Gli azionamenti elettrici sono sistemi elettromeccanici
e rientrano nella teoria generale dei sistemi. Quanto segue è un
glossario che ha lo scopo di illustrarne terminologia e concetti
caratteristici. Accanto a parole di uso comune, di cui è opportuno
chiarire il significato assunto nell'ambito specifico, ci sono termini
specialistici che richiedono approfondimenti matematici impegnativi
e che sono sinteticamente esposti per un'immediata panoramica dei
metodi d'analisi sintesi dei sistemi di controllo.
Glossario di base.
SISTEMA: insieme di organi, meccanismi, elementi
strutturali interagenti e correlati, destinato ad utilizzazioni
tecniche.
STATO: configurazione che il sistema assume nel
tempo.
VARIABILI DI STATO: grandezze fisiche che definiscono
lo stato del sistema . Sono in generale associate ai componenti
del sistema che accumulano (e restituiscono) energia.
Ad esempio:
1. corrente in un induttore
(energia magnetica);
2. tensione di un condensatore
(energia elettrica);
3. velocità di un corpo
(energia cinetica);
4. posizione di un
corpo (energia potenziale);
EVOLUZIONE: è la variazione nel tempo delle variabili
di stato, dunque una successione di stati.
AZIONAMENTO: sistema con la funzione di movimentare
organi meccanici.
INGRESSI: grandezze su cui è possibile intervenire
per modificare lo stato del sistema.
USCITE: grandezze i cui valori definiscono lo
stato del sistema e che dipendono dagli ingressi.
MODELLO MATEMATICO: insieme di relazioni matematiche
che legano le variabili di stato consentendo di stabilire l'evoluzione
del sistema.
SISTEMA LINEARE: è un sistema in cui vale il
principio di sovrapposizione degli effetti. Un'uscita dovuta all'azione
contemporanea di più ingressi è la somma algebrica delle uscite
dovute ai singoli ingressi agenti singolarmente. I parametri che
caratterizzano il sistema sono costanti e, nelle relazioni, le
variabili di stato compaiono con esponente unitario e non sono moltiplicate
tra loro.
EVOLUZIONE LIBERA: è l'evoluzione che il sistema
subisce quando, in un certo istante, vengono annullati tutti gli
ingressi. E' dovuta all'energia immagazzinata nel sistema in quell'istante.
Esempio: un motore in rotazione che viene improvvisamente disalimentato.
EVOLUZIONE FORZATA: è l'evoluzione che il sistema
subisce sotto l'azione di uno o più ingressi a partire da uno stato
iniziale nullo, cioè senza energie accumulate.
REGIME STAZIONARIO: è uno stato del sistema descritto
dalla costanza delle
sue caratteristiche nel tempo (o molto lentamente variabili). Si può dire vale la proprietà di spostamento nel tempo dell'effetto con la causa. Cioè se una certa causa C nell'istante t produce l'effetto E, la stessa causa in un istante successivo t+T produce lo stesso effetto. Caratteristiche o parametri descrittivi sono ad esempio il l'ampiezza e la frequenza di una tensione.
TRANSITORIO: è il periodo di tempo in i parametri descrittivi del sistema si modificano rapidamente per passare da un regime
stazionario ad un altro.
REGIME DINAMICO: è il funzionamento di un sistema
in cuii parametri descrittivi cambiano continuamente, in un "transitorio
permanente".
CONTROLLO: procedimento realizzato intervenendo
sugli ingressi per far assumere alle uscite il valore desiderato
entro i limiti d'errore stabiliti.
CONTROLLO AUTOMATICO: controllo che avviene senza
l'intervento dell'operatore umano.
REGOLAZIONE: è un controllo condizionato dalla
misura dell'uscita. L'ingresso che modifica l'uscita è confrontato
con il valore dell'uscita e l'eventuale differenza determina l'azione
effettiva di modifica. Si ha un controllo detto ad anello chiuso.
REGOLAZIONE AUTOMATICA: regolazione che avviene
senza l'intervento dell'operatore.
COMANDO: controllo che non si basa sulla grandezza
di uscita.
ATTUATORE: un qualsiasi dispositivo facente parte
del sistema che modifica le uscite in base ad un comando (es: relé,
motore, elettrovalvola, valvola pneumatica, cilindro oleodinamico
ecc.)
TRASDUTTORE: è il componente che misura l'uscita
trasformandola in un segnale elettrico.
SENSORE: è il componente sensibile alla grandezza
che descrive l'uscita.
CONVERTITORE STATICO: insieme di componenti elettronici
che riceve energia dalla rete di distribuzione e la adatta alle
esigenze dell'attuatore sia come tensione che come frequenza.
SCHEMA A BLOCCHI: grafico per rappresentare
i diversi componenti di un sistema con un rettangolo (blocco) in
cui si evidenzia il legame tra la grandezza di ingresso e quella
d'uscita (fig.1 a).
Quando almeno due grandezze devono essere confrontate
mediante somma o differenza si usa farle confluire in un blocco
sommatore (fig. 1b).
Ogni insieme di blocchi può sempre essere sostituito
da un unico blocco con procedimenti algebrici (fig. 1d equivalente
a fig. 1c).
ANELLO APERTO: gli ingressi effettuano l'azione
del controllo senza tener conto dell'effettiva uscita (fig.1 a).
ANELLO CHIUSO:l'azione di controllo è la combinazione
dell'ingresso con la misura dell'uscita effettuata da un trasduttore(fig.
1c).
fig. 1
Metodi di analisi e di sintesi
Trasformata di Laplace
E' un metodo matematico che trasforma le relazioni
tra gli ingressi e le uscite, che sono equazioni differenziali dipendenti
dal tempo, in equazioni algebriche con variabile complessa, di più
facile analisi. In particolare se una grandezza y è proporzionale
alla velocità con cui un'altra x sta variando, cioè alla sua derivata
dx/dt quindi y(t)=K.dx/dt,
trasformando con Laplace si ha Y=s.K.X:
in sostanza la derivata diventa una moltiplicazione per s. Y ed
X, funzioni della variabile complessa s, sono le trasformate di
y ed x. Se nel dominio del tempo desideriamo trovare x in funzione
di y eseguiamo l'operazione che si chiama integrazione. Nel dominio
di s, cioè trasformando con Laplace, l'integrazione che è l'operazione
inversa della derivazione, diventa l'operazione inversa della moltiplicazione,
cioè una divisione per s e, molto semplicemente, si può scrivere
X=Y/(K.s).
Dall'equazione algebrica si può risalire alla effettiva funzione
nel tempo che è il vero interesse conoscitivo, ma, molto più spesso,
si può tralasciare quest'operazione, detta antitrasformazione,
sovente difficoltosa, ed ottenere le informazioni che interessano
nel dominio del tempo direttamente dalle grandezze trasformate.
IMPEDENZA OPERATORIALE
Nei circuiti elettrici è il rapporto esistente
tra le trasformate di tensione e corrente di un bipolo. Si procede
come in corrente alternata. L'induttanza ha impedenza ZL=UL/IL=s.L,
la capacità ZC=UC/IC=1/(s.C),
la resistenza ZR=UR/IR=R.
Occorre però ricordare che è necessario nella scrittura delle relazioni
tener conto delle condizioni iniziali: correnti negli induttori
e tensioni. In una serie R,L,C con se U è la tensione applicata
con condizioni iniziali nulle si può scrivere U=I.(R+sL+1/sC).
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (f.d.t): è un rapporto
di polinomi che corrisponde al rapporto tra la trasformata dell'uscita
e la trasformata dell'ingresso. Se U è la trasformata dell'uscita ed I quella dell'ingresso si ha U=G.I
: G è la funzione di trasferimento. E' di solito ricavabile con il metodo
dell' impedenza operatoriale. Nei sistemi reali il grado del denominatore
è sempre maggiore di quello del numeratore. Negli schemi a blocchi
ogni blocco è descritto con la f.d.t.
POLI E ZERI: sono, rispettivamente, le radici
dei polinomi in s che costituiscono il denominatore ed il numeratore
della funzione di trasferimento.
INGRESSI CANONICI: modi di variazione degli ingressi
che servono a studiare il comportamento del sistema. La figura 3
mostra i fondamentali:
1. impulso
unitario: l'ingresso assume per un
tempo brevissimo un valore diverso da zero inversamente proporzionale
alla durata; y(t)=d(t)
che, trasformato con Laplace diventa Y=1;
a. la funzione di trasferimento
di un sistema rappresenta la sua risposta all'impulso unitario.
2. gradino
unitario: l'ingresso in un certo istante
assume un valore finito pari ad 1. Trasformato con Laplace diventa
Y=1/s;
3. rampa
lineare unitaria: l'ingresso cresce
secondo una retta con coefficiente angolare pari ad 1. Trasformata
con Laplace diventa Y=1/s2.
fig. 2
RISPOSTA: è il modo in cui varia nel tempo
l'uscita per una variazione dell'ingresso. Si suole suddividerla
in due parti:
1. risposta dinamica
(valori dell'uscita durante il transitorio)
2. risposta statica
(valore dell'uscita a regime)
Il modo di variare dell'uscita durante il transitorio
ed il valore di regime da essa assunto dipendono dal modo in cui
avviene la distribuzione energetica tra gli accumulatori del sistema.
Per i sistemi lineari e stazionari è la somma
dell'evoluzione libera a partire dallo stato iniziale e delle evoluzioni
forzate corrispondenti all'azione separata di ciascuno degli ingressi.
COSTANTI DI TEMPO: è il riferimento per stabilire
in quanto tempo avviene la completa variazione di energia dell'elemento
accumulatore considerato. L'uscita segue l'ingresso sempre con un
certo ritardo, l'entità del quale definisce la prontezza del sistema.
STABILITA': Il sistema si dice stabile se, in
seguito a variazioni finite degli ingressi, le uscite raggiungono
un valore finale finito in un tempo finito.
Un'ulteriore definizione è: un sistema è stabile
se la sua evoluzione libera tende a zero, cioè le energie accumulate
si annullano in un tempo finito.
La stabilità può essere valutata matematicamente
analizzando la f.d.t: affinché un sistema sia stabile occorre che
i poli della f.d.t. abbiano parte reale negativa.
Sistemi del primo e del secondo ordine
ORDINE DEL SISTEMA: è il grado del denominatore
della f.d.t. I sistemi più comuni sono del primo e del secondo ordine.
La tipica f.d.t. senza zeri di un sistema stabile
del primo ordine è:
G=K/(1+st) cs. 1
K è detto guadagno, t è la costante di tempo, valore positivo. L'uscita varia nel tempo secondo la legge
u(t)=(K/t)e-t/t cs. 2
La tipica f.d.t
senza zeri di un sistema del secondo
ordine può essere scritta nella forma
G=K1/(s2+2xwns+wn2)
cs. 3
dove x è detto smorzamento
ed wn
pulsazione naturale.
Se lo smorzamento è maggiore di 1, si può scrivere
G=K/[(1+st1)(1+st2)] cs. 4
I 2 poli della f.d.t. sono numeri reali e negativi
(l'inverso, cambiato di segno, delle costanti di tempo) dove K=K1t1t2mentre t1
e t2 sono gli inversi delle radici dell'equazione di secondo grado in
s che si ottiene eguagliando a zero il denominatore della cs.3.
Lo smorzamento maggiore di 1 fa si che
entrambe le radici siano numeri reali.
Il sistema è caratterizzato da due costanti di
tempo. L'uscita per un ingresso impulso unitario varia nel tempo
secondo la legge:
u(t)=[K/(t1-t2)]*(e-t/t1-e-t/t2) cs. 6.
Si può osservare che
un reale sistema fisico è almeno del secondo ordine. Esso si avvicina
tanto più al comportamento di un sistema del primo ordine quanto
più diverse come ordine di grandezza sono le costanti di tempo.
La fig. 3 mostra i grafici della risposta all'impulso di un sistema
del primo ordine e di due del secondo ordine (con x>1):
il primo con una costante di tempo che è il 90% dell'altra, il secondo
con una costante di tempo che è il 0,05%: quest'ultimo tende ad
avere un andamento simile a quello del primo ordine.
fig. 3
Lo smorzamento minore di 1 e maggiore di zero è molto importante in quanto è tipico della maggior parte dei sistemi retroazionati stabili. Il valore di regime viene raggiunto dopo una serie di oscillazioni smorzate di frequenza tanto più prossima alla pulsazione naturale e di ampiezza tanto maggiore quanto minore è lo smorzamento.
I poli della f.d.t. sono numeri complessi coniugati (stessa parte reale, negativa per la stabilità, parte immaginaria uguale in valore assoluto e di segno opposto: a+jb, a-jb).
La pulsazione naturale è il modulo del polo wn=radQ(a2+b2) mentre lo smorzamento è il rapporto tra la parte reale cambiata di segno ed il modulo x= -a/wn.
Se lo smorzamento è negativo (parte reale del polo è positiva) si ha instabilità, cioè l'uscita non si stabilizza mai sul il valore di regime ma continua ad oscillare amplificando anzi l'ampiezza delle oscillazioni.
Di particolare interesse è, per questi sistemi, la risposta al gradino unitario. Poiché l'espressione del gradino unitario è 1/s la sua risposta è, nel dominio di s, G/s cui corrisponde, nel dominio del tempo l'espressione:
u(t)=K/wn2- (K/w0wn)e- x wnt sin(w0t+f)
dove
w0=wn*radQ(1-x2)
f=arccosx
cs. 7
La fig.5 mostra i tipici andamenti per diversi smorzamenti con pulsazione naturale costante per la risposta all'impulso ed al gradino unitari. I valori dell'uscita sono espressi in % del valore massimo per la risposta all'impulso, del valore finale di regime per la risposta al gradino (il valore finale della risposta all'impulso è nullo: sistema stabile). Nella risposta al gradino l'uscita raggiunge il suo valore finale (K/wn2) dopo una serie di oscillazioni smorzate la cui ampiezza ed il cui numero sono tanto maggiori quanto minore è lo smorzamento. La costante di tempo secondo cui le ampiezze decrescono è tx=1/wn.x . Uno smorzamento nullo determina un regime oscillatorio di ampiezza costante e di pulsazione uguale a quella naturale. Queste osservazioni qualitative trovano una loro valutazione quantitativa con i parametri della risposta al gradino
fig. 4
PARAMETRI DELLA RISPOSTA AL GRADINO
I parametri per valutare la risposta al gradino,
detti anche indici di qualità, sono:
1. Ts:
tempo di salita (rise time): tempo impiegato dall'uscita a passare
dal 10% al 90% del suo valore finale; piccolo per wn
elevata e x basso. Minore è Ts maggiore è la prontezza del sistema.
2. Tri:
tempo di ritardo; tempo necessario all'uscita per raggiungere il
50% del valore finale;
3. Tre:
tempo di regolazione; tempo impiegato dall'uscita a raggiungere
per la prima volta il valore finale; piccolo
per wn
elevata e x
basso.
4. Ta:
tempo di assestamento (settling time); tempo impiegato dall'uscita
per arrivare ad uno scostamento definitivo inferiore al 2% dal valore
finale;è in pratica la durata del transitorio o il tempo di risposta;
si ha Ta=3/(xwn)
5. SM%:
sovraelongazione massima percentuale; è il massimo valore assunto
dall'uscita riferito al valore finale.
NB: per la figura i parametri sono valutati in
base alla curva di smorzamento =0,3 rispetto alla cui costante di
smorzamento è tarato l'asse dei tempi.
POLO NULLO
Il denominatore della G ha una radice uguale
a zero.Si può porre G=(1/s)(sG), cioè
la f.d.t. si può dividere in due blocchi: 1/s
ed s.G. Il primo è un blocco
integratore il secondo un blocco senza polo nullo, come quelli gia
esaminati. Se l'ingresso è un impulso la risposta è l'uscita al
gradino del secondo blocco.
ZERO NULLO
Il numeratore ha una radice uguale a zero. Si
può porre G=s.G/s. La f.d.t
si può dividere in due blocchi: s e G/s . Il primo è un blocco derivatore
puro, il secondo un blocco senza zero nullo come quelli esaminati
in precedenza. Se l'ingresso è una rampa, l'uscita è la risposta
al gradino del secondo blocco.
ZERO NON NULLO
Il numeratore è del tipo s+z.
Si può allora porre G=sG/(s+z)+zG/(s+z). G/(s+z)
è del tipo già esaminato senza zeri. L'uscita è la somma di una
risposta di una f.d.t con zero nullo e di una delle fdt esaminate
senza zeri. Essa è in anticipo rispetto a quella dello stesso sistema
senza lo zero. Il sistema è più rapido nella risposta, al prezzo
però di un aumento dell'ampiezza delle oscillazioni attorno al valore
di regime.
Nella fig.6 è illustrata la scomposizione in
blocchi in presenza di poli nulli e zeri. Si è ipotizzato che Gs,
G/s, G/(s+z) sia sempre del tipo cs.3
fig. 5
SISTEMI REAZIONATI
Sono sistemi con anello chiuso, nei quali l'ingresso
è confrontato con l'uscita per determinare l'azione da eseguire.
Si è visto (fig. 1 c, d) che la funzione di trasferimento è Gr=G/(1+GH),
dove G è la f.d.t. del sistema senza reazione.
Per valutare l'effetto della reazione su sistemi
del primo e del secondo ordine si può, per semplicità, porre H=1
per cui Gr=1/(1/G+1)
Se il sistema senza reazione è del primo ordine
con guadagno elevato (K>>1) si ha in pratica
Gr=
1/[1+s(t/K)]
Il sistema è ancora del primo ordine: il guadagno
si è ridotto all'unità e la costante di tempo è K volte inferiore
ed il sistema risponde con maggiore prontezza.
Se il sistema non reazionato è del secondo ordine
si può far vedere che si ha un aumento
della pulsazione naturale tanto maggiore quanto maggiore è il guadagno
K che però comporta una diminuzione dello smorzamento, mentre il
tempo di assestamento rimane costante.
In definitiva la reazione diminuisce il guadagno
ma aumenta la prontezza della risposta.
Poiché è spesso difficoltosa l'analisi della
Gr effettiva sono stati sviluppati basati sul prodotto GH che è la
funzione di trasferimento con l'anello aperto.
SERIE DI FOURIER: è la scomposizione del generico
segnale periodico applicato in somma di sinusoidi di frequenza multipla
di una fondamentale che è la frequenza del segnale. Il sistema risponde
in modo diverso al variare della frequenza. Se il segnale di ingresso
è sinusoidale lo è anche l'uscita ma l'ampiezza e la fase di questa
rispetto all'ingresso variano con la frequenza. Lo studio in frequenza
si fa sostituendo la variabile nella funzione di trasferimento s
con jw per
cui si opera con il metodo simbolico dei numeri complessi.
BANDA PASSANTE: è l'intervallo di frequenze del
segnale di ingresso che può essere seguito dall'uscita.