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Dissimmetria

Terne dirette ed inverse

Definiamo l'operatore complesso a, che, moltiplicato per un vettore lo fa ruotare di 120° in senso antiorario, lasciandone immutato il modulo. 

a=ej120°

Consideriamo il vettore rappresentativo di una tensione che, arbitrariamente, indicheremo con l'indice 1, dunque E1, che chiameremo vettore origine.

Si definisce terna diretta la terna formata dai tre  vettori che si ottengono moltiplicando successivamente per 1, a2, a, il vettore origine,  terna inversa quella che si ottiene moltiplicandolo successivamente per 1, a, a2. (NB: 1= a3)

Terna omopolare

Se le tre tensioni di fase oltre che lo stesso valore efficace hanno anche la stessa fase la terna delle tensioni si dice omopolare. I vettori rappresentativi sono allora uguali e paralleli. Essa si ottiene, evidentemente, moltiplicando sempre per 1 il vettore origine.

Terne dissimmetriche

Quando le tre tensioni non soddisfano alle condizioni che definiscono il sistema simmetrico, la terna si dice dissimmetrica.

Si può dimostrare che ogni terna dissimmetrica è scomponibile in una terna diretta, una terna inversa ed una terna omopolare. Indicando rispettivamente con E0, Ed, Ei,  i vettori origine delle tre terne, se E1, E2, E3 sonoi vettori della terna dissimmetrica, si può scrivere:

che non è altro che un sistema di tre equazioni da cui si possono ricavare le tre incognite E0, Ed, Ei.

Queste relazioni sono molto utili nello studio di reti trifasi non simmetriche in quanto consentono di utilizzare le semplificazioni di calcolo proprie delle reti simmetriche.

Osservazioni

  • La componente omopolare è nulla quando la somma dei vettori è nulla. Quindi le tensioni concatenate di un sistema trifase dissimmetrico hanno comunque sempre componente omopolare nulla. Non è così per le tensioni stellate.

  • Le infinite stelle di vettori aventi vertici comuni, hanno come componenti la stessa terna diretta e la stessa terna inversa. Differiscono per la terna omopolare.

  • La stella con terna omopolare ha il centro nel baricentro del triangolo che ha gli stessi vertici delle stelle. E' detta stella  pura.

  • Il vettore che caratterizza la terna omopolare di una stella è rappresentato dal segmento che unisce il centro della stella al baricentro del triangolo.

  • Se si indica con Ud il vettore che dà origine alla terna diretta delle tensioni concatenate di un sistema dissimmetrico, con Ui il vettore che dà origine alla associata terna inversa si ha, per la terna di tutte le stelle che danno origine a quelle concatenate

  • Ricavando inoltre Ud, Ui in funzione delle concatenate U12, U23 , U23 , le due precedenti  equazioni diventano

  • La componente omopolare di una terna spuria si ottiene sottraendo un suo qualsiasi vettore dal  vettore corrispondente della stella pura. Quindi

 

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Commenti e note

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di ,

Luigi,
la nota è pubblicata e chi vuole può commentarla. Per quel che mi riguarda ribadisco quanto scritto. La dimostrazione più immediata e generale per ricavare la componente omopolare, come detto del resto già nel testo, è la soluzione del primo sistema scritto nella pagina. Basta sommare le tre equazioni membro a membro. Si ha:
E1+E2+E3=3*E0 + 0 + 0, in quanto sia la terna diretta che quella inversa essendo terne simmetriche danno zero come risultato. Non vedo quale errore ci sia.
Analizziamo la tua, che non è comunque una dimostrazione generale, ma semmai di un caso particolare.
Tu dici E2=U12 ed E3=U13 quando E1=0. In realtà E2=U21 ed E3=U31, dunque proprio l'opposto, secondo la convenzione adottata per i pedici. Comunque non sarebbe un problema.
E0 è il vettore che unisce il centro stella reale, N nel tuo caso, con quello ideale 1 del guasto, orientato verso N. Quindi E0=UN1=(U21+U31)/3=(0 + E2 + E3). Tu invece definisci E0 come U1N che però che orienti verso 1, il primo pedice, mentre con U12, ad esempio, indicavi un vettore orientato verso il secondo pedice. Insomma fai un po' di confusione in una dimostrazione che, se anche fosse corretta, cosa che non puo' essere per l'incoerenza delle convenzioni adottate nel rappresentare i vettori, rimane particolare e non generale.

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di Luigi,

In questa lezione è scritto che E0 = 1/3(E1+E2+E3).
In realtà E0 = -1/3(E1+E2+E3).
Dimostrazione pratica.
Se in una rete MT a neutro isolato si verifica un guasto franco a terra (Rg = 0 Ω) ad es. nella fase 1, il centro stella del sistema si sposta nel vertice 1 del triangolo delle concatenate. Le due fasi rimaste sane assumeranno il modulo di una concatenata . Il loro punto di applicazione sarè il vertice 1 e con sfasamento = 60 ° punteranno una sul vertice 2 e l'altra sul vertice 3 dello stesso triangolo . Le potremmo indicare con V12 e V13 . La loro risultante V1N sarà = │3E│ dove E è il valore della stellata del sistema e coincide con la d.d.p. tra il centro stella in assenza di guasto e il centro stella in presenza del guasto. Confrontando questa simbologia con quella della lezione di ha che:
E0 corrisponde a E
E1 corrisponde a 0
E2 corrisponde a V12
E3 corrisponde a V13
per cui
V1N = -1/3(0+ V12 + V13 )
Costruendo il diagramma vettoriale, il tutto diventa più evidente. Negli impianti industriali questa tensione è presente sul ∆ aperto dei tre TV installati, e potrà valere, con Rg = 0 Ω, circa 100Volt. Con TV 20000:√3 / 100:3 , K = 200*√3, V1N/K=~100 Volt Se Rg fosse >0 si otterrebbero tre tensioni. I relativi vettori avrebbero un comune punto di applicazione sul quale insiste la nuova E0 che sarà inferiore a E. Se l'ing. Martini ritenesse di pubblicare queste mie considerazioni, gradirei un Suo commento e quello eventuale dei Partecipanti al forum.
Saluti, Luigi

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di ,

1-In effetti l’ultimo U23 è di troppo. Inoltre corretto è invertire U23, U12 avendo considerato U23 come primo vettore della terna. Si è considerato che U31 = - U23 - U12

2- E1pura = Ed+Ei tenendo conto che a+a2 = - 1

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di Domenico De Gioia,

 

Nel documento "Dissimmetria" :

- viene indicata la sequenza U12, U23, (U23 ?)

- non viene giustificata la uguaglianza               

                E1pura = 1/3 (2U12 + U23)

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