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Versori, prodotti, nabla

Useremo come sistema di riferimento il sistema cartesiano, costituito dagli assi x,y,z ortogonali.

Chiameremo versore un vettore di modulo unitario avente direzione e verso specificati.

Indicheremo con i, j, k i versori degli assi x,y,z rispettivamente.

Allora se x1,y1,z1 sono le coordinate cartesiane del punto P1, il vettore A=OP1 si può scrivere:

Prodotto scalare: E' uno scalare che si ottiene moltiplicando i moduli dei vettori per il coseno dell'angolo che essi formano. Il prodotto scalare è commutativo.

Osservazione

Per i versori i, j, k si hanno le relazioni

Prodotto vettoriale: è un vettore ortogonale al piano individuato dai due vettori, orientato in modo che il suo verso coincide con l'avanzamento di una vite destrogira se il primo vettore è fatto ruotare, per sovrapporlo al secondo, attraverso l'angolo più piccolo, e modulo uguale al prodotto dei moduli per il seno dell'angolo.

Dunque, con riferimento alla figura si ha:

essendo n il versore della normale al piano.

Il prodotto vettoriale non è commutativo: scambiando l'ordine dei fattori, il prodotto ruota di 180°.

Osservazione

Per i versori i, j, k si hanno le relazioni

Nabla

è un operatore formale, introdotto da Hamilton con un simbolo che ricorda la forma dello strumento musicale a corde di origine ebraica che ha lo stesso nome, definito da

Si usa come una qualsiasi espressione algebrica stabilendo la seguente uguaglianza formale

E'utile per una compatta scrittura di alcune definizioni e relazioni che saranno successivamente illustrate.

Ad esempio il prodotto scalare di nabla per un vettore è

espressione nota come divergenza di A

mentre il quadrato di nabla corrisponde all'operatore

che applicato ad una funzione scalare dello spazio V(x,y,z) dà

espressione nota come laplaciano di V:

la seguente invece

rappresenta il gradiente di V (un vettore);

Proseguendo (si tengano presenti le relazioni precedenti per i prodotti tra versori)

 

quindi

vettore noto come rotore di A

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Commenti e note

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di Montex,

La descrizione più chiara che abbia trovato sull'operatore Nabla, complimenti! Spero che con questo riesca a decifrare gli appunti sull'elettromagnetismo!!

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di Ale,

Riesci a trovare da qualche parte come si fa partendo dal laplaciano in coordinate cartesiane a ricavare il laplaciano in coordinate cilindriche?

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di vitomar,

Bravo!. E' la descrizione di gran lunga più chiara che abbia letto su diversi siti a proposito di campi vettoriali!

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di ,

Ho aggiunto nella lezione quanto FireFox! auspicava. Dopo due anni!.. meglio tardi che mai, tanto per scomodare un detto (proverbio?)

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di Marcos,

Ricordiamo che il nabla si calcola anche per i tre sitemi di coordinate (cartesiane, sferiche e cilindriche)

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di FireFox!,

Sarebbe interessante far notare come nabla applicato ad oggetti diversi (ad es. vettori, matrici, etc) possa essere usato per esprimere in maniera compatta dal gradiente al laplaciano...

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