Terne dirette ed inverse

Definiamo l'operatore complesso a, che, moltiplicato per un vettore lo fa ruotare di 120° in senso antiorario, lasciandone immutato il modulo. 

a=e^j120°

Consideriamo il vettore rappresentativo di una tensione che, arbitrariamente, indicheremo con l'indice 1, dunque E₁, che chiameremo vettore origine.

Si definisce terna diretta la terna formata dai tre  vettori che si ottengono moltiplicando successivamente per 1, a², a, il vettore origine,  terna inversa quella che si ottiene moltiplicandolo successivamente per 1, a, a². (NB: 1= a³)

Terna omopolare

Se le tre tensioni di fase oltre che lo stesso valore efficace hanno anche la stessa fase la terna delle tensioni si dice omopolare. I vettori rappresentativi sono allora uguali e paralleli. Essa si ottiene, evidentemente, moltiplicando sempre per 1 il vettore origine.

Terne dissimmetriche

Quando le tre tensioni non soddisfano alle condizioni che definiscono il sistema simmetrico, la terna si dice dissimmetrica.

Si può dimostrare che ogni terna dissimmetrica è scomponibile in una terna diretta, una terna inversa ed una terna omopolare. Indicando rispettivamente con E₀, E_d, Ei,  i vettori origine delle tre terne, se E₁, E₂, E₃ sonoi vettori della terna dissimmetrica, si può scrivere:

che non è altro che un sistema di tre equazioni da cui si possono ricavare le tre incognite E₀, E_d, Ei.

Queste relazioni sono molto utili nello studio di reti trifasi non simmetriche in quanto consentono di utilizzare le semplificazioni di calcolo proprie delle reti simmetriche.

Osservazioni

• La componente omopolare è nulla quando la somma dei vettori è nulla. Quindi le tensioni concatenate di un sistema trifase dissimmetrico hanno comunque sempre componente omopolare nulla. Non è così per le tensioni stellate.

• Le infinite stelle di vettori aventi vertici comuni, hanno come componenti la stessa terna diretta e la stessa terna inversa. Differiscono per la terna omopolare.

• La stella con terna omopolare ha il centro nel baricentro del triangolo che ha gli stessi vertici delle stelle. E' detta stella  pura.

• Il vettore che caratterizza la terna omopolare di una stella è rappresentato dal segmento che unisce il centro della stella al baricentro del triangolo.

• Se si indica con U_d il vettore che dà origine alla terna diretta delle tensioni concatenate di un sistema dissimmetrico, con U_i il vettore che dà origine alla associata terna inversa si ha, per la terna di tutte le stelle che danno origine a quelle concatenate

• Ricavando inoltre U_d, U_i in funzione delle concatenate U₁₂, U₂₃ , U₂₃ , le due precedenti  equazioni diventano

• La componente omopolare di una terna spuria si ottiene sottraendo un suo qualsiasi vettore dal  vettore corrispondente della stella pura. Quindi