Domanda:

Salve sono uno studente di Ingegneria Informatica. Vi scrivo perchè io ed altri miei amici abbiamo bisogno di un aiuto. Il prof., se così si può chiamare, di elettronica in un esame ci ha dato come esercizio di dimostrare che il prodotto banda-guadagno in un BJT ad emettitore comune sia costante utilizzando Miller. Non avendo trovato riscontro vi chiediamo gentilmente di aiutarci. Grazie e ciao!

Risponde Volfango Furgani

La dimostrazione richiesta si può sviluppare calcolando il guadagno e la frequenza di taglio superiore effettuati con il circuito equivalente del bjt secondo Giacoletto che riporto con simboli non consueti, ma per me disponibili. Ricordo che l'utilità del circuito menzionato stà nell'indipendenza dei suoi parametri dalla frequenza.

Nel testo che segue i simboli m e p usati per capacità e resistenze sono sostituiti da quelli usuali μ e π. Il circuito equivalente dinamico dell'emettitore comune si completa con il generatore di segnali Vs, la resistenza di polarizzazione R_b ed il parallelo R_p fra il carico dell'amplificatore e la resistenza di uscita del r_ce del bjt.

Il calcolo del guadagno A_v si effettua a capacità C_μ e C_π aperte. La tensione di uscita ai capi di R_p vale, a parte il segno, v₂ = g_m v R_p, dove v è la tensione ai capi di r_π.V₂ è inferiore a V_s per le cadute su R_s ed r_x. L'influenza di quest'ultima, che vale di solito poche decine di Ω, spesso si trascura. Indicando con R_g il parallelo fra R_b con la serie di r_π ed r_x si ottiene la tensione V_g ai capi di R_g come V_g = V_s*[R_g/(R_s + R_g)] ed infine la tensione v come V_g*[ r_π/( r_π+r_x)].

Ricapitolando v₂ = - g_m v R_p = - g_m R_p V_g*[ r_π/( r_π+r_x)] = - g_m R_p [r_π/( r_π+r_x)] V_s*[R_g/(R_s + R_g)]. Il guadagno A_v = v₂/v_s vale quindi -g_mR_p[r_π/( r_π+r_x)]*[R_g/(R_s + R_g)]. Ricordo che i partitori fra parentesi quadre tengono conto delle cadute su R_s ed r_x.

La frequenza di taglio ha da essere calcolata, secondo i dettami del vostro prof, con il teorema di Miller applicato alla capacità C_μ che accoppia il circuito di ingresso con quello di uscita e costituisce un elemento di reazione negativa.

 

Questo teorema ci insegna che l'elemento di reazione, in questo caso C_μ , viene spezzato in due impedenze poste in parallelo all'ingresso ed all'uscita. Tali elementi si calcolano conoscendo il rapporto fra le due tensioni in ingresso ed in uscita di C_μ cioè v e v₂. Questo rapporto vale semplicemente v₂/v = - g_mR_p. Le capacità che cosi si ottengono sono C₁ = C_μ(1+ g_mR_p ) e C₂ = C_μ(1+ 1/g_mR_p ) che non differisce, dato l'elevato valore di g_mR_p, di molto da C_μ. La semplificazione che di solito si fa è quella di trascurare C₂ perché molte decine di volte più piccola di C_eq = C₁ + C_π .

La frequenza di taglio è l'inverso della costante di tempo ricavata come prodotto di C_eq per la resistenza R_eq vista da tale capacità con i generatori di tensione indipendenti in corto. R_eq risulta calcolabile dal circuito d'ingresso come R_eq = r_π //(r_x + R_b//R_s) La frequenza di taglio cercata vale ω_s = 1/(R_eq* C_eq). Il prodotto guadagno larghezza di banda vale quindi, a parte il segno, g_mR_p/C_eqR_eq. Analizzando la formula vediamo che, scelto il bjt ed il punto di riposo, cioè per un certo transistor e per una certa corrente Ic, il prodotto è costante e risulta un importante parametro per l'amplificatore fissati sia Rs che Rp.

Una prova diversa si può dare per via geometrica dal diagramma di Bode del modulo del guadagno in funzione della frequenza che riporto in figura. Da notare che l'approssimazione suggerita da Miller comporta che il guadagno alle alte frequenza è dotato di un solo polo ( dominante ). Ne

 

Trascuriamo il valore della frequenza di taglio inferiore rispetto alla larghezza di banda come è sempre lecito fare. Ricordo che le scale sono logaritmiche e supponiamo l'unità di misura per le ascisse e le ordinate ( lunghezza di una decade ) sia la stessa. In tal modo la pendenza dell'asintoto obliquo è di 45° ed il triangolo a destra nella figura è isoscele. Con queste premesse posso scrivere: log(ω₁ ) = log (ω_s ) + A_v0db.Passando dai logaritmi ai numeri ω₁=ω_{s *} A_v. In soldini, la botte dà il vino che ha misurato da ω₁ Se voglio allargare la banda fino ad Ω_s2 debbo, in modo inversamente proporzionale, abbassare il guadagno fino alla linea tratteggiata in grassetto. Se questi limiti non mi bastano debbo scegliere un bjt con prodotto guadagno larghezza di banda maggiore che costerà di più. Spero che queste argomentazioni convincano il vostro prof, altrimenti non pensatemi troppo. Auguri.