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errellecci: il transitorio RLC

Abstract

L'articolo propone esercitazioni didattiche su circuiti elementari con resistenza, induttanza e capacità, per lo studio in simulazione del transitorio conseguente all'applicazione di una forza elettromotrice. Il metodo seguito è quello illustrato nell'articolo "Le differenze finite...in un foglio".

Resistenza, induttanza e capacità in serie

Di seguito sono illustrati i passaggi matematici che permettono di scrivere, in base al secondo principio di Kirchhoff, l'equazione differenziale da cui ricavare la corrente. L'equazione differenziale è poi trasformata in una equazione alle differenze finite per costruire il vettore con i valori discretizzati della corrente  

Il foglio elettronico ha questo aspetto

La colonna B contiene il vettore [t] degli istanti. L'alimentazione considerata è una forza elettromotrice costante E=10 V, inserita all'istante t2=Dt. Le colonne D ed E contengono il vettore in con i valori discreti della corrente, per due valori di resistenza , rispettivamente di 25 e 250 ohm. Sono calcolati con la formula scritta in intestazione a partire dall'indice n=3. Ai primi due valori si può attribuire il valore zero commettendo un errore grossolano che scompare per i successivi elementi. Le formule delle celle i-esime sono

 Cella D-iesima: =Di-1*(2-2*$B$5/$E$1-$D$3^2*$B$5^2)+Di-2*(2*$B$5/$E$1-1)+(Ci-1-Ci-2)*$B$5

Cella E-iesima: =Ei-1*(2-2*$B$5/$F$1-$D$3^2*$B$5^2)+Ei-2*(2*$B$5/$F$1-1)+(Ci-1-Ci-2)*$B$5

I grafici delle correnti sono mostrati nella figura seguente.

Si noti l'oscillazione smorzata della prima corrente (color magenta) che si ha quando la resistenza è inferiore alla resistenza critica data da

,

calcolata nella cella H1 (200 ohm con i valori scelti per R,L, C). L'intervallo Dt che separa gli istanti è stato scelto pari ad un centesimo del periodo dell'oscillazione smorzata, calcolato in H3 (0,00628 s)

NB: I parametri sono modificabili nel foglio scaricabile come descritto in Download. Occorre però tenere presente che spesso in tal caso è necessario adattare le scale del grafico per una corretta visualizzazione. E' indispensabile perciò riferisri ai manuali per Excel.

Induttanza in serie con resistenza e capacità in parallelo

Consideriamo ora il seguente circuito, lo stesso che conclude l'articolo di Giovanni Scghor, "Chi ha paura delle equazioni differenziali?"

Si vuole trovare la tensione ai capi della resistenza. Il generatore produce un'onda quadra di tensione. Per ricavare l'equazione differenziale, usiamo il metodo operatoriale, basato sulla trasformata di Laplace. Come noto si può procedere come in alternata. Le impedenze, stavolta, sono le cosiddette impedenze operatoriali:

  • ZR=R per la resistenza;
  • ZL=sL per l'induttanza;
  • ZC=1/sC per la capacità.

Si scrivono le equazioni  del circuito in base ai principi di Kirchhoff e si ricavano le grandezze elettriche, non quelle reali, ma le loro trasformate di Laplace. Noi evitiamo però di antitrasformare per determinare le grandezze elettriche reali, ma ci limitiamo a risalire all'equazione differenziale che l'equazione rappresenta, ricordando che moltiplicare per s significa derivare, e dividere per s integrare.

Supponiamo per semplicità che siano nulle le energie immagazzinate nel condensatore e nell'induttanza. Ecco il modo di ricavare l'equazione differenziale di secondo grado per uR. Essa consente di scrivere l'equazione alle differenze finite, quindi l'espressione indicizzata, per costruire il vettore uR,n

Il foglio elettronico si presenta allora così.

I valori di R=1000 ohm, L=0,1 H; C=10 microfarad sono posti nelle celle D2,E2,F2. L’intervallo di tempo Dt=10 microsecondi è in B2. L’istante iniziale è 0, posto in C2. L’ampiezza dell’onda quadra di 10 V è in G2. Il periodo è 0,1 s. In F5 e G5 sono calcolate due espressioni costanti che compaiono nella formula finale di uR,n: Dt/R*C) e Dt2/(L*C). La colonna B contie il vettore [t] degli N=10000 istanti separati da Dt. Nella colonna C c’è il vettore [e] con i valori dell’alimentazione, l’onda quadra che assume il valore U=10 V a 20 ms e tora a zero dopo 5000 microsecondi. Il vettore della tensione cercata, [uR] determinato con l’ultima formula scritta è nella colonna D.

Nella cella D i-esima si haperciò  =Di*(2-$F$5-$G$5)+Di-1*($F$5-1)+C15*$G$5.

Si deve osservare che non è stato detto nulla sui valori iniziali di uR, il primo ed il secondo, che la formula non può calcolare. Stavolta il loro valore non è di secondaria importanza come si può osservare modificando il valore delle celle D4 e D5. E’ logico che sia così in quanto la tensione iniziale su R indica che il condensatore è carico cosa che influenza il transitorio

Selezionando l'area di dati e scegliendo lo strumento "grafici" – dispersione appare il grafico seguente.

Se il generatore è sinusoidale, basta introdurre i parametri che lo caratterizzano: il valore di picco (Umax) in H2:, la frequenza f (f(Hz)) in I2, la fase iniziale (fase°) in I4

Il foglio si presenta così

Nella colonna C c'è il vettrore [wt+fase], l'argomento in gradi della funzione seno, mentre la colonna D contiene il vettore [e_sin]. Quindi le formule scritte nelle celle sono:

  • Cella C i-esima: =GRADI(2*PI.GRECO()*$I$2*Bi)+$I$4
  • Cella D i-esima: =$H$2*SEN(RADIANTI(C5))

Il grafico che si ottiene è il seguente con i valori impostati è il seguente.

Nel foglio si possono ovviamente modificare i diversi parametri. Ad esempio con fase = 0° l'andamento della uR è

Download

La cartella ADDFexc2.xls , contenente le esercitazioni proposte, è contenuta in questo file

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Commenti e note

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di ,

Non è più possibile scaricare questo foglio Excel?

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di Iovana Spagna,

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di Valentina VI,

Complimenti... i transitori li sto studiando a scuola (sono una delle poche donne in 5 ITIS elettrotecnica) e devo complimentarmi per gli ottimi appunti.... Bravi!!!!

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