazione dell’ellisse e dall’equazione di una retta r ( non parallela all’asse delle ordinate):                                                       

le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti di intersezione tra l’ellisse e la retta. Calcolato il discriminante dell’equazione risolvente, a seconda che risulti , , , la retta r è rispettivamente secante, tangente, esterna all’ellisse.

Ne consegue che, per determinare l’equazione della tangente a un’ellisse in un suo punto, oppure le equazioni delle tangenti a un’ellisse condotte da un punto esterno ad essa, occorre annullare il discriminante dell’equazione risolvente il sistema tra l’equazione della retta generica passante per il punto dato e l’equazione dell’ellisse.

Esempio: scrivere le equazioni delle tangenti all’ellisse , condotte dal punto P0(3;0).

Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse

Poiché nell’equazione  compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie 2 condizioni indipendenti per determinare l’equazione di un’ellisse riferita ai suoi assi di simmetria. Indichiamo alcuni casi che si possono presentare:

1.      passaggio dell’ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto all’origine);

2.      conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice;

3.      conoscenza dell’eccentricità e passaggio per un punto;

4.      conoscenza della misura di un semiasse e dell’eccentricità.

Possiamo qui fornire alcuni esempi per ciascun caso.

Osservazione: arrivati a questo punto, possiamo far ragionare gli allievi sul collegamento Ellisse – Circonferenza, utilizzando anche i software didattici a disposizione.

Le orbite planetarie

Nel 1600 Johannes Kepler (1571-1630) riconobbe che i pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche complanari delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi.

Con Cabri si possono disegnare le orbite dei pianeti e dei satelliti e illustrare le leggi di Keplero.

Fig. 7 orbite dei pianeti

Proprietà geometriche dell’ellisse

1) Sia  un punto dell’ellisse di fuochi e . Allora la bisettrice di uno dei due angoli formati dalle rette e   è la tangente all’ellisse in , l’altra la normale all’ellisse in

2) Coppie di tangenti ortogonali ad un ellisse si incontrano in un punto di una stessa circonferenza avente centro coincidente con il centro dell’ellisse.

Dimostriamo la proprietà 1)

Il nostro obiettivo è di mostrare che se si prende un qualunque punto dell’ellisse e si considerano le due rette congiungenti  e , la normale n all’ellisse coincide con la bisettrice dell’angolo

Utilizzando la legge dello sdoppiamento, scriviamo dapprima l’equazione della retta t tangente all’ellisse in :

Perciò, indicato con mt il coefficiente angolare della retta tangente, avremo:

e di conseguenza, detto mn il coefficiente angolare della normale all’ellisse in P0, sarà

                                

Scriviamo ora l’equazione della normale n:

 Le equazioni delle due rette P0F1 e P0F2       sono date da;

                                           

Equazione delle bisettrici = { P(x, y) / d ( P, P0F1 ) = d ( P, P0F2 ) }

dove possiamo osservare che i denominatori coincidono con le distanze P0F1 e P0F2 rispettivamente.

Sciogliendo il valore assoluto avremo

e, fra le due rette bisettrici dei due angoli opposti al vertice formati dalle rette P0F1 e P0F2,

andiamo a considerare quella ottenibile utilizzando il segno -.

Inoltre, per opportunità di calcolo, cambiamo di segno entrambi i numeratori.

Dunque:

Moltiplichiamo ora tutto per e otterremo,

tenendo conto che

l’equazione

Ricordando ora che

a2 - c2

potremo scrivere:

Utilizziamo la relazione  e avremo:

L’ultima equazione scritta (che è l’equazione della bisettrice dell’angolo ) risulta uguale all’equazione della normale all’ellisse in , pertanto esse coincidono.

Ottica: l’ellisse possiede una proprietà ottica analoga a quella già osservata nello studio della parabola: pensata come un filo riflettente, l’ellisse è tale da riflettere ogni raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi in un raggio che passerà per l’altro fuoco.

Questa proprietà discende direttamente dalla proprietà 1) prima dimostrata e dalle leggi della riflessione

Fig. 8 proprietà ottica dell’ellisse

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Commenti e note

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di simonetta,

complimenti!!mi è servito molto ,anche se, come hanno detto gli altri ,se ci fossero degli esempi sarebbe tutto molto più chiaro..grazie comunque^^

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di impazzita cn l'ellisse!!!,

se conosco un punto e l'eccentricità come imposto il sistema?

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di sabry!!!,

complimenti..proprio un bel lavoro!!

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di saprete,

ma di cosa sta parlando

---------------

NDR: "CHI"?

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di Gianni79,

Ciao, interessante ma...sapete se esiste uno strumento che disegna direttamente l'ellisse...senza fare delle costruzioni geometriche con il compasso tradizionale?? grazie e bel lavoro

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di benny ,

metodo ottimo sono riuscito a tracciare un controsoffitto in una chiesa

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di ragazza al primo anno di liceo,

potreste spiegarlo anche con parole più elementari? please!!! cmq bel lavoro

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di gibbo,

manca l'equazione parametrica dell'ellisse. sarebbe utile per chi segue corsi di geometria universitari

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di Lorenzo,

sarò io ma non sono riuscito a trovare la costruzione dati le 2 assi e i 2 fuochi. Per il resto gran bel lavoro!

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di Geometer,

Riguardo alla dimostrazione del fatto che la tangente in un punto P è bisettrice delle rette PF1 e PF2, sarebbe utile ricavare la pendenza della tangente anche con l'analisi (derivazione di funzioni implicite...).

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di Giuliano,

metteteci gli esempi migliorate ancora la parte matematica e geometrica

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di anonimo,

scusate ma qualche esempio no?????????

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di Angelo,

Le spiegazioni sono chiare ed esaurienti, però non c'è nulla sull'ellisse con assi qualunque.

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di Luca,

Trovo estremamente interessante dal punto di vista didattico, la parte relativa al programma Cabri.

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di ?????????,

indicazioni chiare e puntuali per la parte matematica e per la parte geometrica.

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