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Flusso e divergenza

FLUSSO

Si definisce flusso di un vettore, l'integrale di superficie del prodotto scalare tra il vettore A in un punto P appartenente alla superficie ed il versore della normale alla superficie in P.

Osservazioni.

  • E' una grandezza che, si può dire, misura il numero il numero di linee di forza che attraversano la superficie, una volta che si sia stabilito di tracciare un determinato numero di linee per unità di superficie per il valore unitario dell'intensità del vettore-campo.
  • Il flusso assume significati fisici diversi a seconda della natura del campo: è la quantità di elettricità nell'unità di tempo che attraversa la sezione di un conduttore; la quantità di carica che ha attraversato la sezione di un isolante; l'impulso di tensione ottenibile sul contorno di una superficie in un campo magnetico; la portata in un tubo in cui scorre un fluido.

Divergenza

Si definisce divergenza del vettore A il limite a cui tende il valore del flusso uscente da una superficie chiusa che circonda il punto P, quando il volume da essa racchiuso tende a zero.

In coordinate cartesiane si ha

Osservazioni

  • Oltre ad un'informazione qualitativa sul punto (che si può dedurre dal significato della parola scelta: punto dal quale partono linee non parallele), essa fornisce anche un'informazione quantitativa sull'"intensità"  della sorgente di linee di forza che si trova in quel punto, indicando, in una opportuna scala di rappresentazione, il numero di linee che partono da quel punto.
  • Utilizzando l'operatore nabla si ha:
  • Quando il campo è privo di sorgenti di linee di forza, che sono allora linee chiuse. Siamo in tal caso di fronte ad  un campo solenoidale.
  • Teorema della divergenza: il flusso di un vettore uscente da una superficie chiusa è uguale all'integrale della divergenza del vettore, esteso al volume  racchiuso dalla superficie.

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Commenti e note

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di Predator,

Vi pongo un quesito: In una regione di spazio in cui è presente una densità di carica volumica p(x,y,z) è noto, punto per punto, il modulo del campo elettrostatico. E' possibile determinare in ogni punto di quella regione il valore di p? Perchè??????

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di Pier Maria Boria,

Bravo Martini, 6 essenziale, limpido ed immediato!

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di GiovaMaster,

Le osservazioni sono davvero esplicative e chiarificatrici!

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di marketto801,

ad esempio nel caso idraulico,il teorema dice che la quantità d'acqua totale che esce da una superficie chiusa è uguale alla quantità d'acqua erogata da tutti i rubinetti che sono all'interno della superficie, quella scritta, cioè, non è altro che un'equazione di bilancio.

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di Milly,

come si fa a verificare il teorema della divergenza e quello del flusso?

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di Fabio,

Sostanzialmente il Teorema della divergenza è una applicazione del Teorema di Gauss/Green il quale ci permette di passare da integrali doppi a integrali orientati ai differenziali delle coordinate!

Solo che nel caso della divergenza applico Gauss-Green ad un prodotto scalare fra una funzione vettoriale F ed il versore normale o uscente  dal dominio di F cosi trovando  il flusso entrante o uscente

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di ,

E' un po' come se dicessi che il teorema di Pitagora è stato introdotto per calcolare l'ipotenusa a partire dai cateti.
Non è stato "inventato" per quello, non è cioè una scappatoia per evitare di misurare l'ipotenusa. Casomai è la "scoperta" di una proprietà intrinseca dell'oggetto che si sta studiando. In altre parole si tratta di un teorema, cioè di una verità matematicamente dimostrabile, assegnate che siano determinate ipotesi.
La divergenza deriva da un teorema, detto appunto teorema della divergenza, che dimostra che in un campo vettoriale è possibile definire una grandezza scalare funzione dei punti dello spazio, che ha la proprietà che il suo integrale calcolato per un dato volume coincide con il flusso del campo attraverso la superficie che racchiude quel vulume. Il altre parole in analisi esiste la possibilità con qusto teorema di trasformare un integrale triplo in uno doppio, e viceversa. Il teorema si usa, ad esempio, per effettuare il calcolo che tu dici, ma non è che sia stato inventato per questo. E' qualcosa che esiste indipendentemente dalle finalità per cui possiamo utilizzarlo, come ogni asserto natematico del resto.

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di principe,

Un chiarimento.La funzione divergenza è stata introdotta per poter calcolare il flusso di un campo attraverso una chiusa senza dover calcolare ogni singolo contributo di flusso delle superfici regolari,ma calcolando un unico integrale di volume?

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di Robi,

La divergenza d� una informazione punto per punto sull'intensit� delle sorgenti del campo; per esempio la divergenza del campo elettrico � nulla nei punti dove non ci sono cariche, mentr� dove ce n'� � proporzionale alla densit� di carica elettrica.

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di armando,

quindi la divergenza è una grandezza scalare?!

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di Paolo,

Se si tratta del "volume della superficie" allora e' sempre zero.

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di ,

A parte "il volume della superficie" cosa c'è scritto invece?

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di Mikele,

La divergenza di un vettore non è altro che la derivata del flusso rispetto al volume della superfice (chiusa)che attraversa.

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di Andrea,

Non ho capito molto sulla divergenza di un vettore,cioè mi sembra un pò troppo ingarbugliato!..senza offesa

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